1、高三理科数学（二诊）第 1页（共 4 页）南充市高 2022 届高考适应性考试（二诊）理理科科数数学学注意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数1+ 2i2iz ，则z （）A4B2 3C3D2 22已知集合23Mxx，ln1Nxx，则MC NR（）A2,0
2、B2,eC2,eD,3e3设x、y都是实数，则“2x 且3y ”是“5xy且6xy ”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要4 在Rt ABC中， 两直角边 AB6， AC4， 点 E， F 分别是 AB， AC 的中点， 则()BFCEBC （）A10B20C10D205设等差数列 na的前 n 项和为nS，满足10a ，916SS，则（）A0d BnS的最小值为25SC130aD满足0nS 的最大自然数 n 的值为 256若双曲线 C：22221xyab（0a ，0b ）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则双曲线 C 的离心率为（）A2 33B2C3D2秘密
3、启封并使用完毕前【考试时间：2022 年 3 月 22 日下午 1500-1700】高三理科数学（二诊）第 2页（共 4 页）7我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差 2 的素数，例如 5 和 7. 在大于 3 且不超过 30 的素数中，随机选取 2 个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）A356B328C17D3148已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的左焦点为 F，过点 F 的直线20 xy与椭圆 C相交于不同的两点 A，B. 若 P 为线段AB的中点，O 为坐标原点，直线OP的斜率为12，则椭圆 C 的方程为（）A2213
4、xyB22142xyC22315xyD22163xy9托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，12BD ，且ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为（）A9 3B18 3C24 3D36 310如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P为线段1AC上的动点，点,M N分别为线段111,AC CC的中点，则下列说法错误的是（）A11APBCB三棱锥1PB NM的体积为定值C1,3 2APD D1APD P的最
5、小值为2 6311函数 sin 2f xAx（2，0A）的部分图像如图所示，且 0f af b，对不同的1x，2,xa b，若 12f xf x，有123fxx，则（）A fx在 7,12 12上单调递减B fx关于直线3x对称C fx关于点,012对称D fx在 5,36上是单调递增12 已知函数( )exf xx，( )lng xxx， 若 f mg nt（0t ） ， 则mlnnt的取值范围为 （）A1(, )eB21(,)eC1( ,)eD1,e高三理科数学（二诊）第 3页（共 4 页）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上） 13已知实数,
6、x y满足02,0,2,xyxy则 Z=3xy的最大值为_14已知 F 是抛物线2:4C yx的焦点，P 是 C 上一点，O 为坐标原点，若| 5PF ，则|OP _15若等比数列 na的各项均为正数，且210101013101110122aaaae，则 lna1+lna2+lna2022=_16已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2 3，E,F为体对角线1BD的三等分点，动点P在三角形1ACB内，且三角形PEF的面积2PEFS，则点P的轨迹长度为_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、23 题为选考题，
7、考生根据要求作答17在cos3 cos2bCcB；23ABCSBA BC ；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且_.（1）求角B；（2）在ABC中，2 3b ，求ABC周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试笔试分为三个环节，每个环节都必须参与应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为34若笔试，面试都通过，则可以成为该公司的正式员工，各个环节相互独立.（1）求应聘
8、者甲未能参与面试的概率；（2）记应聘者甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；高三理科数学（二诊）第 4页（共 4 页）19如图所示，四边形ABCD为菱形，PAPD，二面角PADC为直二面角，点E是棱AB的中点（）求证：PEAC；（）若PAAB，当二面角PACB的正切值为2时，求直线PE与平面ABCD所成的角20如图所示，椭圆 C：22221xyab（0ab）的右顶点为 A，上顶点为 B，O 为坐标原点，3OABS，椭圆离心率为12过椭圆左焦点1F作不与x轴重合的直线，与椭圆 C 相交于 M，N 两点. 直线l的方程为：2xa ，过点M作l垂线，垂足为 E（1）求椭圆 C 的标准
9、方程；（2）求证：线段EN过定点，并求定点的坐标；求OEN面积的最大值.21. 已知( )lnln(0)f xaxxx a=- （1）求( )f x在(1,(1)f的切线方程；（2）求证：( )f x仅有一个极值；（3）若存在a，使( )f xab+对任意(0,)x+恒成立，求实数b的取值范围.（二）选考题：共 10 分请考生在第22 23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22已知圆C的参数方程为32cos(2xysin为参数）.（1）以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程；（2）已知直线l经过原点O，倾斜角3，设l与圆C相交于,A B两点，求O到
10、,A B两点的距离之积.23已知函数7( )144yf xxx（1）若关于 x 的不等式( )f xa的有解，求实数 a 的取值范围；（2）设min( )f xt，0m ，0n ，且22mn. 求证：1212mnt 高三理科数学（二诊）参考答案第 1页（共 7 页）1南充市高 2022 届高考适应性考试（二诊）理科数学理科数学参考答案及评分细则参考答案及评分细则一一选择题：选择题： 本题共本题共 12 小题，小题， 每小题每小题 5 分，分， 共共 60 分分123456789101112CBACCDBBDCAD二二.填空题：填空题：本题共本题共 4 小题，小题， 每小题每小题 5 分，分，
11、共共 20 分分13.614.4 215.202216.三三. 解答题解答题17. （1）选择：条件即sin3 cosbCcB，由正弦定理可知，sinsin3sincosBCCB，.2 分在ABC中，,0,B C，所以sin0,sin0BC，所以sin3cosBB，且cos0B ，即tan3B ，所以3B；.5 分选择：条件即12sin3cos2acBcaB，即sin3cosBB， .2 分在ABC中，0,B，所以sin0B ，则cos0B ，所以tan3B ， 所以3B.5 分（2）由（1）知，3B，2 3b 由余弦定理知：2222cos3bacac.7 分所以22212()3acac= a
12、cac得22()1233()2acacac.10 分所以()4 3ac，当且仅当a=c时，等号成立.112所以求ABC周长的最大值为6 3.12 分18. （1）设应聘者甲未能参与面试为事件A，则03012133222220( )1(1) ( )(1) ( )333327P ACC .4 分（2）X的可能取值为 0，1，2，3，4.3110327P X，.6 分2131221C339P X，.7 分22321312C(1)3349P X，.8 分322323213113(1)C3433427P X，.9 分333234C3429P X，.10 分则X的分布列为X01234P1272919112
13、729.11 分故121112230123427992799E X .12 分19.（）如图所示，设点F是棱AD的中点，连接,PF EF BD，由PAPD及点F是棱AD的中点，可得PFAD，又二面角PADC为直二面角，故PF 平面ABCD，.2 分又因为AC 平面ABCD，所以PFAC，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，而EF是ABD的中位线，所以/ /EFBD，可得EFAC，又由PFEFF，且PF 平面PEF，EF 平面PEF，所以AC 平面PEF，.4 分3又因为PE 平面PEF，所以PEAC .6 分（）解法一：设点G是AC与EF的交点，由（）可知AC 平面PEF，又,PG EG
14、均在平面PEF内，从而有,PGAC EGAC，故PGE为二面角PACB的平面角，因为PAAB，所以PAD为等边三角形不妨设菱形ABCD的边长为2 , a GEb则在Rt PFG中，3 ,PFa FGb，于是22( 3 )PGab在Rt PFE中，22( 3 )(2 )PEab，故225coscos53bPGEPGFab ，.9 分整理得2234ab，32ba因为PF 平面ABCD，所以PEF为直线PE与平面ABCD所成的角则3tan12PFaPEFEFb，.11 分所以直线PE与平面ABCD所成的角为45.12 分解法二：设点O是AC与BD的交点，以OA所在直线为x轴OB所在直线为y轴，过点O
15、垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系设2,2OAOBb，则(2,0,0),( 2,0,0)AC ，2(1, 33)Pbb，则2(4,0,0),( 1, 33)CAAPbb ，设平面PAC的法向量为( , , )mx y z，则00m APm CA ，即233040 xbyb zx ，取1z ，2330,1bmb ，.8 分4又因为平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n ，由二面角的PACB正切值为2，则2215|cos,|5|331m nm nm nbb .解得3b ， .9 分则(1,3,2 3),(1, 3,0)PE，(0,2 3, 2 3)PE ，则2 32|cos,|2|2
16、 6PE nPE nPE n ， .11 分所以直线PE与平面ABCD所成的角为45.12 分20.（1）由题意可得：11232acab，所以2a ，3b 故椭圆的标准方程为22143xy.3 分（2）证明：由题意知，( 1,0)F ，设直线MN方程：1xmy.1(M x，1)y，2(N x，2)y，1( 4,)Ey，联立方程221143xmyxy，得22(34)690mymy，所以1221220634934myymy ym ，.5 分所以121223()my yyy，又2124ENyykx，5所以直线EN方程为：2112(4)4yyyyxx，令0y ，则12121212121213()(4)
17、3352444422yyy xmy yyxyyyyyy 综上：直线EN过定点5(,0)2P .7 分由（1）中214410m ，所以mR，又221212122121|()434myyyyy ym，所以2221222215 121151151|1)|243434(13OENmmmSOPyymmm，.8 分令21tm，1t，则15( )13f ttt，令2221131( )3,( )3tg ttg tttt，.9 分当1t 时，( )0g t，故1( )3g ttt在1，)上单调递增，则15( )13f ttt在1，)上单调递减，.10 分即215151313OENtSttt在1，)上单调递减，所
18、以1t 时，154OENmaxS.12 分21.解：(1)当0a 时，( )=ln1 (0)afxxxx-得(1)=1fa-，又(1)=0f.所以( )f x在(1,(1)f的切线方程为：(1) (1)yax=-.即(1)10axya-+ -=；.3 分（2）( )=ln1 (0)afxxxx-6令( )=ln1= ( )afxxp xx-，由于0a ，得21( )=0ap xxx-()200000h ()= ln+ln2=(ln2) (ln1)xxxxx-+-当00h x时，02ln1x- ，021(, )xee；所以0()h x于210,e单调递增，21(, ) ee单调递减，( ,)e
19、+单调递增.10 分当021(0,)xe时，()()220000000000h()=lnln=ln(ln1)xxxxxxxxxx-+由于0(ln1)1x +，又()200ln0 xx.7()200000h()=ln(ln1)0 xxxxx-+当021(,)xe+时，0minh()=h( )=xee-综上：当0(0,)x +时，0minh()=h( )=xee-得be-.故),be - +.12 分22.（1）由32cos2xysin得32cos2xysin，两式平方后相加得2234xy，.3 分曲线C是以3,0为圆心，半径等于2圆，令cos ,xysin，代入并整理得22 3 cos10 ，即
20、曲线C的极坐标方程是22 3 cos10 .5 分（2）直线的参数方程是12(32xttyt是参数）,.6 分因为点,A B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为1t和2t，圆化为直角坐标系的方程2234xy，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到2310tt ，.8 分因为1t和2t是方程的解，从而121 2031ttt t ,.9 分1 211OA OBt t .10 分23.（1）若关于 x 的不等式( )f xa的解集不是空集，只需 minafx即可.2 分其中1717( )=24444f xxxxx，8当且仅当7144x时，等号成立.4 分所以实数 a 的取值范围为2,.5 分（2）由（1）知min( )2f xt .由柯西不等式得：2222212112111222mnmnmn .7 分当且仅当1210mn ，即1m ，12n 时等号成立.8 分因为0m ，0n ，且22mn所以21218mn .9 分即1212 2mn 故1212mnt ，证毕.10 分
