1、理论力学热力学与统计物理质点组的单粒子运动和集体运动质点组的单粒子运动和集体运动2 转动定律转动定律 3 刚体转动的功和能刚体转动的功和能 4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律一一. 刚体刚体内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。过程中不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动的轴线的转动1. 1. 平动平动 运动过程中刚体内任意一条直线
2、在运动过程中始终保运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。持方向不变。 特点：特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。为刚体的转动。这条直线称为转轴。转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。O特点：特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。度。刚体
3、上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律转动的规律3. 刚体运动的自由度刚体运动的自由度各质点的位置由刚体上任意一个点（如质心）的位置加上刚体对该点的方位确定刚体的自由度等于描述其位型的坐标数减去约束方程数可以证明，刚体的自由度一般为6描述刚体的一般运动需要6个独立变量，由6个运动方程决定。最简便的方式：质心的平移运动方程：外FP刚体绕质心转动的转动方程：外ML如我们要决定一个质点在空间中的位置，最少需要知道三个坐标，x、y和z，因此质点有三个自由度。如果是刚体，我们除了要知道刚体质心在空间中的位置，x、y和z，还需要知道刚体在空间中的转动
4、状况。刚体在空间中的转动可描述为刚体绕固定轴转，固定轴的取向，即方位角 、 和中只有两个是独立的（我们可以通过让刚体先绕y-轴转，再绕z-轴转，达到空间中任意取向），因此刚体的自由度数为6，可分为三个平动的，三个转动的。 单 原 子 分 子 ， 如 惰 性 气 体 等 ， 我 们 可 以 使 用 质 点模 型 ， 总 自 由 度 数 为 3 。 如 果 是 双 原 子 分 子 ， 如氧 气 、 氢 气 等 。 我 们 可 以 将 其 看 作 是 两 个 质 点 通过 一 根 弹 簧 （ 用 一 根 线 表 示 ） 连 接 起 来 ， 如 果 不考 虑 振 动 ， 可 以 有 3 个 平 动 、
5、 2 个 转 动 （ 沿 轴 向 转动 惯 量 为 0 ， 因 此 与 刚 体 相 比 要 少 1 个 转 动 自 由 度 ）共 5 个 自 由 度 。 这 可 看 作 是 两 个 独 立 质 点 （ 6 个 自由 度 ） ， 再 加 上 一 个 约 束 条 件 （ 不 考 虑 振 动 的话，两质点间距离不变），因此总自由度数为5个。类 似 地 我 们 还 可 以 考 虑 其 他 多 原 子 分 子 情 形 ， 如 三原 子 分 子 （ 不 考 虑 三 原 子 排 列 在 一 条 直 线 情 况 ） ：不考虑振动，应有：3x3 - 3 = 6个自由度（三个质点，三个独立约束条件）。三、刚体速度
6、的描述三、刚体速度的描述 选择两个坐标系：A空间坐标系：静止坐标系B固联于刚体上的坐标系，通常是坐标原点位于质心的动坐标系P点的位置：在A坐标系中：),(zyxrOP在B坐标系中：) , , ( zyxrPOB坐标系坐标原点O在A坐标系里的位置矢量为：),(RRRzyxROO（1）平移运动刚体的平移运动为刚体中任一质点的平移速度，可以用B坐标相对于A坐标的移动速度表示，记为：Ru（2）转动刚体上任一点P绕一直线(瞬时转轴) 运动，运动中P点到轴上每一点的距离保持不变设转轴的单位矢量为nP点绕转轴的无限小转动位移 rd必垂直于 r及nsinrrn为P点绕转轴n的垂直转动半径df 为该垂直转动半径
7、转过的无限小转角故可知：drnrd由转动而产生的P点相对于轴上任一点O的速度为：dtdrndtrdvf) (其中dtdtnnf)(为绕n轴转动的角速度矢量故：P点在固定坐标系中的运动速度为O点的平移速度与绕过O点的轴的转动速度的矢量和：)(rurv角位置：角位置： 1. 1. 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 )(t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dtddtd 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。向并满足右手螺旋定则。2. 2. 角量和线量的关系角量和线
8、量的关系rv 2raran矢量表示：矢量表示： rrarv2二二 角速度矢量角速度矢量四、刚体的动量四、刚体的动量 刚体的总动量为刚体内各部分（质量元）的动量之和：mdvPdPPii ruv故0) (，则将动坐标原点取在质心dmrdmudmruP故：dmuPCr dVrdVMrmmrmrNiiiNiiNiiiC111若只讨论刚体的转动，设刚体的平动速度 为零，则故：将固定坐标系原点设在刚体质心（质心速度为零），则：0221dmuTtransdmrdmrTTrot22)(21) (21重合，五、刚体的动能五、刚体的动能 刚体的总动能为 TT2T222) () (21212121rottrans科
9、里奥利力的能量刚体转动动能刚体平动动能dmrudmrdmudmrudmvT0) (dmruTu r与rkzj yi xrkjizyx yxxzzyzyxxyzxyzyxxzzyr222 )()()()(2222222222引入符号：转动惯量和惯量积构成一个二阶张量其中：),(zyxjiijdmyxdmxzdmzyzzyyxx)()()(222222因此，动能可表示为：yxxyxzzxzyyzxydmzxdmyzdmzzyyxx、称为刚体绕x,y,z轴的转动惯量xzzxzyyzyxxy、称为刚体的惯量积，称为惯量张量zzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxz
10、yxyxxyzyyzxzzxzzzyyyxxxT212121222记为Ix，Iy，Iz。则动能的表示式简化为：六、主轴惯量对于具有轴对称质量分布的刚体，当取这些对称轴为坐标轴后，可是刚体的惯量积为零，二阶张量退化为矢量，即矩阵元内只有对角元素22221zzyyxxIIITzzyyxx、，它们是绕坐标轴的转动惯量Ix，Iy，Iz为主转动惯量，x，y，z为惯量主轴。把坐标轴取在刚体对称轴上的做法叫作主轴变换。主轴如何确定?显然,求刚体主轴的一般问题等效于一个3*3矩阵对角化的数学问题。由矩阵理论知道,任何对称方阵可以对角化。2iirmJ连续体：连续体：dmrJ21. 1. 转动惯量的物理意义：转动
11、惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。刚体转动惯性大小的量度。 2. 2. 转动惯量的计算转动惯量的计算 转动惯量与刚体的质量、刚体的形状、以及转动轴有关。转动惯量与刚体的质量、刚体的形状、以及转动轴有关。 计算质量为计算质量为 m ，长为，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴的的细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。转动惯量。oxzdxdmxdmxdJ2dxlmdxdmllxlmdxlmxJ030231231mlJ 一质量为一质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并与的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。盘面垂直的轴的转动惯量。rdrRrdrdm2dmrdJ
12、2RdrrJ03224212mRRO平行轴定理：质点组对任一轴z的转动惯量I，等于它对通过质心C且与z轴平行的轴z的转动惯量Ic，加上质点的质量m与两轴间距离d的平方的乘积。垂垂 直直 轴轴 定定 理理ozyxyxzJJJ221mRJZ241mRJJyx例例 ：2212mRJJJxyx垂直轴定理：如果质点系的全部质量都存在于平面上(x-y平面), 则质点系对该平面中任二垂直轴的转动惯量之积(Ix+Iy), 等于过该二轴的交点与它们垂直的第三轴的转动惯量。工程上还常用到与转动惯量有关的回转半径的概念，对于一任意形状的物体，设想它的全部质量m集中在一点上，若这个质量为m的质点对给定轴的转动惯量与物
13、体对同一轴的转动惯量I相等，则这质点到轴的垂直距离，就叫做物体对该轴的回转半径，常用k表示。由于质量为m的质点与轴相距为k时的转动惯量等于 ，而它等于物体对同一轴的转动惯量I，故有 回转半径的单位是m（米）iiiiimrPrv动量八、角动量八、角动量 刚体的总角动量定于为刚体上各质点角动量之和 只考虑刚体的转动，刚体上各质点的速度为：总角动量：zydmzxdmdmyxLyzdmyxdmdmxzLxzdmxydmdmzyLyxzzzxyyzyxx)()()(222222iiiiiimrrPrL)(角动量iiiimrrL)(连续质量分布：kLjLiLdmrrLzyx)(其中zzzyzyxzxzzy
14、zyyyxyxyzxzyxyxxxxLLL即iiiirrrL)(2写成矩阵形式：作主轴变换，可使 的表示式得到简化：刚体的转动动能为zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxLLkIjIiILzzyyxxLTrot21九、惯量主轴九、惯量主轴 当刚体绕惯量主轴以角速度转动时，刚体的角动量L也沿惯量主轴的方向，因为 与 同方向，数学上就意味着它们只差一个标量因子I，记做LL其中，II为标量因子I乘单位矩阵L写成矩阵形式：zyxzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxIII000000移项得：0zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxIII惯量椭球:解析几何里求二次曲面主轴的方法；或线性代数里
15、求本征值的方法。0)(0)()(0)(zzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxxIII即：上述方程组有非平凡解得充要条件是系数行列式为零，即：0IIIzzzyzxyzyyyxxzxyxx此为久期方程，解之可得三个实的本征值：I1, I2, I3，每一个Ii对应于绕一个主轴的转动惯量，即主转动惯量。当得到三个主轴的转动惯量I1, I2, I3，分别代入，可求出三组两两正交的实本征向量， ，),(1111zyx),(2222zyx),(3333zyx它们的方向即三个主轴的方向。刚体运动的分类：(1) 平动：(x,y,z), f = 3(2) 定轴转动，f，f = 1(3) 平面平行运动
16、刚体内任意一点始终在平行于某固定平面的平面内运动平面运动。例：沿斜面滚动的圆柱，取它的一个断面，其上个点的运动，代表了圆柱沿轴线方向的直线上所有点的运动。平面内两个坐标：x,y, +转动角f, f = 3(4) 定点运动(定点转动) 只有一个点保持不动，实际上是刚体绕通过定点的瞬时轴的转动。 转轴的方向两个变数，绕转动轴的转动一个变数，f 3(5) 一般运动: 平动定点运动。 f(x,y,z)描述基点的位置，欧勒角a，g描述刚体的方位。 一一只有对z轴的转动惯量为常数，因为刚体转动时，各点到z轴的距离均不改变。刚体运动的基本类型平动：刚体在运动过程中，体内或与之固联的空间任何两点之间的直线都与
17、自身平行，或在运动的任何瞬间，刚体上每点都作平行移动，即位移大小、方向都相等，刚体内任一点都可以代表刚体的运动。只存在平动时，刚体的运动可以作为质点的运动来处理。转动：刚体运动过程中有两点（因而就有一直线）保持不动，此直线即为转动轴，如两点瞬时不动，转动轴为瞬时轴。如两点始终保持不动，转动轴为固定轴。分为 瞬时轴 固定轴 转动。平动平动 + + 转动转动两个关于刚体位移的重要定理：Eulers 定理和Chales定理。Eulers定理：定点转动具有任一个固定点的刚体的最一般的位移，可以由绕通过此定点的某一轴的纯转动来实现。定点运动定理（ Eulers定理）的意义。该定理说明刚体定点运动的一个有
18、限位移可以通过绕过定点的某一轴的一个转动来实现。将这个定理的结论用于无限小位移，证明了定点运动的每一瞬时可以看作是绕瞬时转轴的纯转动，因而可以像定轴转动那样引入角速度来表示其运动状态，用角速度来表示其运动状态的改变。Chales定理：一般运动刚体最一般的位移，等同于一螺旋位移，即可以被视为平动及一绕一平行于平动方向之轴的转动的合成。 Eulers角Eulers角Eulers 小结: 欧勒角 欧勒角是按约定的顺序，由相继的三次转动形成的。 设动坐标系为Oxyz，固定坐标系为OzhxOz(xx(zy(hOz(xxyzhNOxxyzhNzffOxxyzhNzyy初始时，动静两系完全重合动系的O-xy
19、平面绕x轴转f角至x,y位置，转动后的Ox轴称为节线，记为ON。f为进动角。动系的O-yz平面绕节线ON转角使动系到达新位置Oxyz。为章动角。将动系的O-xy平面绕Oz轴转y角，且用x，y分别代替x，y，使动系达到最终位置O-xyz。y角为自转角三个欧勒角完全确定了动系相对于静系的取向，从而决定绕定点O转动的刚体在空间的位置。当刚体运动时，三个欧勒角可随时间变化，即：yyy20 )(20 )(0 )(ttt刚体绕定点转动的总角速度为进动角速度 ，章动角速度 ，自转角速度 的叠加yy静系在动系，kjizyxyfyfycossincossincossinsinzyx欧勒运动学方程质量为m，长为l
20、的匀质细棒与转轴刚性连接，且两者之间成a角，棒绕过中点的竖直轴以匀角速转动。转轴在A、B两点用轴承固定，已知AOOBl，求轴处所受的附加压力。aOzyBA二. 欧勒方程 刚体绕质心(或固定系)转动的转动方程为：LM外L故：)(dtdLdtdM外或写成：)(jjiidtdM爱因斯坦求和约定：当一项中一个指标出现两次，便自动理解为对该指标求和。i为自由指标，j为哑指标。固定坐标系中， 随时间变化随刚体转动的坐标系， 与时间无关。jiji如果将动量矩定理投影到固定坐标轴来求解标量方程，那么，固定坐标系中，惯量张量的各分量都是随时间在变化。因此不但运算不方便，而且也远比定轴转动的情形为复杂。首先，将相
21、对于惯性系的矢量角动量投影到任意的动坐标系上。其次，取刚体对O点的惯量主轴为动系的坐标轴，那么由于惯量积等于零，角动量的的表达方式可以简化。OABQPr动坐标系：B，随刚体一起转动固定坐标系：A，地面固定坐标系刚体作定点转动。A坐标系，刚体以 速度绕定点O转动，刚体上一点P的位置矢量 的速度rrv设Q为P点运动轨迹上的点，若OQ在A坐标系是固定矢量，则在B坐标系中就是运动矢量，并有：rrv)(推论：在A坐标系中为固定矢量的任意矢量 ，在B坐标系中对时间的导数为：L LdtLd外力矩 0，A坐标系中，角动量 为常矢量，在转动坐标系中，有ML LdtLd旋转运动的基本方程旋转运动的基本方程刚体转动
22、的欧拉方程刚体转动的欧拉方程外力矩 ，A坐标系中：0MdtLdM设任一矢量 在B坐标系中可写作：AkAjAiAAzyx则：的运动动坐标相对于固定坐标)(dtkdAdtj dAdti dAkdtdAjdtdAidtdAdtAdzyxzyx对于刚体的纯转动：rdtrdidti djdtj dkdtkd故有：附加项对时间的导数动坐标系中矢量对时间的导数固定坐标系中矢量)()(AAAkdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx故LkdtdLjdtdLidtdLdtLdzyx)(因：dtLdM故LMkdtdLjdtdLidtdLzyx间的变化规律动坐标系中角动量随时)(kdtdLjdtdLidtdLLz
23、yx令则动坐标系中普遍情况下的旋转刚体的基本运动方程为代表动坐标系中的角动量的导数LMdtLd广义欧拉运动方程广义欧拉运动方程18g1mg2m ABC Lzxy例题：例题：求质点系对求质点系对C点和对点和对 z 轴的动量矩。轴的动量矩。1r2r21)(iiCmiivrL解：解：根据动量矩的定义，有根据动量矩的定义，有222111vrvrmm112vrmCLsin2)sin(22mLLLmLC22sin2 mLLzsinCL质点系的动量对质点系的动量对 P点之矩在通过该点轴点之矩在通过该点轴上的投影等于质点系动量对该轴之矩。上的投影等于质点系动量对该轴之矩。1 例例 碾磨机碾轮在竖直轴驱动下沿水
24、平面作纯滚动，轮的水平轴则碾磨机碾轮在竖直轴驱动下沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则 绕竖直轴绕竖直轴OBOB转动。转动。OA=COA=C，OB=bOB=b，试求总角速度，试求总角速度 、角加、角加以匀角速度以匀角速度速度速度以及轮上最高点以及轮上最高点M的速度和加速度。的速度和加速度。解：（解：（1）用定点运动公式解）用定点运动公式解 取如图所示的直角坐标系，则取如图所示的直角坐标系，则ki2121kbci11 kbcdtkdbcdtd 110ibcibckkbcibc2111111)0()( )()()(11j bkckbcij bkcrMMi ci ci c1112 )(MMMrra)()(
25、)()(111121j bkckbcikbcij bkcibc = kcjbc21223 （2）用一般运动公式求）用一般运动公式求 如图所示。如图所示。 kbciki1121ibcdtd21 j bkbcii crAMAM)(111i ci bbci c1112)0( )(AMAMAMrraa )()()(11112121j bkbcikbcij bibckc)()(1112121i ckbcikckcjbckcjbckckc212121212132 Homework1. 证明转动惯量的垂直轴定理2. 质量为M的物体由弹簧系数为k的弹簧自天花板挂下,还有一个弹簧常数为k的弹簧把物体与地反相连,试导出M的竖直方向运动方程并求解.3. 半径为a，高为h的实心匀质圆柱体绕过质心C且与中心线成a角的轴以匀角速转动，求圆柱体的角动量和转动动能。4. 求正方形匀质薄板对其一顶点O的主转动惯量和主轴方向。
