1、8.1 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念1. 1. 正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(w w t+y y)波形：波形：tiOy y/ /w wT周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：HzHz，赫，赫( (兹兹) )单位：单位：s s，秒，秒Tf1 正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+k kT T)l 正弦电流电路正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路激励和响应均为正弦量
2、的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。或交流电路。（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。（2 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按
3、正弦规律变化的分量。可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf w w 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。(1)(1)幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency)2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素tiOy y/ /w wT(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) y yIm2 y yw wt单位：单位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量
4、变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，反映正弦量的计时起点，常用角度表示。常用角度表示。 i(t)=Imcos(w w t+y y)22fTw同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。ti0一般规定一般规定：|y y | 。y y =0y y = /2y y = /2例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w w10103 3rad/srad/s，（1 1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2 2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t t1 1ti010050t1解解
5、由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧有最大值有最大值当当 310 13 t3( )100cos(10)i tty050100costy3y3y 3( )100cos(10)3i tt1331.04710tms3. 3. 相位差相位差设设 u(t)=Umcos(w w u t+y y u), i(t)=Imcos(w w i t+y y i)则则 相位差相位差 ：j j = (w wu t+y y u)- - (w w i t+y y i)j j 0， u超前超前ij j 角，或角，或i 落后落后u j j 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值) )； j j 1/w w
6、C ，X0， j j z0，电路为感性，电压领先电流；电路为感性，电压领先电流；相量图：相量图：选电流为参考向量，选电流为参考向量，三角形三角形UR 、UX 、U 称为电压三称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即角形，它和阻抗三角形相似。即CUIRULUUj jzUX22XRUUU 0 iy y. Ijw w L. UXU. R+- -+- -+- -RU. 等效电路等效电路w wL1/w wC， X0， j jz U=5，分电压大于总电压。，分电压大于总电压。ULUCUIRUj j- -3.4相量图相量图V 4 . 3235. 24 . 3149. 015oo IRURV 4 .8642.
7、84 . 3149. 0905 .56jooo ILULwV 4 .9395. 34 . 3149. 0905 .26C1jooo IUCwV o)4 . 3sin(2235. 2tuRV o)6 .86sin(242. 8tuLV o)4 .93sin(295. 3tuC注注3. 3. 导纳导纳正弦稳态情况下正弦稳态情况下IYU+- -无源无源线性线性IU+- -yYUIY| ?uiyy yy yj j 单位：单位：SUIY 导纳模导纳模导纳角导纳角ZYYZ1 , 1对同一二端网络对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：当无源网络内为单个元件时有：GRUIY1LjBLjUIY /1wCj
8、BCjUIY wIRU+- -ICU+- -ILU+- -Y可以是实数，也可以是虚数可以是实数，也可以是虚数4. RLC并联电路并联电路由由KCL：CLRIIII iLCRuiLiC+- -iL j 1j UCULUGww )j1j(UCLGww )j(UBBGCL )j(UBG. Ijw w L. ULI. CI. Cj1RI. R+- -yYjBGLjCjGUIYjww1Y 复导纳；复导纳；G电导电导(导纳的实部导纳的实部)；B电纳电纳(导纳的虚部导纳的虚部)； |Y|复导纳的模；复导纳的模；j j y导纳角。导纳角。转换关系：转换关系： arctg | | 22 GBBGYy或或G=|Y
9、|cosj j yB=|Y|sinj j y导纳三角形导纳三角形|Y|GBj j yuiyUIYy yy yj j （1）Y=G+j(w wC- -1/w wL)=|Y|j jy 数，故称复导纳；数，故称复导纳；（2 2）w wC 1/w wL ，B0， j jy0，电路为容性，电流超前电压电路为容性，电流超前电压相量图：选电压为参考向量，相量图：选电压为参考向量，2222)(CLGBGIIIIII UGI. CI. Ij jyLI. 0 y yu分析分析 R、L、C 并联电路得出：并联电路得出：三角形三角形IR 、IB、I 称为电流三角称为电流三角形，它和导纳三角形相似。即形，它和导纳三角形
10、相似。即RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象IBw wC1/w wL ，B0， j jy0，则，则B0，即仍为感性。，即仍为感性。yYBGY |j BGXRXRXRZYjjj11 222222 , XRXBXRRGzy ZY , |1| 注注GjBYZRjX同样，若由同样，若由Y变为变为Z，则有：，则有：yzzy ZYBGBXBGGRXRBGBGBGYZZXRZYBGY , |1| , jjj11 |j ,|j 222222GjBYZRjX例例RL串联电路如图，求在串联电路如图，求在w w106rad/s时的等效并联电路。时的等效并联电路。解解
11、RL串联电路的阻抗为：串联电路的阻抗为： 02 .501 .786050jjXRZL 601006. 010 36LXLw w0.06mH50 LRSjZY 0098. 00082. 0 2 .500128. 02 .501 .781100 1220082. 011GRmHL102. 00098. 01 w w例例A1A2A0Z1Z2U已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26ACjXZRZ 21 , 1 ）（若若A0?为何参数为何参数）（21 , 2 ZRZ A0I0max=?为何参数为何参数）（21 , 3 ZjXZL A0I0min=?为何参数为何参数）（21 , 4 ZjXZL 解
12、解AI1068 1 220 ）（1,IU2I0IAIZ1468 2 max02 为电阻，为电阻，）（AIjXZC268 , 3 min02 ）（A0A1A2?AIAIIjXZC16 ,8 , 4 2102 ）（下 页上 页返 回例例)(:),5cos(2120 tit u(t)求求已知已知 +_15 u4H0.02Fi解解00120U 2054jjjXL 1002. 051jjjXC相量模型相量模型Uj20 - -j10 1I2I+_15 3IICLCLRjXUjXURUIIIIAjjjjj09 .3610681268101201151120 At i(t)9 .365cos(210 0 下
13、页上 页返 回例例)(:),1510cos(25 06tuti(t)S求求已知已知 +_5 uS0.2 Fi解解0155I5102 . 010166jjjXCVjUUUCRS000030225452515555155相量模型相量模型+_5 SUI-j5 RUI,CUSUCU下 页上 页返 回6( )50cos(1030 )s tutV例例? ,78 ,50 BCACABUVUVU问：问：已知已知j40 jXL30 CBAI解解IIIUAB50)40()30(22 VUVUAILR40 ,30 ,1 22)40()30(78BCACUU VUBC3240)30()78(22 Ij40I30BCU
14、ABUACU下 页上 页返 回例例图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，总电压与总电流同相位，求求I、R、XC、XL。00 CCUU?U- -jXC1I2I+_RI- -jXLUC+- -解解5 ,05201jII0452555jI)1 (2505)55(45500jRjXjUL252505 LLXX 2102502552505CXRR也可以画相量图计算也可以画相量图计算令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页返 回U- -jXC1I2I+_RI- -jXLUC+- -U25 ICRUU 2I1I045LUVUUL50 2
15、52550LX 2105250RXC下 页上 页返 回例例 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压与电源电压 /3，问，问R、C应如何选择应如何选择。IjXIRUCS 解解1 1CSCCCSjXRUjXUjXRUI ,1CRjUUCSw也可以画相量图计算也可以画相量图计算U- -jXC+_RI+- -CU360tan0 CRw wCRCIRIUUCRw ww w /360tan0RUSUICU060下 页上 页返 回8.5 8.5 阻抗（导纳）的串联和并联阻抗（导纳）的串联和并联ZIZZZIUUUUnn )(2121Z+- -UIUZZU
16、ii分压公式分压公式nknkkkkjXRZZ11)(Z1+Z2ZnUI1. 1. 阻抗的串联阻抗的串联nknkkkkjBGYY11)(分流公式分流公式IYYIii2. 2. 导纳的并联导纳的并联Y1+Y2YnUIY+- -UIYUYYYUIIIInn )(2121两个阻抗两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：的并联等效阻抗为：2121ZZZZZ例例求图示电路的等效阻抗，求图示电路的等效阻抗， w w105rad/s 。解解感抗和容抗为：感抗和容抗为： 100130 100)100100(10030)(221jjjjXRjXjXRjXRZCLCL 10010110 35LXLw w 100101
17、. 0101165CXCw w1mH30 100 0.1 FR1R2例例图示电路对外呈现感性还是容性？图示电路对外呈现感性还是容性？ 。解解1等效阻抗为：等效阻抗为： 75. 45 . 5481 .532563 )43(5)43(5630jjjjjjZ3 3 j6 j4 5 解解2用相量图求解，取电流用相量图求解，取电流2为参考相量：为参考相量：U3 3 j6 j4 5 2I1II2U1U2II2U1UU例例图示为图示为RC选频网络，试求选频网络，试求u1和和u0同相位的条件及同相位的条件及?01UU-jXCRRuou1-jXC解解设：设：Z1=RjXC, Z2=R/jXC2121ZZZUUo
18、2122111ZZZZZUUo实数实数 CCCCCCCCCCRXXRjjRXRXjXRjRXjXRjXRjRXjXRZZ222222122)()(CXR 3211oUU8.6 8.6 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：电阻电路与正弦电流电路的分析比较：GuiRiuui : 0 :KVL 0 :KCL :或元件约束关系电阻电路 UI IU : 0 : KVL0 : KCL: YZUI?可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应电流电路的相量模型，便可将电阻电路的
19、分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。用于正弦稳态的相量分析中。结论结论1. 1. 引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题。问题转化为求解复数代数方程问题。2. 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。而直接列写相量形式的代数方程。3. 3. 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（于交流，直流（f f =0)=0)是一个特例。是一个特例。例例1:R2+_Li1i2i3R1CuZ1
20、Z2UR2+_R11I2I3ICjw w 1Ljw w画出电路的相量模型画出电路的相量模型 13.28911.923 .7245.303 7 .175 .1049901047.31847.3181000)47.318(10001)1(3111jjjCjRCjRZw ww w,/314,100,10,500,10,100021sradVUFCmHLRR w w 求求: :各支路电流。各支路电流。已知：已知：解解 w w 1571022jLjRZ 3 .5299.166 13.13211.102 1571013.28911.92 21jjjZZZAZUIooo3 .526 . 03 .5299.1
21、6601001AjICjRCjIooo20181. 03 .526 . 07 .175 .104947.31811112wwAICjRRIooo7057. 03 .526 . 07 .175 .1049100011113wZ1Z2UR2+_R11I2I3ICjw w 1Ljw w列写电路的回路电流方程和节点电压方程列写电路的回路电流方程和节点电压方程例例2. 解解+_susiLR1R2R3R4CSI+_R1R2R3R4Ljw wcjw w1SU1I2I4I3I回路法回路法:SUIRILjRILjRR3221121)()(w ww w0)()(33112431IRILjRILjRRRw ww w
22、01)1(42312332ICjIRIRICjRRw ww wSII 41nU2nU3nU节点法节点法:SnUU1011)111(33122321nnnURURURRLjRwSnnnIUCjURUCjRR1233431)11(wwSI+_R1R2R3R4Ljw wcjw w1SU. 45 , 30 30j , A904 321oSIZZZZI?方法一：电源变换方法一：电源变换 15153030)30(30/31jjjZZ解解例例3.Z2SIZ1ZZ3IS31)/(IZZZ2Z1/ /Z3ZI+- -ZZZZZZII23131S/)/(45301515)1515(4jjjjoo36.9-5455
23、.657 A o9 .8113. 1方法二：戴维南等效变换方法二：戴维南等效变换V4586.84 )/(o310ZZIUSZeqZ0 U I+- -Z2SIZ1Z30U求开路电压：求开路电压：求等效电阻：求等效电阻：45j15 /231 ZZZZeqA9 .8113. 1 4545154586.84o00jZZUIo例例4 求图示电路的戴维南等效电路。求图示电路的戴维南等效电路。6030030060300601002000111jUIIIUoj300 +_0060 0U+_1 4 I1 I50 50 j300 +_0060 0U+_1200I1 I100 _解解045230160jUo求短路电
24、流：求短路电流：SCI006 . 010060SCI000452506 . 045230SCeqIUZ例例5 用叠加定理计算电流用叠加定理计算电流2 IZ2SIZ1Z32IS U+- -解解: )( ) 1 (SS?UI 323S2ZZZIIoooo30503050305004 A3031. 235030200 oo 32S2ZZUIoo222135155. 13031. 2 IIIA135155. 135045100 oo A9 .1523. 1 o :)( )2(SS 开开路路单单独独作作用用 IU2I2IV45100 :oS U已知已知. 3050 ,3050 A,04 o3o31oS
25、ZZZI已知平衡电桥已知平衡电桥Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jw wL3。 求求：Zx=Rx+jw wLx。平衡条件：平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得得R1(R3+jw wL3)=R2(Rx+j w wLx) Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2例例6解解Z1Z2ZxZ3 |Z1| j j1 |Z3| j j3 = |Z2| j j2 |Zx| j jx |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx| j j1 +j j3 = j j2 +j jx 已知：已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000 。?90o1相相位位差差和和等等于于多多少少时时，问问
26、：SUI11111S)1 (IZIZIZIZU例例7解解 I1 I1 IZZ1+_S U.90 , o11相位差为相位差为实部为零实部为零，关系：关系：和和分析：找出分析：找出转转转转ZIZUUISS )10005050( j10410)1 ( 11SZZIU41 010410 ，令令 1000j 1SIUI 已知已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32 , f=50Hz 求：求： 线圈的电阻线圈的电阻R2和电感和电感L2 。方法、方法、 画相量图分析。画相量图分析。例例8解解R1R2L2+_1UU2U+_+_ I1ULU2RU2U 2 2U j j cos2
27、2122212UUUUUA73. 132/4 .55/11 RUILRUUUUUU121j j1 .1154237. 0cos j j j j9 .641802 j j H133. 0)2/( 8 .41sin |6 .19cos | 2 .4673. 1/80/|222222222 fXLZXZRIUZ 方法二、方法二、j1158004 .55021UUU j jcos115cos804 .55 j jsin115sin80 093.64424. 0cos j jj jR1R2L2+_1UU2U+_+_ I其余步骤同解法一。其余步骤同解法一。U用相量图分析用相量图分析oo0180 为为移移相
28、相角角，移移相相范范围围例例9移相桥电路。当移相桥电路。当R2由由0时时，?ab 如何变化如何变化 U解解1UCUCICU CI ; ,21 , ,ab2相相位位改改变变不不变变改改变变当当由由相相量量图图可可知知UUR 当当R2=0， 180180 ；当当R2 ， 00 。ab1U2UCUCIR2R1R1+_UabU+- -+- -+- -RU2URURU 12121 2,UUUUUUUUUUUURabCRabUabU abb3I例例10图示电路，图示电路，。、求：求：、212132,520021010RXXIXRRVUAIAILCL R1R2jXL+_CUU+_1 IjXC3 I2 I解解
29、2RU045CULU0902I1I用相量图分析用相量图分析AIIII10451013510210100321 VUUUUUCCCR1501052001 27522222 LRRCLRCUUUUUUU 5 . 7210275 15101502LCXRX1RU例例11求求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。串联电路在正弦输入下的零状态响应。L+_SuLu+_LiR解解)cos(2uStUuy yw w 已知：已知：应用三要素法：应用三要素法：0)0()0( LLiiiZuILRULjRUIyyyww22)(RL 用相量法求正弦稳态解用相量法求正弦稳态解 tLLLLeiiiti 0)()0()()( y yy yw wtimimLeItIti cos)cos()(过渡过程与接入时刻有关过渡过程与接入时刻有关 y yy yw wtimimLeItIti cos)cos()()cos()(2 imLitItiy yw w y y ，当当ti0直接进入稳定状态直接进入稳定状态 w wy ytmmLieItIti )cos()(0 ，当当精品课件精品课件！精品课件精品课件！出现瞬时电流大于出现瞬时电流大于稳态电流现象稳态电流现象 w wy ytmmLieItIti )cos()(0 ，当当ti0
