1、第第8 8章章 相量法相量法 重点：重点： 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 相量法相量法1. 复数复数A表示形式：表示形式：AbReIma0AbReIma0y y|A|8-1 复数复数jbaA y yy y | AeAAj2. 复数运算复数运算A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标(2) 乘除运算乘除运算极坐标极坐标212121y yy y AAAA22baAabtg1y一一. 正弦量的三要素：正弦量的三要素：i(t)=Imsin(w w t +y y )i+_u8. 2 正弦量的基本概念正弦量的基本概念(1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、
2、振幅、 最大值最大值) Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency) w w(3) 初相位初相位(initial phase angle) y yy yImw w ti波形图波形图tiy y0y y = = /2/20y y =-=- /2/20iy y0y y =0=00二、同频率正弦量的相位差二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umsin(w w t+y y u), i(t)=Imsin(w w t+y y i) 相位差相位差 j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y
3、 y ij j 0， u 领先领先(超前超前)i ，或，或i 落后落后(滞后滞后) uw w tu, iu iy yuy yij j0j j 0， i 领先领先(超前超前) u，或，或u 落后落后(滞后滞后) i规定：规定： | j j | (180)j j = 0， 同相：同相：j j = ( 180o ) ，反相：，反相：特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu, i u i0w w tu, iu i0w w tu, iu i0j j = 90 u 领先领先 i 90 或或 i 落后落后 u 90 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例例1计算下列两
4、正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201ttitti)2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201ttuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201ttitti解解045)2(43j43245j000135)105(30j)105100cos(10)(02tti不能比较相位差不能比较相位差21ww000120)150(30j)150100cos(3)(02tti
5、两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函数、同符号，且在主号，且在主值范围比较。值范围比较。 结论三三. .周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值( (effective valueeffective value) ) 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流 ittiRWTd)(20TRIW2物物理理意意义义定义定义有效值也称有效值也称方均根值方
6、均根值(root-meen-square，简记为，简记为 rms。)1.有效值有效值(effective value)电压电压有效值有效值2. 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imsin(w w t + y y )ttITITd ) (sin1022m y yw wTtttttTTT2121d2)(2cos1d ) (sin 0002 y yw wy yw wIIIITITI2 707. 0221 mmm2m ) sin(2) sin()(my yw wy yw w tItIti注意注意:只适用正弦量只适用正弦量复常数复常数8.3. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示
7、复函数复函数)tj(e2)(y yw w ItA 若对若对A(t)取实部：取实部：) (c2)(ReywtosItA)tj(e2)( ) (c2ywywItAtosIiA(t)还可以写成还可以写成tItAw wy yjjee2)( ) sin(2j) cos(2y yw wy yw w tItIteIw wj2 称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 y y II最大值复数最大值复数有效值复数有效值复数 2 IIm imjmmIeIIiyy) cos(2) cos()(mywywtItItiyjmeIt1t2iy)t ( jmi1eIyw ) cos(2)(yywIItIt
8、i )cos(2)(yywUUtUtu正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位已知已知例例1 1. .试用相量表示试用相量表示 i, u 。)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oouti解解：V60220A30100oo UI例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解：A )15314cos(250oti. 50Hz A,1550o fI已已知知二二. 相量运算相量运算(1) 同频率同频率正弦量相加减正弦量相加减)2(Re) cos(2)(
9、)2(R) cos(2)(j2222j1111tteUtUtueUetUtuwwywyw)()( )(21tututuU21UUU 得：得：)2(R)2(Rej2j1tteUeeUww)22(R j2j1tteUeUeww)(2(Rj21teUUew1、线性性质、线性性质21bfaff则则21 FbFaF例例 V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604 V 306
10、o2o1 UUV )9 .41314cos(267. 9)()()(o21ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU464. 323196. 5jj 464. 6196. 7j V 9 .4167. 9o 602U 2 . 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 IiIjdtdiw wIjidtw w1 Ii2Re tje Idtddtdiw证明：2Re tje Idtdw 2RetjejIwwtteIte Iti j jj2Re d 2Redwww三三. 相量法的应用相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解求解正弦电流电路的稳态解
11、(微分方程的特解微分方程的特解) 例例 )cos()(mutUtuyw一阶常系数一阶常系数线性微分方程线性微分方程Ri(t)u(t)L+- - )()()(dttdiLtRitu 解解:用相量法求：用相量法求： jILIRUw w)arctgcos(2222RLtLRUiuwywwLRUIw wj RLLRURLLRUuuw wy yw ww ww wy yarctgarctg222222 把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。相
12、量法的优点注意注意:相量法只适用于激励为相量法只适用于激励为同频正弦量同频正弦量的的非时变线性电路非时变线性电路。N线性线性N线性线性w w1w w2非非线性线性w w不适用不适用8.4 电路定理和电路定理和电路元件电路元件的相量形式的相量形式一一. 电阻电阻)cos(2)( ywtIti已知)cos(2)()( ywtRItRituR则uR(t)i(t)R+- -相量形式：相量形式：y yy y RIUIIR有效值关系：有效值关系：UR = RI相位关系：相位关系：u , i 同相同相相量关系相量关系IRUR 相量模型相量模型R+- -RUIIU相量图相量图w w t iOuRpR频域频域有
13、效值关系有效值关系 U=w w L I相位关系相位关系u 超前超前 i 90ILUw wjo90 IIjw w L相量模型相量模型+- -UIUI相量图相量图二二 . 电感电感i(t)u (t)L+- -时域模型时域模型时域时域tItiw wsin2)()90sin(2cos2d)(d)(otILtILttiLtuw ww ww ww ww w tu, iu i0波形图波形图感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。w wXLXL= U/I =w w L= 2 f L， 单位单位: 欧欧感抗感抗; , ,; ,
14、0 ),(0开路开路短路短路直流直流LLXXw ww wU=w w L I(3) 由于由于感抗的存在使电流落后电压。感抗的存在使电流落后电压。iuL w wIULw w错误的写法错误的写法频域频域有效值关系有效值关系 I=w w C U相位关系相位关系i 超前超前u 90UCIw wjo90UU时域时域tUtuw wsin2)()90sin(2cos2d)(d)(otCUtCUttuCtiw ww ww ww ww w tu, iu i0波形图波形图二二 . 电容电容时域模型时域模型i (t)u(t)C+- -UI相量图相量图相量模型相量模型IU+- -Cjw w1容抗的物理意义：容抗的物理意
15、义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) 容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。容抗容抗; , 0 ,; , ),(0C旁路作用旁路作用隔直作用隔直作用直流直流CXXw ww wI=w w CU(3) 由于由于容抗的存在使电流领先电压。容抗的存在使电流领先电压。iuCw w1IUCw w1错误的写法错误的写法CIUw w1CXCw w1定义定义w wCX二二. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式一一. 电路元件的相量关系电路元件的相量关系 j . 5CCCIUw例例1 1试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。Liu . 1w005 cos
16、5 . 2tiwmm j . 3CUIwLLL . 4IUXLL j . 6ILUwtiCudd . 7UImUmmIUIUCwj1L下 页上 页返 回例例2已知电流表读数：已知电流表读数：A18A6AA2A1A0Z1Z2UA2CXZRZj , . 1 21若若A0?为何参数为何参数21 , 2. ZRZ I0max=?A0为何参数为何参数2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=?C2L1j ,j . 4 XZXZ?A2A0A1解解A1068 1. 220IA1468 2. max02IRZ，1,IU2I0IA268 ,j 3. min0C2IXZA16 ,A8 ,j . 4 210C2I
17、IIXZA1A0Z1Z2UA2为何参数为何参数2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=?CjXZXZ2L1 ,j . 4 ?A2A0A1U2I1I2I例例3)(:),5cos(2120)( titt u求求已知已知解解00120U20j54 jjLX10j02. 051jjCX相量模型相量模型下 页上 页+_15u4H0.02FiUj20-j101I2I3II+_15返 回A9 .36106812681012011511200jjjjjA)9 .365cos(210)( 0tt i下 页上 页CLCLRjjXUXURUIIIIUj20-j101I2I3II+_15返 回例例4 4)(:),
18、1510cos(25)( 06tuttiS求求已知已知解解0155I5 j102 . 0101jj66CX()V3022545251555 j51550000CRSUUUR,UICU下 页上 页+_5uS0.2Fi相量模型相量模型+_5I-j5USU返 回例例5图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流总电压与总电流同相位，求同相位，求I、R、XC、XL。0CC0 UU设设解法解法1 15 j ,05201II045255 j5I) j1 (2505j)5 j5(45500RXUL252505LLXX2102502552505CXRR令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两
19、边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页UjXC1I2I+_RIjXLUC+-返 回U25ICRUU2I1I045LUV50LUU252550LX2105250C RX下 页上 页画相量图计算画相量图计算UjXC1I2I+_RIjXLUC+-解法解法2返 回例例6 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压压滞后与电源电压/3，问，问R、C应如何选择应如何选择。IXIRUCSj 解解1 1CSCCCjj ,jXRUXUXRUIS1jCSCRUUw画相量图计算画相量图计算360tan0CRwCRCIRIUUCRww/360tan0RUSUICU060上 页UjXC+_RI+-CU解解2返 回
