1、 第一章 数学基础1.11.1线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.1.11.1.1线性空间定义线性空间定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求在集合上赋予一定的结构或一定的要求, ,这个集合就称为一个特定的空间。这个集合就称为一个特定的空间。定义定义1.1.11.1.1线性空间定义（线性空间定义（1111页）：页）：设设V V是一个非空集合是一个非空集合,P,P是一个数域是一个数域例例 1.1.21.1.2 将将mn 个实数排成如下矩阵个实数排成如下矩阵 nmnnmmxxxxxxxxx212222111211用用mnR 表示表示mn 维实矩阵全体的集合。设维实矩阵全体的集合。设 nmnnmm
2、xxxxxxxxxA212222111211， nmnnmmyyyyyyyyyB212222111211则则 也是实数域也是实数域 R R上的线性空间。因此不难看上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。运算具有线性性。 例例1.1.31.1.3 设设 是线性空间，是线性空间， 则不难验证则不难验证 是是 的子空间。它也称为由的子空间。它也称为由 构成的子空间。构成的子空间。mnR VVv RaavvvV,111Vv例例1.1.41.1.4 设设 是线性空间是线性空间 是是 的子空间，也称的子空间，也称 是由是由
3、 所所生成的子空间生成的子空间 例例1.1.51.1.5 设设 是线性空间，显然是线性空间，显然 ，那么，那么 是是 的子空间，称为零子空间。的子空间，称为零子空间。 中中 个元个元 或称为或称为 中中 的的 个向量，则个向量，则maaa,21maaa,21mVmV1VVVV 0 VV01 miRaaavvVlmm, 2 , 1,2211111 1.1.2 线性空间的基和维数线性空间的基和维数121 122121212,1,2,0,:0(),mimmmmmu uuVa imaua ua uu uuu uuaaa定义1.1.4:设是 中的一组向量 可以重复 如果存在一组不全为0的实数使则称为线性
4、相关 否则称为线性无关,此时必然有:12121 122121212,1,2,5:(),:,mmimmmmmv vvVuv vva imuaua ua uu uuu u uuuu uu定义1.1. 设是 中一组向量可以重复 称向量 是的线性组合 是指有实数存在 使由此定义可知 如果线性无关 而线性相关 则 为的线性组合.1212126:,dim(.,)nnne eeVe eee eeVnnVVnVV定义1.1.如果向量线性无关而 中每个向量均可由它们的线性表示则称构成线性空间 的一组基而基的个数称为 的维数 记为当时 称 为有穷维线性空间;当时 称 为无穷维线性空间.例例1.1.61.1.6 在
5、欧氏空间在欧氏空间 中选取个无关向量中选取个无关向量它们便构成它们便构成 的一组基。因此，的一组基。因此， 也称为也称为 维欧维欧氏空间。氏空间。 100,010,00121neeenRnRnnR1.1.3 线性变换线性变换121211211212111211,(), (),|Im7:,.,.,V VRTVVTT abTaTb TaTaa bVRTVVTTVTvvVVTVTTTVVVTVV定义1.1.设均为实数域 上的线性空间是由 到 的一个映象 当 满足:时 称 为由 到 的线性变换或线性算子称为的定义域.若令则也是一个线性空间 它被称为 的值域空间记为在时 称 为 上的线性变换例例1.1.
6、71.1.7 记记 这里这里 表示表示 区间上一次可区间上一次可微函数的全体，微函数的全体， 表示表示 区间区间上连续函数的全体。容易验证上连续函数的全体。容易验证 都是都是实数域实数域 上的线性空间。定义上的线性空间。定义也不难验证也不难验证 是是 到到 的线性变换，的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子有时也称为线性算子或微分算子。 baC,1 baC,21, VV ba, ba ,RdtdT T1V2V baCVbaCV,211 1 .1 .8,.VNVTNK erTTVN =x | T x =定 义设为 一 线 性 空 间若是上 的 线 性 变 换 , 构 造集 合 :则是的 一 个
7、 子 空 间称 为线 性 变 换的 核 空 间 记 为0 , xV例例1.1.81.1.8 令令则则 为为 上的线性变换，易知上的线性变换，易知是是 的核空间，即的核空间，即 00:, 2 , 1,12121xxxxTRniRxxxxVnninTV niRxxxNin,3,2,02TKerTN 显然，若向量显然，若向量 构成构成 的一组基，的一组基，则由上述基的定义可知，对所有则由上述基的定义可知，对所有 ，均可以，均可以惟一表成惟一表成我们称我们称 为关于基为关于基 的坐标。若的坐标。若向量向量 构成构成 的另一组基，则有的另一组基，则有 neee,21nRnRu nnnnaaaeeeeae
8、aeau21212211 TTnTTaaa21neee,21 neee,21nR nnnnRPPeeeeee ,2121而对任意而对任意 ，有，有由此可知由此可知 我们称我们称 为基为基 和基和基 之间的坐标之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是变换。容易验证，坐标变换也是 上的线性变换。上的线性变换。nRv nnnnvvveeevvveeev21212121 nnvvvPvvv2121neee,21 neee,21PV1.2 矩阵代数中的几个结果矩阵代数中的几个结果1.2.1 矩阵必秩的条件矩阵必秩的条件定义定义1.2.11.2.1 矩阵矩阵 列秩列秩: :矩阵中列向量的最大线性无关组的个数
9、；矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩行秩: :矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵矩阵A A的行秩和列秩称为矩阵的行秩和列秩称为矩阵A A的秩。的秩。m nijAaR,0,0.,0,1.2.1,1.2.1.2.21.0.,2.m nijmTmTn mn mAaRARAARAARQRA QQAQAQT定理设则矩阵 行降秩的充要条件是存在向量满足矩阵 列降秩的充要条件是存在向量满足定理设且则矩阵,=,降秩的充要条件是矩阵 列降秩矩阵 降秩的充要条件是矩阵 正定1.2.2 Vendermonde Vend
10、ermonde矩阵与友矩阵矩阵与友矩阵 VendermondeVendermonde矩阵及基性质矩阵及基性质111,1,2,:innninPVendermonde12n12n设为一组复数,定义:111P=矩阵 称为矩阵1111(),1,2,1,2,()( ),1,2,1).,(1.2jii j nijjjiijjiijj iininijtzf zt zin i-1i引理1.2.1 推论 矩阵 可逆的充要条件det(P)=Vender是互异.引理1.2.2 设互异,则的第行第列元素 由多项式展开式决定,即moP:ndePT=友矩阵及其性质友矩阵及其性质1110011,( )det()0101n
11、nnnncnARD ssIAsasa saAaaaA设其特征多项式为定义矩阵 为矩阵 的友矩阵.21112,1,2, ,1,2, ,1(,1.2.31.2.2,)n nciiciTniiiin ncnARinAinApARAPdingPP 引理 设矩阵具有互异特征值则其友矩阵亦以为特征值,且与 相对应的特征向量为推论 设矩阵具有互异特征值Venderm,o则n有其d中 矩阵 为e矩阵.0102010010,/1:/100001000010ncaaaaaaaaA命题1.2.2 具有互异特征值的矩阵与其友矩阵是相似的.定理1.2.3 友矩阵可逆的充要条件是且1.2.3 Cayley-Hamilto
12、n定理与化零多项式定理与化零多项式121201212012,1.2.,( )( )0(), ,3.nnnnnnnnmnnD sAD AasasaaAaAa Imn AAAA I n nnnn nAR D(s)=s 凯莱 哈密顿定理 设为矩阵的特征多项式 则记 AA由凯莱 哈密顿定理可得:命题 设则对于一切均可表示为的线性组合R1.2.3.1.,( )( )0,( ),1.2.4,( )(:)(),(;2.)nn nTTTTnn nTTTRARsf sz f AzzAzARARf szAAf sp s sz p AAA 定义 设如果关于 的多项式满足则称其是相对 的化零多项式阶次最低的首一的相对
13、 的化零多项式称为相对的极小多项式命题 设相对 的0z0z为极小多项式为其零点 则为矩阵 的特征值当记时为矩阵 的属于的左特征向.量1.2.4 豫解矩阵与豫解矩阵与Leverrier算法算法11()()()(.)( )()sIAAadj sIAsIAD sLeverrierD sadj sIA矩阵称为 的豫解矩阵:算法为求解和的递推算法120121011,0,11.2(),14,.,2nnnnn kn kn knnn kn kaaaRRR sRRRAaI Ratr RAaknk nn-1n-2n-1n-2D(s)=sss adj(sI-A)定=ss理 记有( )()1.( )/(2.5.),m
14、 sadj sIAD sm sA定理 设为中所有元素的首一最大公约式 则为矩阵 的最小多项式10120121231132211( )( )( )(1.2.3):( )( )1:nkkknnnnnnnnnP sAD sp ssasa sap ssasa sapssaps-1-1An(sI-A) (sI推论 设 为 阶方阵,则其豫解矩阵具有下述表达式其中-A)1.3 1.3 多项式矩阵多项式矩阵( )( )( ) .,ijijm nm nA saassA ssm nRs如果阶矩阵的所有元素均为变量 的实数多项式,则称为一个关于 的阶实数域上的多项式矩阵 其全体记为1.3.1 基本概念基本概念111
15、0( )( ),1,2,0( ),.:,llllm nilm nA sA sAsA sAsAARilAlA s一个阶的多项式矩阵具有下述一般表示其中均为定常的实矩阵 在的条件下 代表了的次数( ),( )( ).( ) ,1.3.1()(,( )( )1.m nm nA sRsrrrA srankA srA sRs rmnA srA srr定义1.3.1 对于如果至少有一个 级子式不恒等于零 而所有的 级以上子式恒等于零 则称 为多项式的秩 记为命题 设为不大于 或的正数,则的秩为 的充要条件是中有 个列 行 线性独立,而其任何个列行 均线性相关1.1.3. ,( )( ).( )( )det
16、( )2( )m nRsA sA sadjA sA sA sA s 定义1.3.2 如果多项式矩阵均为可逆的,则必有是一个不为零的常数这样的多项式矩阵称为幺矩阵命题 多项式方阵为幺矩阵的充要条件是逆存在且仍sde为多项t 式矩阵.1.3.2 1.3.2 初等变换初等变换多项式的初等行多项式的初等行(列列)变换变换,是指下列三种典是指下列三种典型操作型操作:矩阵的两行矩阵的两行(或两列或两列)互换位置互换位置;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)乘以非零的常数乘以非零的常数C;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)加上另一行加上另一行(或或列列)的的(s)倍倍, (s)为一个多项式
17、。为一个多项式。1.3.3( ).)(A sA s命题 多项式方阵幺矩阵的充要条件是可表示成一系列初选行或列 变换矩阵之积为1.3.3 Smith1.3.3 Smith标准型标准型定义定义1.3.31.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵式方阵A(s)A(s)化为多项式矩阵化为多项式矩阵B(s),B(s),则称多项式则称多项式A(s)A(s)和和B(s)B(s)互相等价。互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：述三个性质：反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；对
18、称性，对称性， A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)， B(s) B(s) 等价等价A(s)A(s)；传递性，传递性，A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)， B(s) B(s) 等价等价C(s)C(s)， A(s)A(s)等价等价C(s)C(s) 。 ,( )0( )( )000000( ),1,2,( ),( )(1,2,1)1 3 1. .sssss irssjrm n12crij+1j A(s) R r=rankA(s)min m令则等价于标准型其中是不为零的首一多项式且可被,nA(s)SmithddA整除(s)=ddd定理d,1.3.4nB nn r ARR ranksI-A
19、Bn, sCP(s)Q(s)命设为数字矩阵且条件:成立,则存在适当和幺矩阵和满P(s)A-sI BQ(s)=:题 足0 I:.0000( )( ),( )( )P sG s Q sH s nnr (A-sI BSmith)A-sIBI E(s)=II ranksI-A Bn, sCE(s)0IG(s) E(s)=H(化为标准型第一步:组成增广矩阵第二步 在条件下将化为形算法1.3.1s式第三步 取*即为所求)1.41.4有理分式矩阵及其互质分解有理分式矩阵及其互质分解11( ),( )( )( )( )( )( )( )( )ijsn rW sw ssW sW sN s DsW sLs H s
20、如果一个与变量 相关的的矩阵其每一元均为变量 的有理分式,则称为一个有理分式矩阵.任何一个有理分式 矩阵总可以表示成:称为右分解 或 称为右分解111( ),( ),( ), ( )( )( )( )( ) ( ),( )( ) ( )( )( ) ( ),( )( )( )( )( )( ).:.( )r rr rW s N s D s L sH sU sRRN sN s U s D sD s U sL sV s L s H sV s H sN s DsLs Hs sV(s)s W(s)设和如上所述和为幺模阵命题1.4.1,令= W(s和)=则成立1.4.1 互质多项式矩阵互质多项式矩阵(
21、) , ( ) ( ),:1.4. ( )( ) ( )( )( )(1(,)m nm pp nA sRs B sRsC sRsA sB s C sB sA sA sB s设和如果它们三者之间存在关系 则称为的左因子定义为的 右倍式.222222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1.( )( )( )( )( )(4)( ) ( ).,(.)2:A sA sB sA sA sB sA sA sD sA sA sA sA sA sA sB sD sB s Z sZ s111111设和为两个同行数的多项式矩阵如果多项式矩阵同为和的左公因子,则称为和的左公因子.如果多
22、项式矩阵是和的左公因子,且同时是和的所有左公因子的右倍式 即对于和的任意左公因子均有满足 的多项式矩阵 定义2( )( ),.( )D sA sA s1存在 则称是和的最大左公因子121222,( ) ,( ) ()(1)(.4)(,.)( ),()3.m nm nmn nn rA sRsA sRsnnmA sA sSmithIA sA sARBRsIAB 1211 0ranksI-A B设如果的标准型为则称和左互质. 由命题1.3.4知,当条件式n, s定满足时 有义C和 互质 1212222( ) ( ) ,( )( ),.( )( )( )( )( ) ( ) :( )(:1)(;2.)
23、.(;3m nm nnmnmmA sRsA sRsrank A sA smA sA sA sA sm mB sRsB sRsA s B sA s B sI12111121122 设 和且则下述三个条件等价和左互质和的的最大左公因定 子为幺模阵存理1.4.1在满 和足12122( ) ,( ) ( )(),( )( )(1.4.3)0mnmnnA sRsA sRsA smmnSmithA sIA sA s12121设如果矩阵定的标准型为则称和 义 右互质.121222( ) ,( ) ( )( )( )( ).( )( )( ) ( ) ( )( ):1.;2:)3.(;mnmnn mn mA
24、sRsA sRsA sranknA sA sA sA sA sm mB sRsB sRsB s A sB s A sI121211121122 设且则下述三个条件等价和右互质和的的最 大右公因子为幺模阵存在定理1.4.和1满足( ) ,( ) ,( )( )( )( ),:( )n rr rN sRs D sRsD sN sD sN srankrsCD s 和右互质的充要条件是设定理1 .4且.2非奇异 则1.4.2 有理分式矩阵的互质分解有理分式矩阵的互质分解1111( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(,1.4.4,
25、.)sW sN s DsW sLs H sN sD sW sN s DsW sL sH sW sLs H sW sn r设且具有分解式和式当和右互 W(s) R质时 式称为的右互质分解左定。当和互质时 式称为的左互质分解义1111221212111122121( ),1.( )( )( )( )( )( ),( )( ) ( ),( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( ):21.4.3,).:(n rW sRN s DsNs DsW sU sD sD s U s N sNs U sLs H sLs HsW sV sL sV s L s H sV给定和同时为的右
26、质分解的充要条件是存在幺模矩阵使得和同时为的左质分解的充要条件是存在幺模矩阵使得 定理 则 2( )( )s Hs1.4.3 1()sIAB矩阵的右既约分解111,.1.3.4,.:,( )(),( )( )( )()( )( )n nn rARBRW ssIABn rsIABnsCW sW sW ssIABN s Ds 设为两数字矩阵 则为一个的有理分式矩阵由命题知 在条件下 上式本身即为的一个左互质分解考虑的右 既约分解(下式的求解 rank )11111221221121( )()( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( ) ,( ) .1.4.:1,
27、:n rr rW ssIABN s DsP sQ sP ssIAB Q sIQ sQsQsQ sQsQsQsRsQsRsN右既约分解式的求取:第一步:利用算法求取幺模矩阵和满足第二步将幺模 1.3.1 阵做如下分块其中第三 步算取 法112111( )( ),( )( )( )( )( )()( )( )sQsD sQsN sD sW ssIABN s Ds则满足右既约分解式与。11:,( )( )( )1.4( )( )( )1.;2.2()( )( )sIABnsCN sD sN sD sD sW ssIABN s Ds 和满足 rank1.4在式成立的条件下,由算法给出的多项式命下述条件
28、与右互矩质满秩;3题 .阵.式1成立。1.5 Jordan1.5 Jordan分解分解1,:,.n nn nJordanARJ VCVAVJVVAJAJordan矩阵的分解是指下述事实设则存在矩阵可逆,满足:其中为矩阵 的特征向量矩阵为矩阵 的标准型,1.5.1 特征值的几何重数与代数重数特征值的几何重数与代数重数1212(,)(,)1,1, 2,1:,;.iujijliiiiqiiijiippiijiiiJordanJdiag JJJJdiag JJJJjqAJAJordanqA一 个矩 阵 的 一 般 形 式 为其 中为 矩 阵 的 特 征 值为 矩 阵 的 与特 征相 关 联 的块称 为
29、 矩 阵 的 特 征 值的 几 何 重 数矩阵某特征值的几何重数矩阵某特征值的几何重数: : 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关联的相关联的JordanJordan块的个数块的个数. .矩阵某特征值的代数重数矩阵某特征值的代数重数: : 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关所有的相关所有的JordanJordan块的阶数之和块的阶数之和. .1.5.1iin nii1i2iqlii=1则 A设其矩阵的结构如上述.R,Jordan =max ppp,i=1,2, ,l f(s)=(s-) 记为矩阵A的最小多项式 推论1.5
30、.1 循环矩阵的特征多项式与其最小命题多项式等同.1.5.2 广义特征向量链广义特征向量链1212(,)(1.5.2)(,)(1.5.3)1,1,2,(1.5.4)1iujijliiiiqiiijiippAJordanJJdiag J JJJdiag JJJJjq 当矩阵 的标 准型 具有式121212(1.5.9)iijliiiiqpijijijijVVVVVVVVVvvv 我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块iiijijVAiVJordanJ矩阵 是与矩阵 的第 个特征值 对应部分,其子块是与块相对应部分.12121110)0).)0:ijijijpijijijiijiijiijij
31、ppiijijkkiijijijvvvAijpAI vAI vvAI vvAI vvv( (1.5.12)( ( 上式中列向量称为矩阵 的第 个特征 的第 组广义特征向量链为该组特征向量链的长度 广义特征向量链 , (1.5的定义式.13)1,2,1,2,1,2,ijikpjaq il 234121000100001100,111(1.5,1)1:2.23CnnnnAknnnnk 对于友矩阵若 是其几何重数为和代数重数为 的特征值则属于 的广义特征向量链为 命题(1)(2)()(1)21n knnnn kkk k 其中 (1.5.14) : 1.5.3 Jordan1.5.3 Jordan分解
32、的求取分解的求取),),)1.5.1,1,2,il 12li分解的求取1.利用初等变换化矩阵为对角型2.将的对角线上的元素分解成互不相同 的一次因式方幂的 Jordan( I-A)(s);乘积;3.列出的对角线上的所有互异一次因子则算法 ( s)即为(s) ( -矩阵A的互异( -( -特征值;12),1,2,),;iiiiqAilpppAJordanJJordan iiiiiiii( -(s)qq ( -4.找出每个一次因子在的对 角线上出现的(s)q 次数则 为 的特征 值 的几何重数;5.按的顺序 找出一次因子在的对角 q线上出现 的幂 次它们即为 矩阵的标准型 中与 相关的 个子块 的
33、价次 1212, ,1,2, ,1,2,( ,)(1.5.2)(,)(1.5.3)1,1,2,6(1.5.4)1.iujijiijiliiiiqiiijiipplq pjq ilJdiag J JJJdiag J JJJjqJordani 根据的值 和式写出 矩阵 列的A标准型;11,2,1,2, ,)0,)0,1,2,1,2,1,2.:,ijijijiijppijijijipijijijqilvAIvAIvvjq ilvvjqii ( (1.5.15) 7.对于每个和求解向量满足并使得线性无关 然后取 1211212,1,2, ,)1,2,),1,.2,;8ijijijijijppijijp
34、pijijiijijipijijijii ilvAI vvAI vjqvAI vqvvvjqiiii( (1.5.16)( 对于每个按公式 求出第 个特征值 的 组广义i特征向量链 ,1,2,1,2,1,2,(1.5.7)(1. .99).5kijijivkpjqilA基于上步中获得的和式构成矩阵 的特 征向量矩阵10.计算和并通过验证是否成立 V;AVVJ,检验 结果的AV=VJ正确性.1.6 1.6 广义广义SylvesterSylvester矩阵矩阵,;,.,:,;n nn rn nr nAVBWVFARBRVCWCFnJordanWCBWSylvesterAVVFC 其中:为 价的矩阵
35、当取定阵 并令则上 (1.6.1) 式化为常 (1规.的矩阵方程6.2)1.6.1 求解问题与假设条件求解问题与假设条件,n nn rARBRnJordanFVWAVBWVF已知定常以及价矩阵求矩阵 和的解析表达式.,如果一种解析解包含了方程的一切解,便称该解 析解为完全的.12121212,).,:.:,iiiiiiiiiqiiiqiiiiiqnCsIA BA BJordanFnisqqJordanFFFpppsmpppmmmn假设对于任何矩阵行满秩能控条件假设:矩阵 含有个互异特征值 其A1:第 个特征值 的几何重数为 且与其相关联的个块s ( A2 的价数分别为从 而特征值 的代 数重数
36、为且应有此假设称为 矩.FJordan阵 的结构条件1.6.2 完全解析解之一完全解析解之一01,:,1,2( ),0( ),1,2,;1,2,;1,2, 1.6.1( )( )kkijijiijkkijijkijijiiBA AvfQ svwP s vfC kpjq inP sQ sAVBWVF设矩阵 列满秩 且假设成立则方程的一切解可由下式给出:其中为一组任意选取的参数向量和为满足 (1.6.1) 的定理 幺模阵.1.6.3 完全解析解之二完全解析解之二1011,1,2( )1( )( )(1)!,1,2,;1,2,;1,1.6.2, ( )( ):,2kkkiijijkijijkkkii
37、jijkrijijiiBA AN svfdffD swP s vkdsfCkpjq inN sD s设矩阵 满秩 且定假设成立 则矩阵方程的一切解可由下式给出:其中为任意选取的参数理 (1.6.1) 和向量为(1.6.15)满足右既约分解式的多项式模阵.例例1.6.1 1.6.1 设设则由算法则由算法1.4.1 1.4.1 易得易得从而由定理从而由定理1.6.21.6.2易得，以该组矩阵构成的广义易得，以该组矩阵构成的广义sylvestersylvester矩阵方程的完全解析通解为矩阵方程的完全解析通解为 300010011,011000,100100010FBA 110,100012sssDssN 1212111111113111fNfNfNdsdfNV 1212111111113111fDfDfDdsdfDW
