1、 第第6 6讲（讲（3 3） 正交试验设计正交试验设计混合水平正交表及其用法混合水平正交表及其用法 混合水平正交表就是各因素水平混合水平正交表就是各因素水平数不完全相等的正交表，如数不完全相等的正交表，如L8(41 24)，这张表有这张表有8 8行，行，5 5列，表示要做列，表示要做8 8次试次试验，最多可安排验，最多可安排5 5个因素，其中个因素，其中1 1个是个是4 4水平的，水平的，4 4个是个是2 2水平的。水平的。 列列号号试验号试验号12345111111212222321122422211531212632121741221842112例例 某农科站进行品种试验。共有某农科站进行
2、品种试验。共有4个因素：个因素：A(品种品种)、B(氮肥量氮肥量)、C(氮、磷、钾肥比氮、磷、钾肥比例例)、D(规格规格)。因素。因素A是是4水平的，另外水平的，另外3个个因素都是因素都是2水平的，具体数据如表所示。试水平的，具体数据如表所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合验指标是产量，数值越大越好。试用混合水平正交表安排试验，找出最好的试验方水平正交表安排试验，找出最好的试验方案。案。 因素因素水平水平A品种品种B氮肥量氮肥量kgC氮、磷、氮、磷、钾肥比例钾肥比例D规格规格1甲甲253:3:16 62乙乙302:1:27 73丙丙4丁丁 因素因素 试验号试验号ABCD试验指标试验指标
3、产量产量/kg减去减去20011111195- -5212222055321122202042221225255312121010632122151574122185- -1584211190- -10K10102020K245352525K325K4- -25k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4- -12.5极极 差差35.06.31.31.3优方案优方案A2B2C2D2n从表中看出，因素从表中看出，因素A的极差最大，因此因素的极差最大，因此因素A对试验的影响最大，并且以取对试验的影响最大，并且以取2水平为好；水平为好；因素因素B的极差仅次于因素的极差仅次于
4、因素A，对试验的影响，对试验的影响比因素比因素A小，也是以取小，也是以取2水平为好；因素水平为好；因素C、D的极差都很小，对试验的影响也就很小，的极差都很小，对试验的影响也就很小，都是以取都是以取2水平为好。总的说来，试验方案水平为好。总的说来，试验方案应以应以A2B2C2D2为好。为好。拟水平法拟水平法 在没有合适的混合水平正交表可用在没有合适的混合水平正交表可用时，可以对因素虚拟水平，将水平少时，可以对因素虚拟水平，将水平少的因素归入水平多的因素正交表中处的因素归入水平多的因素正交表中处理。理。例例 今有某一试验，试验指标只有一个，它今有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，这个试
5、验有的数值越小越好，这个试验有4个因素个因素A、B、C、D，其中因素，其中因素A是是2水平的，其余因水平的，其余因素都是素都是3水平的，具体数据如表所示。试对水平的，具体数据如表所示。试对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。试验结果进行分析，找出最好的试验方案。 (采用采用L9(34) 因素因素水平水平ABCD135015606522508807533001085 因素因素水平水平ABCD13501560652250880753300108085 因因素素试验号试验号ABCD试验指标测试结果试验指标测试结果1111114521222236313323124212231552232140623
6、1121573132210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432k131.023.321.744.0k223.327.026.720.3k320.724.710.7极极 差差10.33.75.033.3优方案优方案A3B1C1D3n从表中的极差看出，因素从表中的极差看出，因素D对试验的影响最对试验的影响最大，取第大，取第3水平最好；其次是因素水平最好；其次是因素A取第取第3水水平为好；再者是因素平为好；再者是因素C，取第，取第1水平为好；水平为好；因素因素B的影响最小，取第的影响最小，取第1水平为好。水平为好。总的来说，这实验的最优方案是总的
7、来说，这实验的最优方案是A3B1B1D3。n在多因素试验中，各因素不仅各自独立地在多因素试验中，各因素不仅各自独立地起作用，而且各因素还联合起来起作用。起作用，而且各因素还联合起来起作用。也就是说，不仅各个因素的水平改变时对也就是说，不仅各个因素的水平改变时对试验的指标有影响，而且各因素的联合搭试验的指标有影响，而且各因素的联合搭配对试验指标也有影响。这后一种影响就配对试验指标也有影响。这后一种影响就是因素的交互作用。因素是因素的交互作用。因素A和因素和因素B的交互的交互作用记为作用记为A B。交互作用表交互作用表 用正交表安排有交互作用的试验时，把用正交表安排有交互作用的试验时，把两个因素的
8、交互作用当成一个新的因素来两个因素的交互作用当成一个新的因素来看待，让它占有一列，叫交互作用列。交看待，让它占有一列，叫交互作用列。交互作用列按交互作用表安排。互作用列按交互作用表安排。水平数相同有交互作用的正交试验设计水平数相同有交互作用的正交试验设计例例 某产品的产量取决于某产品的产量取决于3 3个因素个因素A A、B B、C C，每个因素都有每个因素都有2 2个水平，具体数据如表所个水平，具体数据如表所示。每两个因素之间都有交互作用。试验示。每两个因素之间都有交互作用。试验指标为产量，越高越好，试安排试验，并指标为产量，越高越好，试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。分析试验结果，
9、找出最好的方案。(采用采用L8(27) 因素因素水平水平ABC1601.220%2801.530% 列号列号列号列号( )1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)列号列号1234567因素因素ABA BCA CB C表头设计表头设计 列号列号列号列号( )1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7) 因因素素 试验号试验号1A2B3A B4C5A C6B C产量产量kg1111111652111222733122112724122221755212121706212212747221
10、12260822121171K1285282269267282281K2275278291293278279k171.2570.567.2566.7570.570.25k268.7569.572.7573.2569.569.75极极 差差2.51.05.06.51.00.5优方案优方案A1B2(A B)2C2(A C)1(B C)1n从极差大小看出，影响最大的因素是从极差大小看出，影响最大的因素是C，取取2水平为好，其次是水平为好，其次是A B，取，取2水平为水平为好，第三是因素好，第三是因素A， 取取1水平为好，第水平为好，第四是因素四是因素B， 取取1水平为好。由于因素水平为好。由于因素B
11、影响较小，影响较小，1水平和水平和2水平差别不大，但水平差别不大，但考虑到考虑到A B是是2水平好，它的影响比水平好，它的影响比B大，所以因素大，所以因素B取取2水平为好。水平为好。A C、B C的极差很小，对试验的影响很小，忽的极差很小，对试验的影响很小，忽略不计。综合分析考虑，最好的方案是略不计。综合分析考虑，最好的方案是C2A1B2。n对三个指标分别进行直观分析：对三个指标分别进行直观分析：提取物得率：提取物得率：l因素主次：因素主次：C A B l优方案：优方案：C3A2B2 或或C3A2B3 总黄酮含量：总黄酮含量：l因素主次：因素主次：A C B l优方案：优方案：A3C3B3 葛
12、根素含量葛根素含量 ：l因素主次：因素主次：C A B l优方案：优方案：C3A3B2 n综合平衡：综合平衡：A3B2C3 综合平衡原则：综合平衡原则：n次服从主（首先满足主要指标或因素）次服从主（首先满足主要指标或因素）n少数服从多数少数服从多数 n降低消耗、提高效率降低消耗、提高效率 综合平衡特点：综合平衡特点：n计算量大计算量大n信息量大信息量大n有时综合平衡难有时综合平衡难（2）综合评分法）综合评分法 综合评分法：综合评分法：n根据各个指标的重要程度，对得出的试验结果进行分析，根据各个指标的重要程度，对得出的试验结果进行分析，给每一个试验评出一个给每一个试验评出一个分数分数，作为这个试
13、验的，作为这个试验的总指标总指标n进行单指标试验结果的直观分析法进行单指标试验结果的直观分析法评分方法：评分方法： n直接给出每一号试验结果的综合分数直接给出每一号试验结果的综合分数 n对每号试验的每个指标分别评分，再求综合分对每号试验的每个指标分别评分，再求综合分若各指标重要性相同：各指标的分数总和若各指标重要性相同：各指标的分数总和 若各指标重要性不相同：各指标的分数加权和若各指标重要性不相同：各指标的分数加权和 如何对每个指标评出分数如何对每个指标评出分数 n非数量性指标：依靠经验和专业知识给出分数非数量性指标：依靠经验和专业知识给出分数n有时指标值本身就可以作为分数有时指标值本身就可以
14、作为分数 ，如回收率、纯度等，如回收率、纯度等n用用“隶属度隶属度”来表示分数来表示分数 ：指标值 指标最小值隶属度指标最大值 指标最小值例例n两个指标：取代度、酯化率两个指标：取代度、酯化率n两个指标重要程度不同两个指标重要程度不同n综合分数取代度隶属度综合分数取代度隶属度0.4酯化率隶属度酯化率隶属度 0.6综合评分法特点综合评分法特点 n将多指标的问题，转换成了单指标的问题，计算量小将多指标的问题，转换成了单指标的问题，计算量小n准确评分难准确评分难 6.2.3 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计（1）交互作用的判断）交互作用的判断n设有两个因素设有两个因素A和和B ，各取
15、两水平，各取两水平n在每个组合水平上做试验，根据试验结果判断在每个组合水平上做试验，根据试验结果判断A1A2B12535B23040A1A2B12535B23015（2）有交互作用的正交试验设计及其结果的直观分析）有交互作用的正交试验设计及其结果的直观分析 例：例：n3因素因素2水平水平n交互作用：交互作用：AB、ACn指标：吸光度指标：吸光度 ，越大越好，越大越好 选表选表 n应将交互作用看成因素应将交互作用看成因素 n按按5因素因素2水平选表：水平选表：L8（27）表头设计表头设计 n交互作用应该占有相应的列交互作用应该占有相应的列交互作用列交互作用列n交互作用列是不能随意安排交互作用列是
16、不能随意安排n表头设计两种方法：表头设计两种方法：查交互作用表查交互作用表 查表头设计表查表头设计表 明确试验方案、进行试验、得到试验结果明确试验方案、进行试验、得到试验结果 计算极差、确定因素主次计算极差、确定因素主次 注意：注意：n排因素主次顺序时，应该包括交互作用排因素主次顺序时，应该包括交互作用优方案的确定优方案的确定 n如果不考虑因素间的交互作用如果不考虑因素间的交互作用 ，优方案：，优方案：A2B2C1 n交互作用交互作用AC比因素比因素C对试验指标的影响更大对试验指标的影响更大 n因素因素A，C水平搭配表水平搭配表 因素因素A，C水平搭配表水平搭配表 A1A2C1(y1+ y3)
17、/2=(0.484+0.532)/2=0.508(y5+ y7)/2=(0.472+0.554)/2=0.513C2(y2+ y4)/2=(0.448+0.516)/2=0.482(y6+ y8)/2=(0.480+0.552)/2=0.516说明：说明： n表头设计中的表头设计中的“混杂混杂”现象现象（一列安排多个因素或交互作（一列安排多个因素或交互作用）用）n高级交互作用高级交互作用 ，如，如AB C，一般不考虑，一般不考虑nr水平两因素间的交互作用要占水平两因素间的交互作用要占r1列列 ，当，当r2时，不宜时，不宜用直观分析法用直观分析法n即使不考虑交互作用，最好仍与有交互作用时一样，按
18、规即使不考虑交互作用，最好仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设计定进行表头设计 6.2.4 混合水平的正交试验设计混合水平的正交试验设计两种方法：两种方法：n直接利用混合水平的正交表直接利用混合水平的正交表n拟水平法：将混合水平的问题转化成等水平问题来处理拟水平法：将混合水平的问题转化成等水平问题来处理 6.2.5 Excel在直观分析中应用在直观分析中应用n函数函数 SUMIF n绘制趋势图绘制趋势图 （1）直接利用混合水平的正交表）直接利用混合水平的正交表 n例例n注意：注意：不同列不同列Ki与与ki的计算的计算计算极差时，按计算极差时，按ki计算计算混合水平正交表也可以安排混合水平正交
19、表也可以安排交互作用交互作用 （2）拟水平法）拟水平法 n例例拟水平拟水平：将现有较好的水平重复一次：将现有较好的水平重复一次n注意：注意：有拟水平的列，有拟水平的列，Ki，ki计算计算计算极差时，按计算极差时，按ki计算计算有拟水平的因素确定优水平时，应按有拟水平的因素确定优水平时，应按ki确定确定可以对多个因素虚拟水平可以对多个因素虚拟水平 6.3 正交试验设计结果的方差分析法正交试验设计结果的方差分析法 n能估计误差的大小能估计误差的大小 n能精确地估计各因素的试验结果影响的重要程度能精确地估计各因素的试验结果影响的重要程度6.3.1 方差分析的基本步骤与格式方差分析的基本步骤与格式 设
20、：设：n用正交表用正交表Ln(rm)来安排试验来安排试验 n试验结果为试验结果为yi（i=1,2,n） （1）计算离差平方和）计算离差平方和 总离差平方和总离差平方和 2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyQPn1niiTy21niiQy2211()niiTPynn设：设：各因素引起的离差平方和各因素引起的离差平方和 n第第j列所引起的离差平方和列所引起的离差平方和 ：22211()()rrjiiiirTrSSKKPnnn1mTjjSSSS因此：因此：交互作用的离差平方和交互作用的离差平方和 n若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的若交互作用只占有一列，则其离差平方
21、和就等于所在列的离差平方和离差平方和SSj n若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平方和之和，平方和之和， 例：例：r=3时时 12A BA BA BSSSSSS（）（）试验误差的离差平方和试验误差的离差平方和 n方差分析时，在进行表头设计时一般要求留方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列有空列，即，即误误差列差列 n误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：eSSSS空列（2）计算自由度）计算自由度总自由度总自由度 ：dfTn1任一列离差平方和对应的自由度任一列离差平方
22、和对应的自由度 ： dfjr1交互作用的自由度交互作用的自由度 ：（以：（以AB为例）为例）ndfABdfA dfBndfAB( r1 )dfj若若r 2， dfABdfj若若r 3， dfAB 2dfj= dfA dfB误差的自由度：误差的自由度： dfe空白列自由度之和空白列自由度之和（3）计算均方）计算均方n以以A因素为例因素为例 ：AAASSMSdfA BA BA BSSMSdfeeeSSMSdfn以以AB为例为例 ：n误差的均方：误差的均方： 注意：注意：n若某因素或交互作用的均方若某因素或交互作用的均方MSe，则应将它们归入误差，则应将它们归入误差列列n计算新的误差、均方计算新的误
23、差、均方 例：若例：若MSA MSe 则：则：eeASSSSSSeeAdfdfdfeeeSSMSdf（4）计算）计算F值值n各均方除以误差的均方，例如：各均方除以误差的均方，例如： AAeMSFMSA BA BeMSFMSAAeMSFMSA BA BeMSFMS或或或或（5）显著性检验）显著性检验n例如：例如：若若 ，则因素，则因素A对试验结果有显著影响对试验结果有显著影响 若若 ，则交互作用，则交互作用AB对试验结果有对试验结果有显著影响显著影响 (,)AAeFFdfdf(,)A BA BeFF dfdf（6）列方差分析表）列方差分析表 6.3.2 二水平正交试验的方差分析二水平正交试验的方
24、差分析 n正交表中任一列对应的离差平方和：正交表中任一列对应的离差平方和： 2121()jSSKKnn 例例6-96.3.3 三水平正交试验的方差分析三水平正交试验的方差分析 nr=3，所以任一列的离差平方和：，所以任一列的离差平方和： 3213()jiiSSKPnn 例例6-10注意：注意： 交互作用的方差分析交互作用的方差分析 有交互作用时，优方案的确定有交互作用时，优方案的确定6.3.4 混合水平正交试验的方差分析混合水平正交试验的方差分析 (1)利用混合水平正交表利用混合水平正交表 n注意：不同列的有关计算会存在差别注意：不同列的有关计算会存在差别 n例例6-11(2) 拟水平法拟水平
25、法 n注意：注意：有拟水平的列平方和的计算有拟水平的列平方和的计算误差平方和的计算误差平方和的计算误差自由度的计算误差自由度的计算n例例6-126.3.5 Excel在方差分析中应用在方差分析中应用 n内置函数内置函数SUMSQ L8(27)二列间的交互作用二列间的交互作用 L8(27)表头设计表头设计 L27(313)表头设计表头设计 因因素素数数列列 号号123456789101112133AB(AB)1(AB)2C(AC)1(AC)2(BC)1(BC)24AB(AB)1(CD)2(AB)2C(AC)1(BD)2(AC)2(BC)1(AD)2D(AD)1(BC)2(BD)1(CD)1试验号
26、试验号因因 素素得分得分ABC111111221222263211224422211553121266321218741221984211210K1821242324K2929262726K314K419k14.05.26.05.86.0k24.57.26.56.86.5k37.0k49.5极差极差R5.52.00.510.5因素主因素主次次A B C优方案优方案A4B2C2 或或A4B2C1例例6-8因素水平表因素水平表水平水平因因 素素温度（温度（A）/甲醇钠量（甲醇钠量（B）/mL醛状态（醛状态（C）缩合剂量缩合剂量（D）/ mL1353固固0.92255液液1.23454液液1.5试验
27、号试验号因因 素素合成率合成率/%（合成率（合成率70）/%ABCD1111（1）169.20.82122（2）271.81.83133（2）378.08.04212（2）374.14.15223（2）177.67.66231（1）266.53.57313（2）269.20.88321（1）369.70.39332（2）178.88.8K19.02.54.615.6K28.29.129.52.5K37.713.311.8k13.00.81.55.2k22.73.04.90.8k32.64.43.9极差极差R0.43.66.46因素主因素主次次C D B A优方案优方案C2D1B3A2L8(424)表头设计表头设计因素数因素数列号列号123452AB(AB)1(AB)2(AB)33ABC4ABCD5ABCDE
