1、2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布2.5.2 2.5.2 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk求求Y=g(X)Y=g(X)的分布律的分布律. .2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布第第 一一 种种 情情 形形: :如如果果，nyyy21两两两两不不相相同同，则则由由 ， 21 nxXPyYPnn的的分分布布律律为为可可知知随随机机变变量量 Y ,2,1 npyYPnn或或Y 1y
2、 2y ， ny P 1p 2p ， np 将将X的取值代入函数关系，求出随机变量的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值相应的取值 ).21()(，kxgykk计算离散型随机变量函数的分布的步骤：计算离散型随机变量函数的分布的步骤：第第 二二 种种 情情 形形: :如如果果，nyyy21有有相相同同的的项项， .的的分分布布律律机机变变量量的的概概率率相相加加，即即可可得得随随相相应应（看看作作是是一一项项），并并把把则则把把这这些些相相同同的的项项合合并并XgY 2.5.2 2.5.2 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函
3、数)求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数手段：（1） 从分布函数出发（分布函数法）（2）从密度函数出发（公式法） 1.分布函数法分布函数法 (1) 根据分布函数的定义求根据分布函数的定义求Y的分布函数的分布函数FY(y); (2) 由由 fY(y) = F (y) 求出求出 fY (y)例例 已知已知X X 密度函数为密度函数为babaXYxfX,),(为常数，且为常数，且 a a 0, 0, 求求f fY Y( y )( y )解解: :)()(yYPyFY)(ybaXP )(1)(byaXPyFY)(1byaFX当当a 0 a 0 时，时，)(11)(byafayfXY当当a 0
4、 时，时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故故)(1|1)(byafayfXY例如，设例如，设 X N ( , 2) , Y = a X +b, 则则)(1|1)(byafayfXY2222)(|21 aabyeayY N ( a +b, a2 2 )特别地特别地 ，若，若 X N ( , 2) , ) 1 , 0( NXY则则例例4 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 解解)()(yYPyFY)()(2yXPyFY当y 0 时，)(yXyP)()(yFyFXX)(yFY0, 0y0),()(yyFyFXX)(2yXP
5、)(yFY0, 0y0),()(yyFyFXX故)(yfY0, 0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0, 0y0,2122/1yeyy分布。的由度为服从自此时称21Y2、公式法（从密度函数出发）、公式法（从密度函数出发） ., 0,|,)(|)()(其它其它 yyhyhfyfXY 定理定理 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度是的概率密度是fX（x） ，函数函数y = g（x）单调可导，其反函数）单调可导，其反函数x = h（y ）满足）满足 h(y) 恒不为零。对于恒不为零。对于fX(x)0的的 x， y = g（x）的值）的值域为域为，则随机变量，则随机变量Y的概率密度为
6、的概率密度为例例 5 5 的密度函数的密度函数，试求随机变量，试求随机变量，设随机变量设随机变量yfYeYNXYX 2 解解：的的密密度度函函数数为为，知知题题设设由由X的导数恒不为函数为是严格增加的，它的反因为函数yxeyxln xexfx22221 上变化上变化，在区间在区间，上变化时上变化时，在区间在区间并且当随机变量并且当随机变量 0XeYX 时时，所所以以，当当 0y yfY yy12lnexp2122 0002lnexp2122yyyyyfY 的的密密度度函函数数为为由由此此得得随随机机变变量量XeY yyfXlnln小结：小结：1 一般情形下求随机变量函数的分布一般情形下求随机变
7、量函数的分布。2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。的分布。重点：重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。概率密度。 解：解：设设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数21)28()()(yfdyydFyfXYY课堂练习课堂练习精品课件精品课件！精品课件精品课件！0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 时，时， 0)( xfX即即 8 y 16 时，时， 0)28(yfX 此时此时168)28(yyfXY=2X+8其它, 040, 8/)(xxxfX
