1、 4.1.1 截面的静矩和形心位置ddyzAAz Ay ASS1. 静矩（或一次矩）静矩（或一次矩）( (单位：单位： m m3 3 或或mmmm3 3 。）。）2. 形心坐标公式形心坐标公式dAzAzAOzdAyyxCxyAAyyAdASyzSA yzA zA ySS3. 组合截面的静矩组合截面的静矩截面对形心轴的静矩为截面对形心轴的静矩为04. 组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式1111 nniiiiiinniiiizyAAzyAA1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，2）静矩和形心坐标均可正可负。）静矩和形心坐标均可正可负。11 nnyz
2、iiiiiiA zA ySS 4.1.2 惯性矩和极惯性矩及平行移轴2.2.极惯性矩极惯性矩AIAd2p1. 惯性矩惯性矩22ddyzAAAAyIzI1) 极惯性矩、惯性矩均与所取的坐标系有关，极惯性矩、惯性矩均与所取的坐标系有关，AIAd2pOzyyzdAzyII22()dAyzA2) 单位单位m4 或或 mm41.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 312zbhI yhCzbz312zbhI2czzIIa AAbIIcyy2平行移轴公式平行移轴公式注意：注意：4. a、b代表形心代表形心C在在yoz座标系中的坐标，可正可负。座标系中的坐标，可正可负。aycyzcz
3、COb1. 两轴必须平行；两轴必须平行；2. 两轴中必须有一轴为形心轴：两轴中必须有一轴为形心轴：2czzIIa A2czzIIa A已知对形心轴的惯性矩和惯性积已知对形心轴的惯性矩和惯性积:已知非形心轴的惯性矩和惯性积已知非形心轴的惯性矩和惯性积:3. 在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；例题：已知例题：已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点点的位置，以及对形心轴的惯性矩。的位置，以及对形心轴的惯性矩。 212211AAyAyAyccc02010yyyIII200400120600200200400460
4、120600mm323301600120121yI302200400121yI)(1024347mm解：解：1、求形心轴、求形心轴2、求组合图形对、求组合图形对y0轴的惯性矩轴的惯性矩02010zzzIII解：解：3、求组合图形对、求组合图形对zo轴的惯性矩轴的惯性矩600120)323460(1206001212301zI400200)200323(4002001212302zI)(105 .37147mm01z02z4.24.2拉压杆的应力，应变及强度条件拉压杆的应力，应变及强度条件一、应力的概念一、应力的概念 两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两两根相同材料
5、做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布集度分布集度有关。当粗细二根杆轴有关。当粗细二根杆轴力相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些，可见，内力的密集程度才力相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些，可见，内力的密集程度才是是影响强度影响强度的的主要原因主要原因。为此我们引入应力的概念。为此我们引入应力的概念。 二、轴向拉压杆横截面上的应力二、轴
6、向拉压杆横截面上的应力平面假设平面假设：杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设。：杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设。正应力正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为横截面上应力的方向垂直于横截面，称为“正应力正应力”并以并以“ ”表表示：示：正应力正应力AFN式中式中 为横截面上的正应力，为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，为横截面上的轴力，A为横截面面积。为横截面面积。说明说明当轴力为正时，当轴力为正时， 为拉应力取正号；当轴力为负时，为拉应力取正号；当轴力为负时， 为压应力，取负号。为压应力，取负号。应力的国际单位为应力的国际单位为Pa （ K
7、Pa ； MPa） Pa10kPa13Pa10MPa16Pa10GPa194.2.3：轴向拉压杆危险截面和危险点危险截面：应力最大的横截面等直杆计算公式解：AB段：BC段：CD段：| |max=50MPa若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2，求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。MPaANABABAB4010500102063MPaANBCBCBC2010500101063MPaANCDCDCD50102001010634.2.4强度条件及其应用强度条件对等直杆可改写为例例: :图示结构，已知图示结构，已知 F=20kNF=20kN；斜杆；斜杆ABA
8、B为直径为直径20mm20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CBCB为为15mm15mm15mm15mm的方截面杆。试求杆件的方截面杆。试求杆件ABAB、CBCB的应力，并校核的应力，并校核ABAB杆的杆的强度（已知容许应力强度（已知容许应力 =100MPa=100MPa） FABC:0 y（拉力） kN3281.FN解：解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点B为研究对象：（压力） kN202NF:0 x4504521NNFcosF0451 FsinFN12BF1NFN2Fxy452 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。M PaPa 901090102041
9、03286623111.AFNM PaPa 891089101510206623222AFNFABC4512kN3281.FNkN202NFBF1NF2NFxy45 计算应力时代入轴力的符号，所有量都采用计算应力时代入轴力的符号，所有量都采用国际单位制！国际单位制！100MPaMPa90maxN,maxAF所以：AB杆满足强度条件，是安全的。图 2-21ll纵向变形纵向变形横向变形横向变形lll1纵向伸长量纵向伸长量: :ll纵向线应变纵向线应变: : 轴向拉（压）杆变形的有关概念（反映总变形）（反映变形程度） 杆的横向线应变与纵向线应变的符号相反，拉杆的纵向线应变为正，横向线应变为负（压杆则
10、相反）。aaa1bbb1由试验可知，由试验可知，两横向线应变两横向线应变相等：相等：bb 应力不超过比例极限时有：应力不超过比例极限时有：杆件横向绝对变形为：杆件横向绝对变形为： 为材料的横向变形系数或为材料的横向变形系数或泊松比：泊松比： （无量纲常数） 拉（压）杆的拉（压）杆的变形量与其所受力之间变形量与其所受力之间的关系与材料的性能有关的关系与材料的性能有关，试验证明：当，试验证明：当杆内的应力不超过比例极限时有：杆内的应力不超过比例极限时有：胡克定律胡克定律的另一形式：的另一形式：4.4.2 胡克定律EAFll 引入比例常数引入比例常数E，有，有：比例常数E称为弹性模量，单位：Pa，M
11、Pa，GPa。EA称为杆的抗拉刚度，反映杆抵抗拉伸（压缩）变形的能力。AFEllN1EEAlFlN(Hookes Law)AFll（计算变形时将轴力（计算变形时将轴力F FN N的符号代入！）的符号代入！）(应力应变关系表述应力应变关系表述)（受力与变形关系表述）（受力与变形关系表述）（用于计算变形量）（用于计算变形量）例： 一阶梯轴钢杆如图，AB段A1200mm2，BC和CD段截面积相同A2A3500mm2；l1= l2= l3=100mm。荷载P120kN，P240kN，弹性模量E200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。解解：(1)求各段轴
12、力，作轴力图求各段轴力，作轴力图 并求各段变形：并求各段变形：mm05. 010200102001001020EAlFl693111N1 mm02. 0 10500102001001020EAlFl693222N2 mm02. 010500102001001020EAlFl693333N3 BCBC段段ABAB段段CDCD段段+ +- -20kN20kN20kN20kN注意：注意：计算变形代入轴力符计算变形代入轴力符号，并使用统一单位制！号，并使用统一单位制！(2)求全杆总变形求全杆总变形mm05. 002. 002. 005. 0321 llll（缩短）（缩短）(3) 求求A和和B截面的位移
13、截面的位移002. 002. 032 llB 05. 0lAmm02. 0mm02. 0mm05. 0321 lll4.3 材料的力学性质4.3.1低碳钢的拉伸实验 b. 碳钢的分类低碳钢：含碳量0.25%的结构钢中碳钢: 含碳量 0.250.55%的结构钢高碳钢: 含碳量 0.552.0%的结构钢 a.最早公布该实验结果的是一位法国音乐家、哲学家， 他做的是乐器的金属丝的拉伸实验。 c. 通过该实验可以绘出载荷变形图和应力应变图。 低碳钢的拉伸实验低碳钢的拉伸实验 1、低碳钢的拉伸实验四个阶段Opesbabcdea. 弹性阶段：弹性阶段：d. 局部变形阶段局部变形阶段oa段-=E,E=tan
14、p: 比例极限比例极限e: 弹性极限弹性极限b. 屈服阶段屈服阶段:s:屈服极限屈服极限c. 强化阶段强化阶段:b:强度极限强度极限无明显屈服点钢筋拉伸00.20.2%材料的伸长率：材料的伸长率：100100lll截面收缩率：截面收缩率：100100AAA材料的塑性4.3.2材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能低碳钢的压缩实验低碳钢的压缩实验1. E、s与拉伸时相似， e 、 p亦如此。2. 屈服以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不能被压断。3. 测不到强度极限b和断裂极限k 。4. 测低碳钢的力学性质时，一般不做压缩实验，而只做拉伸实验。铸铁等脆性材料的压缩实验FF4.4梁的弯
15、曲应力和强度条件梁的弯曲应力和强度条件1 1、纯弯曲概念、纯弯曲概念AC 、BD段： Q0 M0CD段：Q0 M0纯弯曲纯弯曲剪切弯曲（横力弯曲）剪切弯曲（横力弯曲）00002、实验现象与假设1横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度2纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短（1）实验现象3矩形截面上部变窄下部变宽梁上部各层纵向纤维缩短，下部伸长，中间必有一层纤维长度不变，这层长度不变的称为中性层。中性层与横截面的交线为中性轴。平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍 垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴垂直于变形后梁的
16、轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。旋转了一个角度。中性层中性层（2）假设各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比1几何变形关系几何变形关系横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律2物理关系物理关系弹性范围内，单向应力假设弹性范围内，单向应力假设3正应力计算公式正应力计算公式梁纯弯曲时横截面正应力计算公式梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：IZ截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩M所求截面的弯矩所求截面的弯矩y所求应力到中性轴的距离所求应力到中性轴的距离Z轴（中性轴）轴（中性轴）形心轴形心轴矩形
17、：矩形：IZ =bh3/12圆形：圆形： IZ =D4/64 1）M、y 符号代入公式符号代入公式2）直接观察变形）直接观察变形 4、正负号确定正负号确定4.4.2、梁的最大剪应力、梁的最大剪应力 由于分布复杂，与截由于分布复杂，与截面形状有关，故对不同截面形状有关，故对不同截面分别研究。面分别研究。1 1、矩形截面梁、矩形截面梁（1）假设 横截面上各点的剪应力方向均平行于截面侧边，横截面上各点的剪应力方向均平行于截面侧边， 即即 方向与方向与Q Q相同相同 剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等远剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等远 的各点处的各点处 大小相同大小相同 Q Q 1 1矩形
18、剪应力分布规律矩形剪应力分布规律Abh2Q32Q3max最大剪应力为平均剪应力的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍倍矩形截面边缘上各点剪应力与圆周相切，矩形截面上各点剪应力与截面边缘上各点剪应力与圆周相切，矩形截面上各点剪应力与Q Q平行的假设已不平行的假设已不适用。适用。 但最大剪应力仍发生在中性轴但最大剪应力仍发生在中性轴2 2、圆形截面梁、圆形截面梁2max3Q43Q4RA3 3、圆环形截面梁、圆环形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴最大剪应力仍发生在中性轴AQ2max（2）弯曲梁的强度计算梁需满足 max max梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题，一般按正应力强梁的强度涉及到正应力和切
19、应力两个强度问题，一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。度设计，再用切应力强度校核。 ZWMmaxzmaxmaxmaxIyM例题：如图所示矩形截面外伸梁，已知截面宽例题：如图所示矩形截面外伸梁，已知截面宽b b=100mm=100mm，截面高，截面高h h=120mm=120mm，P P=30kN=30kN，q q=6kN/m,=6kN/m,材料材料 =170MPa， =100MPa，试校核梁的强度。试校核梁的强度。 解：解： （1）作内力图mkNM 39maxkN17Qmax（2）校核梁的强度352104 . 26cmbhWZMPaWMZ5 .162104 . 2103956maxmax
20、 安全安全（3）校核梁的剪应力强度 MPa170maxMPaA125. 212010021017323Q3maxmax MPa100max（2）校核梁的正应力强度四、提高梁的弯曲强度的措施四、提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的主要因素弯曲正应力是控制梁的主要因素 1、更换材料：2、合理安排梁的受力情况：可提高可提高4 4倍倍 (1)合理布置支座合理布置支座(1)合理布置支座合理布置支座(2)合理布置荷载合理布置荷载承载能力提高一倍承载能力提高一倍 A相同，相同， WZ 越大越好越大越好（1）矩形与方形）矩形与方形矩形尽量竖放矩形尽量竖放尽量用矩形不用方形尽量用矩形不用方形3、梁的合理截面：WZ（2）方形与圆形）方形与圆形尽量用方不用圆尽量用方不用圆4.5压杆稳定和组合变形（了解） 见教材66页
