1、 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 返回首页Theory of Vibration with Applicationsn简谐强迫振动指激励是时间的简谐函数，它简谐强迫振动指激励是时间的简谐函数，它在工程结构的振动中经常发生，通常是由旋在工程结构的振动中经常发生，通常是由旋转机械失衡造成的。转机械失衡造成的。n简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。周期激励下系统响应的基础。n通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的通过分析系统所受的简谐激励与系统响
2、应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从而关系，可以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。确定系统的振动特性。 第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 典型的受简谐激励的单自由度系统如右图所示。根据牛顿第二定律有 tkAtFkxxcxmcoscos0 （2.4-1） 这里，0F是激励的幅值，是激励的频率，而A定义为 kFA/0 即系统在静力条件下受一个大小为0F的力作用时的位移，它是与时间无关的常量。引入这个参数的目的是要比较静力位移和动力位移，以揭示静力学与动力
3、学的差别。另外，还可以使一些振动参数无量纲化，便于理论分析。对式(2.4-1)整理，得 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 tAxxxcos22n2nn (2.4-2) 式(2.4-2)是二阶非齐次线性常微分方程。根据微分方程理论，它的解由两部分组成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是微分方程的特解。 根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式 )cos(tXx (2.4-3) 式中，X是响应的振幅，是位移相对激励的相角，均是与时间无关的常数。将式（2.3-3）代入式(2.4-
4、2)可以得到 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 tAttttXcos)sincoscos(sin2)sinsincos)(cos(2nn22n 等号两边tcos和tsin的系数应分别相等 0cos2sinsin2cosn22n2nn22nXAX 解出,X得 2n22n/2/1AX，2nn1/1/2tan 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统n受简谐激励的系统的响应也是简谐的，其振受简谐激励的系统的响应也是简谐的，其振动频率等
5、于激励的频率，激励与响应之间有动频率等于激励的频率，激励与响应之间有一相位差。这说明响应并不是与激励同时达一相位差。这说明响应并不是与激励同时达到最大值，而是有一个滞后。到最大值，而是有一个滞后。 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 单自由度系统受简谐激励的微分方程为 002n2nn0,0cos2xxxxtAxxx (2.4-4) 它的通解为 tXxxcos1 1x应该满足方程 sin0,cos0cos2002n12n1n1XxxXxxtAxxx （2.4-5） 可以得到 tXxXxtXxxtdd0n0d01
6、sincossincoscosen 0 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统abc 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 从图中可以看出 (1) 系统发生的运动是频率为d的简谐振动)(1tx和频率为的简谐振动)(2tx的组合运动； (2) 无论受何种初始条件的作用，由于阻尼的存在，经过一定的时间后)(1tx将趋于消失，它只在有限的时间内存在。因此，)(1tx和)(2tx的合成运动只在有限的时间内存在， 这一振动过程叫做瞬态振动或
7、过渡振动。 (3) 系统持续的振动只有与外界激励力有关的响应)(2tx，)(2tx叫做稳态振动、 稳态响应或强迫振动。 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 采用复指数方法可以大大简化简谐振动响应的计算。将式 (2.4-2)改写为 titiAmFee22n02nn （2.4-6） 设 tiXe，将它导入式(2.4-6)，得 titiAXiee22n2nn2 （2.4-7） 因此， 2nn22n2iAX 可以看到 2n22n/2/1 )(absAX，2nn1/1/2tan)(angleX z z zz 返回首页T
8、heory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 titiAXiee22n2nn2 （2.4-7） 由式(2.4-7)，我们还可以得到 121)(2iAXH 式中，n/。)(H称为系统的频响函数，表示系统稳态振动时响应与表示系统稳态振动时响应与输入之比输入之比。 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统2n22n/2/1 )(H1为系统的放大因子为系统的放大因子自由振动受迫振动位移幅值速度幅值加速度幅值AA2AAH)(AH)(2)(AH 返回首页Theo
9、ry of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统复频率响应为：复频率响应为：)()()(ieHH系统的特解为：系统的特解为：)(tiXez稳态响应：稳态响应：)cos()()(ReRe)(tHAeHAzxti 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 由图可见： (1) 当由零开始从小到大时， 放大因子)(H先从小到大，在从大到小。 0，1
10、)(H；1，0)(H； (2) 当接近 1 时，)(H达到最大，称为共振，这时系统的动应力最大，对系统（或结构）的破坏最大。 大家计算一下，当取何值时，)(H取最大，最大值为多少？ 222211 )(H2212max121 )(H 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 (3) 阻尼越大（即越接近 1） ，共振峰越低。 (4) 当从 0 到 1 时，从 0 到2； 当从 1 到时，从2到。 (5) 阻尼不同时，特性曲线不同， 但当1时，无论阻尼比如何，位移落后于激振力的相位差总是2。 我们可以利用这一特点测定系统
11、的固有频率n，这种方法称为相位共振法。 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统tHFsinS已知简谐激振力xBtsin()cos()sin()xBtxBt 2稳态受迫振动的响应为现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。kBc BHmB、 、2应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。mxcxkxHtsin0惯性力阻尼力弹性力激振力AHB)(令令 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统
12、（a）力多边形 (b) 1 (c) = 1 (d) 1 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统Q为放大系数的最大值，品质因子。不在为放大系数的最大值，品质因子。不在 的点，的点，而在而在 的点。的点。1/n1 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统满足方程：满足方程：2/)(22QH的的值称为系统的半功率点。它的意义是，响应幅值降为振值称为系统的半功率点。它的意义是，响应幅值降为振幅的幅的0.707时的频率。在小阻尼时有两点满足以上
13、方程。时的频率。在小阻尼时有两点满足以上方程。12称为系统的带宽。带宽与品质系数有以下关系：称为系统的带宽。带宽与品质系数有以下关系：n212Qn2/1/nn)1 (21)1 (2121 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。
14、受迫振动系统的稳态响应为受迫振动系统的稳态响应为周期 2T激振力tAkFScos220sin)(d)(XcHkAttxFWTSP)cos()(tHAx 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统20d)(XcttxFWTRc上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地
15、减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 xcFR当当0cPWW 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 返回首页Theory of Vibration with Applications在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了
16、便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即动，即)sin(tXx非粘性阻尼在一个周期内做的功非粘性阻尼在一个周期内做的功txtFWNNd)(粘性阻尼在一周期内消耗的能量粘性阻尼在一周期内消耗的能量2XcWR相等相等2XcWeN2 XWcNe等效粘性阻尼系数等效粘
17、性阻尼系数等效粘性力做功等效粘性力做功 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统库仑阻尼库仑阻尼阻尼力表示为阻尼力表示为NFFc一周期内库仑阻尼消耗的能量为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 XFWcc42XcWRXFCce4等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 相等相等2XcWec 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 一个弹簧质量阻尼器振动系统， 系统总质量为M， 由弹簧和阻尼器支承。失衡质量为
18、m，它与转轴中心的距离（通常称为偏心距）为e，失衡质量与偏心距的乘积me称为失衡量。m以角速度旋转，非旋转部分的位移为x， 失 衡 质 量 的 位 移 为texsin 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 根据牛顿第二定律 xckxtextmxmM sindd22 即tmekxxcxMsin2 方程的形式与上节相似， 只是由2me代替了力振幅F。所以 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系
19、统旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 2n222MmeMmekMkmekFA 2nn222nn22n22ieMmiAX 这里 )()(Amplitude2n2HMmeX 2nn1/1/2tan)(angleX 121)(2iAXH1222imeMX 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 相角有直观的物理意义， 当系统质量M运动到静平衡位置时，失衡质量与转轴中心的连线与水平线的夹角即为此相角。当1共振时，2/，当系统质量经过零点时，失衡质量恰好在转轴中心的正上
20、方。 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 （1）峰值点位置和峰值： 12112 即峰值点位于1的右边，与系统受简谐激励时的峰值点位置正好相反。 （2） 当0时，即转速远低于系统的固有频率时，0eXmM，也就是说，失衡激励引起的振动很小。 （3） 当时，即转速原高于系统的固有频率时，1eXmM，即相应的振
21、幅MmeX 为一确定值。而相角，即系统质量最低时，失衡质量恰好达到最高位置。 1212 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动 系统的支承部分如果有运动也可使系统发生强迫振动。如果支承的运动可以用简谐函数描述， 则系统的振动可用简谐强迫振动理论来分析。 上图所示模型，设支承点的位移是简谐函数，可表示为 tiYye 根据牛顿第二定律，得到如下方程 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统支承运
22、动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动 )()(yxcyxkxm 可改写为 kyyckxxcxm 上式右端的两项相当于由阻尼器和弹簧传递的两个激励力。 yyxxx2nn2nn22 (2.5-1) 令tiXxe，代入方程(2.5-1)可得 YiiYiiX12122222nn22nn 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统设但自由度振动系统受到一个周期为
23、设但自由度振动系统受到一个周期为T的激振力的激振力F(t)的作用，的作用，令令F(t)=kf (t)，则系统的运动微分方程可以写成：，则系统的运动微分方程可以写成：)(222tfxxxnnn 求解思路：求解思路： 将将f (t)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数 0Re)(ptippeAtf其中第其中第p项为：项为：Re)(tipppeAtf 返回首页Theory of Vibration with Applications第第2 2章章单自由度系统单自由度系统 求解第求解第p项激振力的响应项激振力的响应Re222tippnpnpnpeAxxx )(Re)(tpippeHAtx）（ 建立第建立第p项激振力对应的运动学方程项激振力对应的运动学方程 由叠加原理求周期强迫振动的解：由叠加原理求周期强迫振动的解：0)(0)(Re)(ptpipppeHAtxtx）（ 返回首页Theory of Vibration with Applications习题习题2.24，2.25第第2 2章章单自由度系统单自由度系统
