1、& 1.特征值与特征向量的概念与计算特征值与特征向量的概念与计算 & 2. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义定义5.1.1 设设A是是n阶复阶复(实实)矩阵矩阵, ,若若 为为复复(实实) 数数, ,0是一复是一复(实实) n维向量维向量, ,使得使得A (0 )，则则称称 为为A的的特征值特征值, , 为为A的的属于属于 的的特征向量特征向量. .1 只有方阵才有特征值和特征向量只有方阵才有特征值和特征向量; ;2 特征向量是非零向量特征向量是非零向量. .说明：说明： 1. 特征值与特征向量的概念与计算特征值与特征
2、向量的概念与计算定义定义5.1.2 设设A是是n阶矩阵阶矩阵, , 的多项式的多项式 I A 称称为为A的的特征多项式特征多项式, ,并记为并记为 fA I A . .fA I A=0称称为为A的的特征方程特征方程, ,特征方程的特征方程的 根即根即为为A的的特征值特征值. . I A 称称为为A的的特征矩阵特征矩阵。求矩阵特征值与特征向量的步骤求矩阵特征值与特征向量的步骤：; . 1AIA 的特征多项式的特征多项式计算计算;,0 . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AAIn .,0 , . 3 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量就是对应于就是
3、对应于的基础解系的基础解系求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值iiixAI 定义定义 对方程对方程 f x 0, ,若有若有x* 使得使得f x* 0, ,则称则称 x*为为方程方程 f x 0的的根根或函数或函数f x 的的零点零点. .特别是特别是, , 如果如果函数函数f x 能写成能写成 f x x x* m g x 且且g x*0, , m 1, ,则称则称x*为为f x 0的的m重根重根, ,或为或为f x 0的的m重重 零点零点. .一一重根重根 m 1 通常称为通常称为单根单根. .例例1 设设 ,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 解解
4、314020112 AI 22)1( .2, 1321（二重）（二重）的特征值为的特征值为得得 A 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xAI ,000010101414030111 AI,1011 得基础解系得基础解系.111的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量为为对对应应于于故故 。由由解解方方程程时时当当02,232 xAI ,0000001141140001142 AI得基础解系为：得基础解系为：,401 ,04132 .2,232的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量为对应于为对应于所以所以 例例2.201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,
5、)1)(2(2010340112 AIA 的特征多项式为的特征多项式为.1,2321（二重）（二重）的特征值为的特征值为所以所以 A.0)2(,21 xAI解方程解方程时时当当 0010140132AI由由,100 1 得基础解系得基础解系.211的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量是是对对应应于于所所以以 ,0)(,132 xAI解解方方程程时时当当,000210101101024012 AI,000010001 ,121 2 得基础解系得基础解系.1322的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量是对应于是对应于所以所以 例例3 3 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵 A的特征值，的特征值，
6、 是是 A的属的属于于 的特征向量，则的特征向量，则 m必为必为Am的的特征值特征值，这里，这里m为正整数为正整数. .证明证明 A 111mmmmAAAAA mmA.,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAA mmmmAAAA2222 比例比例3更一般的结论：更一般的结论： 若若 是矩阵是矩阵 A的特征值，的特征值， 是是 A的属于的属于 的特征向的特征向 量，量，g x 为任一为任一 多项式，试用特征值定义证明：多项式，试用特征值定义证明： g 是矩阵多项是矩阵多项 式式g A 的特征的特征 值，值， 仍仍是是g A 的属于的属于g 的特征向量。
7、的特征向量。例例4 4 设设 A是是 n 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为 ,AIfA .的特征多项式的特征多项式求求AT解解 AIfTAT TAI AI Af说明说明: :有相同的特征值。有相同的特征值。和和TAA但但特征向量不一定相同。特征向量不一定相同。对角对角矩阵矩阵 nnaaa0000002211它们的特征值均为主对角元它们的特征值均为主对角元 a11,a22,ann nnnnaaaaaa00022211211 nnnnaaaaaa21222111000 三角形三角形 2. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质,)1(.)()(1AAtraceAIfnnnA 性质
8、性质1 1 设设 A aij 是是n阶矩阵，则阶矩阵，则.)(1的迹的迹称为称为其中其中AatrAAtraceniii .)()(),.,2 , 1(,).()()()()()(12121特征值特征值重重的的是是也称也称重数，重数，代数代数的的为特征值为特征值异特征值，称异特征值，称的互的互的互异零点，即是的互异零点，即是是是其中其中可作因式分解：可作因式分解：理知，在复数域上理知，在复数域上本定本定次多项式，由代数学基次多项式，由代数学基为为的的阶矩阵阶矩阵因因iiiiAikiinknnAAAnAnAfkinnffnfAnk 性质性质2 2 n阶阶矩阵设矩阵设 A有且仅有有且仅有n个特征值个
9、特征值, ,其中其中 m重重特征值以特征值以m个计个计. .性质性质3 3 设设 1 , , 2 , , , , n为为 A的的n个特征值个特征值( ( i未未必互异必互异),),则则 niiniiAtrA11A有有零特征值零特征值. .A的的特征值均非零特征值均非零; ; 矩阵矩阵 的特征值的特征值, ,则则 1为为 1的的特征值特征值. .的基础解系即为属于的基础解系即为属于零特征值零特征值的线性无关的线性无关 的特征向量的特征向量. .注注: :的特征值是否正确的特征值是否正确; ; ., 4212121线性无关线性无关则则，为与之对应的特征向量为与之对应的特征向量，的互异特征值的互异特
10、征值是方阵是方阵设设性质性质sssA ., 111121211也线性无关也线性无关则则量量线性无关的特征向线性无关的特征向的的分别为属于分别为属于的互异的特征值，的互异的特征值，是是设设推论推论sislsliiliis,A .AV0)AI( , 0000的特征子空间的特征子空间的属于的属于为为的解空间的解空间称齐次线性方程组称齐次线性方程组的特征值的特征值是是设设定义定义 xA.00零向量构成的集合零向量构成的集合上上的特征向量的全体再添的特征向量的全体再添的属于的属于是是说明：说明： AV特征子空间特征子空间V 0的维数的维数dimV 0为为 0的的几何重数几何重数. . 0为为A的的m重特
11、征值重特征值, ,则则dimV 0 m . . 即特征值的即特征值的几何重数几何重数不超过其不超过其代数重数代数重数. . A m, , dimV 0 1. .dimV 0 n r 0I A 0对应的线性无关的特征向量的个数对应的线性无关的特征向量的个数 注意注意 特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的， 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征值具有的
12、特征向量不唯一； 但一个特征向量不能属于不同的特征值但一个特征向量不能属于不同的特征值 & 1. 矩阵的对角化矩阵的对角化5.2 5.2 矩阵的对角化矩阵的对角化定义定义5.2.1 设设A, ,B为两个为两个n阶矩阵阶矩阵. .若有若有可逆矩阵可逆矩阵 P, ,使得使得P 1AP B. .则称则称A与与B 相似相似，记作，记作AB. .注：矩阵相似关系满足注：矩阵相似关系满足: : (1) 反身性反身性: :AA; ;(2) 对称性对称性: :若若A B则则B A; ;(3) 传递性传递性: :若若A B, ,B C, ,则则A C . .的的变变成成称称为为把把可可逆逆矩矩阵阵BAP相似变换
13、矩阵相似变换矩阵。 1. 矩阵的对角化矩阵的对角化A 可可逆逆QPPAQBrrBABA,1 BArrBABAPPBA12 ABA与与B 均为均为n阶方阵阶方阵., 的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而项式相同项式相同的特征多的特征多与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若BABABAn性质性质5.2.1证明证明相似相似与与BA APPPIPBI11 PAIP 1PAIP 1.AI BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵定义：定义： 如果矩阵如果矩阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵,就称就称A可对角化可对角化. 则有则有特征向量，若令特征向量，若令应的线性无关的应的线性无关的为与之对为与之对的特征值
14、，的特征值，是是设设, ),(,212121nnnPA .)( 2 . 2 . 5个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAnP 1AP diag1, , 2, , , , n . .矩阵矩阵P称为将称为将A对角化的对角化的变换矩阵变换矩阵, , P的每一列是的每一列是A 的特征向量的特征向量, ,而对角而对角矩阵的主对角元恰为矩阵的主对角元恰为A的特征值的特征值. .A A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 1, , 2, , , , n所组成所组成 的的矩阵就是矩阵就是
15、变换矩阵变换矩阵 P, , 但要注意但要注意 1, , 2, , , , n的的 排列顺序必须与排列顺序必须与 1, , 2, , , , n的排列顺序相对应的排列顺序相对应. . ., 2 , 1,dimA, 2 , 1,)()()( 3 . 2 . 511kinVkifAniinknAik 可对角化当且仅当可对角化当且仅当则则互异互异其中其中该特征值的重数，即若该特征值的重数，即若特征子空间的维数等于特征子空间的维数等于它的属于任一特征值的它的属于任一特征值的可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是阶矩阵阶矩阵定理定理推论推论5.2.1如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 n 个特征值互不
16、个特征值互不相等，则相等，则 A 必可对角化，反之不一定成立。必可对角化，反之不一定成立。 :是否可对角化是否可对角化判别判别 A得出结论。得出结论。并由定理并由定理是否都成立是否都成立判别判别求出求出的特征值的特征值对于重数大于对于重数大于及重数及重数的互异特征值的互异特征值求出求出3 . 2 . 5.dim)3()(dim.dim,1)2(.)1(iiiiinVAIranknVVnAiii 163053064A设设，A能否对角化？能否对角化？ ,P则则求求出出相相似似变变换换矩矩阵阵例例5 5 .1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064 AI 212 . 2, 1321 的全
17、部特征值为的全部特征值为所以所以A若能对角化，若能对角化， 得方程组得方程组代入代入将将0121 xAI 063063063212121xxxxxx得基础解系即线性无关的特征向量为得基础解系即线性无关的特征向量为 ,0121 .1002 ，为自由未知量为自由未知量3221,2xxxx 1,0;0,13232 xxxx令令 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 023 xAI .1 , 1 , 13 T 线线性性无无关关，由由于于321, 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化。 A注意注意 , ,213 P若令若令1
18、11 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应要相互对应矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 ,1PPBA 若若 Ak.1PBPk 则则1PBP1PBP1PBP1PBPk个个 ,1为为对对角角矩矩阵阵使使若若可可逆逆矩矩阵阵特特别别地地APPP, 1PPAkk 则则.1211 PPPPAknkkkk 见见P82 例例5.2.3 ., 0det,2, 0A3det :4 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAIAAIAT思考题思考题思考题思考题答案答案：6 6或或 34
