1、 0,F(S)0,R(S) )()(C(S) )()(MM(P)R(t)D(P)C(t) )()()()(D(S)M(S)f0则令取拉式变换后有设系统的运动方程为 SDSMSDSMSFSRtfPf一稳定的概念与定义 定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。二线性系统稳定的充要条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。)(lim 0ReS 0)(lim 0ReS )(A )( ,0D(S) )1,2,3,.n(i S C(S) titi)()(i1i1
2、D(S)(S)M00tctcSSeAtCiiiiSSiSDSMnitSiniSSA则若则若则的根为 线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程度所有根均具有负实部，或其特征根全部位于s平面的左半部。 : 2541R(S)C(S) .23解的稳定性。试判断系统例SSS , -23S -1,2S -1,1S 02)(S21)(S2)3S21)(S(S 025S24S3S 故系统稳定。负实部由于三个特征根都具有 0asa.sasaD(s) 011 - n1 - nnn三稳定判据1.Routh稳定判据系统的特征方程为必要条件:（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零；（2）特征方程的各项
3、系数ai(i=1,2,n)具有相同 的符号。充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。 c c b b b . . . . . . . . . . . . . cc s . b b b s .a a a a s . a a a a s 1315121213111761315412132112 13 -n3212-n7-n5 -n3 -n1 -n1 -n6-n4-n2-nnn bbaabbbaabaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnn劳斯阵列2. Routh判据的特殊情况（几点说明）、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。2、对于不稳
4、定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的数目，就等于劳斯阵中第一列系数符号改变的次数。3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有限小的正数来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列出劳斯阵以后，观察第一列数值，当0时，含项的符号与上、下行符号进行比较，若系数符号相反，就说明有符号改变。4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵的计算方法写出以下各行。
5、的个数。别该特征方程正实部根试用Routh判据判 054s3s2ss 设有下列特征方程 例1.234 5 s 0 6 s 5 1s 0 4 2 s 5 3 1 s : : 0152-41124-32 2 34 列写劳斯阵列解符号改变一次符号改变一次。故有两个实部为正的根次阵列第一列符号改变二 R Ro ou ut th h ,a.某行第一个元素为零，其余均不为零。例：设系统特征方程为 ，试判别系统的稳定性。0122234ssss解： （1）特征方程各项系数大于0；（2）列劳斯阵 当0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改变了两次，系统不稳定，有两个特征根位于复平面右侧。1221(
6、02211101234sssss代替）用022解正的特征根的个数。试应用判据判别实部为设系统的特征方程为例0233 ss 2 s 0 s 2 0 s 3- 1 s 02-3-2 3 改变一次改变一次有两实部为正的根。b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。例：设系统特征方程为 ，试判别系统的稳定性。 解：（1）特征方程各项系数大于0； （2）列劳斯阵 劳斯阵中 s3 行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行( s4 行)的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 04623482422345sssss0004648223241345sss046482
7、)(24sssF0968)(3ssdssdF 用导数方程的系数取代 s3行中为零的项，为简化计算，各项除以8，并计算以下各行的系数，得劳斯阵为 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方程求出。461212146241214648223241012345ssssss令解得虚根为046482)(24sssF0232424ss0) 1)(23(22ssjsjs4,32, 1,23 : 04-4s-7s-3s-2s-s :23456解。试确定正实部根的个数已知系统特征方程为例 s 0 0 0 s 4- 3- 1 s 0 4-
8、 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 3 456 06s-4sdsdF(s) 04-3s-F(s):324 s辅助方程 4- s 0 16.7- s 4- 1.5- s 0 6- 4 s 4- 3- 1 s 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 0123456。另外二根为再由原特征方程得。得出产生全零行的根为求解辅助方程有一个实部为正的根。符号改变一次2321-: 0)1)(4)(1(s:,20)1)(4(43)( ,2222224jsssjsssssF解解：系统特征方程为 为使系统稳定，必须： （1）特征方程各项系数大于0，即要求K0； （2）列劳斯阵 第一列各项系数应大于零，于
9、是有 6K0，即K6。 为使系统稳定，K的取值范围应为0K6，临界开环增益为Kp6。例例1：已知控制系统的闭环传递函数为 ，试确定系统的临界开环增益。KsssKs23)(2302323KsssKsKsKss0123363213.Routh判据的应用: ?K,-1S K Routh,:2解至范围应取多大问垂线之左部位于闭环极点全的取值范围。如果要求的开环增益判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例)125. 0)(11 . 0(SSSKC(s)R(s)- s 14-560 s 14 s 40 1 s : 04014s :40.K, )10)(4()( :012 323KKKKssKsssKs相应
10、的劳斯表为程由上式得系统的特征方式中系统闭环传递函为14K0 560K0 014K-560 0K , *即应有为使系统稳定 4.8K0.675 19227 27-K s 1127)-(K-165 s 27-K 11 s 15 1 s 0)27(1511s ,1s ,1 *01*11*2131*121311 KRouthKsssss则解得表为相应的得代入原特征方程则令垂线之左平面上全部位于若要求闭环极点在 0a a 0a a aa a a 0 a aa a 0 3-n-1n4-n2-nn5-n3-n -1n32-nn3-n-1n211 na0 a a 0 0 0 00 a 0 0 0 00 a
11、0 0 0 0 0 0 a a 0 00 0 a a 0 00 0 a a a 00 0 a a a 00 0 a a a a0 0 a a a a 02102-nn3-n-1n4-n2-nn5-n3-n-1n6-n4-n2-nn7-n5-n3-n-1n n4.Hurwitz判据设系统的特征方程为：则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai(i=1,2,n)构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即0a 0asasasan01-1n-1nnn : 0,105s3ss2s :234解判断该系统的稳定性。试用胡尔维茨判据设系统的特征方程式为例系统是不稳定的 04505 1 010 3 20 5 110 04510510155 1 010 3 20 5 1 071033 25 1 01 10 3 2 00 5 1 00 10 3 20 0 5 143214
