1、相相 场场 法法 数数 值值 模模 拟拟phase-field modeling内容相场法数值模拟相场法数值模拟介绍介绍 (Introduction)相场变量相场变量(Phase-field variables)热力学势函数热力学势函数(thermodynamic energy functional)相场方程相场方程(Phase field equations)一、介绍一、介绍 相场模型是一种建立在热力学基础上，考相场模型是一种建立在热力学基础上，考虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来建立相场方程描述系统演化动力学的模型。建立相场方程描述系统演化动力学的模型
2、。核心思想核心思想引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面尖锐界面与弥散界面尖锐界面与弥散界面sharp-interface versus diffuse-interface图图1（a）性能不连续）性能不连续 （b）性能连续）性能连续N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution, CALPHAD - Computer Co
3、upling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008 尖锐界面尖锐界面cDtc2)()(int,int,cccDtc2相扩散到相扩散到相的溶质相的溶质扩散方程扩散方程cDtc2cDtc211int,int,)(rcDrcDcc)()(int,int,cc 相场法是以相场法是以Ginzburg-Landau理论为基础理论为基础, , 用微用微分方程来体现扩散、有序分方程来体现扩散、有序化势和热力学驱动的综合化势和热力学驱动的综合作用作用, , 它是建立在它是建立在Ginzburg-Landau 唯象理论之上的唯象理论之上的
4、一种近代方法。一种近代方法。基本类型基本类型1.1.连续相场法：连续相场法：扩散方程扩散方程 驰豫方程驰豫方程2.2.微观相场法微观相场法：实际是实际是 Cahn-Hilliard 方程的微方程的微 观离散格点形式。观离散格点形式。Kha- chatuyran 引入微观场引入微观场, 用于描述由原子占据晶用于描述由原子占据晶 格位置的几率作为场变格位置的几率作为场变 量来描述微结构变化量来描述微结构变化于志生, 刘平, 龙永强.基于Ginzburg-Landau 理论的相场法研究进展J.材料热处理技术,2008,37(16):9498相场法原理相场法原理1.1.计算量巨大，可模拟的计算量巨大，
5、可模拟的尺度较小（最大可达几十尺度较小（最大可达几十个微米）。个微米）。2.2.相场参数不容易确定。相场参数不容易确定。1.1.通过相场与温度场、溶质通过相场与温度场、溶质场及其它外部场的耦合，能场及其它外部场的耦合，能有效地将微观与宏观尺度结有效地将微观与宏观尺度结合起来。合起来。2.2.由于不需要追踪晶界位置由于不需要追踪晶界位置能方便处理晶界上溶质聚集能方便处理晶界上溶质聚集和第二相析出问题，并能将和第二相析出问题，并能将晶界能和晶界迁移率的各向晶界能和晶界迁移率的各向异性方便地考虑进去，还能异性方便地考虑进去，还能够较大程度避免点阵的各向够较大程度避免点阵的各向异性。异性。相场模型相场
6、模型优缺点优缺点该方法自提出该方法自提出后，迅速成为后，迅速成为微观组织模拟微观组织模拟的热点的热点二、相场变量二、相场变量(phase-field variables)指那些满足局域守恒条件的场变量指那些满足局域守恒条件的场变量如人们最熟悉的浓度序参量如人们最熟悉的浓度序参量c c指那些不满足局域守恒条件的场变量指那些不满足局域守恒条件的场变量如长程序参量如长程序参量保守场保守场(conserved variables)假设假设C组分体系组分体系摩尔浓度ic摩尔分数ixiVimVinrdxVrdc1mtotCiiCiiVVncx1, 111nntotiix miiiVxVcn成分变量成分变量
7、图图2 2 两种不同组成区域两种不同组成区域非保守场非保守场(non-conserved variables)表示无序域表示有序域或011序参量序参量(order parameters)图图3 3 反相位结构反相位结构非保守场非保守场(non-conserved variables)图图4 4 立方结构转化成四方结构有三个等同取向立方结构转化成四方结构有三个等同取向非保守场非保守场(non-conserved variables)在固液界面表示在液相中表示在固相中1001相场量相场量(phase-fields)两相两相多相多相kppk, 01rk1kk，在系统中任一点相，相应的变量三、热力学势
8、函数三、热力学势函数(thermodynamic energy functional)经典热力学经典热力学fyselbulkFFFFFint 体积自由能体积自由能 界面能界面能 弹性应变能弹性应变能 电磁相互作用能电磁相互作用能(bulk free energy) (interfacial energy) (elastic strain energy) 相场法相场法-热力学热力学rdxxfxxfxFVkkkBkBVkBkBkB220)(2)(2),(),(),(? 和和 梯度能量系数梯度能量系数krdxxfxFVkkkBkBkB220int)(2)(2),(),(?均质与非均质体系均质与非均质
9、体系Homogeneous versus heterogeneous systemsNele Moelans.Phase field method to simulate microstructural evolution (June 2004) 图图5 5 自由能与浓度的关系自由能与浓度的关系固相固相转变转变 反相位结构反相位结构 (anti-phase domain structure) 立方转变为四方相立方转变为四方相 (cubic to tetragonal transformation)42max0043204121)(4)()(ffDCBAffdis3312314312321614
10、121),(kikikiCBAf1 1、固态相变、固态相变- -对称性降低对称性降低各向异性各向异性界面能各向异性通过序参量的梯度项引入到自界面能各向异性通过序参量的梯度项引入到自由能表达式中，如：由能表达式中，如：rdrrrxrxxfFVjiplkjiilikijkljBiBijkB31,1,31,02121),(?AnisotropyElastic misfit energy弹性失配能弹性失配能Nele Moelans.Phase field method: from fundamental theories to a phenomenological simulation method
11、(June 2003) 000ijelijijelijijelijtotij图图6 多相结构应变理论多相结构应变理论bcd弹性失配能弹性失配能有了弹性应变，就可以求得体系总的弹性形变能：有了弹性应变，就可以求得体系总的弹性形变能：rdrrrCFrrrCrrCrelklelijvijklelkltotklijklelklijklij)()()(21)()()()()()(0ijBxijBBBkkijBxijdxdaarxtrxtrxrrxrBkB1)(),(),()()()(0,0ij根据胡克定律可得：根据胡克定律可得：3111311130000000000000000003212 2、凝固、凝
12、固- -单相场变量单相场变量rdxTxfFVBB22*0)(2)(2),(?均质自由能密度均质自由能密度等温凝固，假设摩尔体积不变，即组成梯度项不考虑等温凝固，假设摩尔体积不变，即组成梯度项不考虑则则=0=0?)10156()()(30)(),()(),()(1(),(11)()(),(),(23*22*0pgpTxfpTxfpTxfxxggTxfTxfBBBpABABBpB）（）（双阱势函数图图7 7 组成自由能曲线组成自由能曲线图图8 8 双阱势函数与插值函数双阱势函数与插值函数图图9 9 两相体系均质自由能三维图两相体系均质自由能三维图非等温凝固非等温凝固非等温凝固用熵函数来表示，避免表
13、达式中出非等温凝固用熵函数来表示，避免表达式中出现温度现温度亥姆霍兹能内能000002200)(2)(2),(feTsferdxxesSVBB?四、相场方程四、相场方程(phase-field equations)kkkkkkkfLtrFLttr0),(),(),(),(),(),(),(10trxxxfMtrxxFMttrxVBBkBBkBBmCahn-Hilliard 方程方程Ginzburg-Landau 方程方程数值解数值解(Numerical solution)图图10 10 相场变量在空间和时间离散化相场变量在空间和时间离散化1、有限差分方法、有限差分方法finite differ
14、ences2、自适应有限元法、自适应有限元法finite elements based on adaptive3、谱方法、谱方法spectral methods计算方法计算方法代入代入总结总结将系统总能量写成所有取向将系统总能量写成所有取向场变量及其它们梯度的函数场变量及其它们梯度的函数相场方程相场方程构造局域自构造局域自由能密度由能密度数值模拟数值模拟结束语结束语相场模拟通过微积分放映扩散、有序化相场模拟通过微积分放映扩散、有序化以及热力学驱动力的综合作用。相场方程的以及热力学驱动力的综合作用。相场方程的解可以描述系统中固液界面的状态、曲率以解可以描述系统中固液界面的状态、曲率以及界面的移动
15、。把相场方程与外场（如温度及界面的移动。把相场方程与外场（如温度场等）耦合，则可以模拟多晶的真实形貌。场等）耦合，则可以模拟多晶的真实形貌。相场法数值模拟从单相场发展到多相场，相场法数值模拟从单相场发展到多相场，从没有流场到包含流场，其数学模型越来越从没有流场到包含流场，其数学模型越来越接近真实模拟过程。接近真实模拟过程。人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
