1、知识目标知识目标u了解对策论模型的三要素，掌握矩阵对策的模型、基本定理及解法;u了解其他类型对策，能够用所学对策论知识解决一些简单的实际问题.技能目标技能目标u根据实际问题建立支付矩阵(建模);u根据最小最大原则、最大最小原则、优超原则等，利用图解法和线性规划法求出矩阵对策的最优策略和对策值.第一节第一节 矩阵对策及其解法矩阵对策及其解法 本节的主要内容 对策现象的三要素及其分类 矩阵对策的数学模型 最优纯策略 混合策略和混合扩充 矩阵对策基本定理 矩阵对策的求解 对策现象的三要素及其分类 对策现象三个基本要素：局中人(players) 、策略集(strategies)和支付函数（赢得函数）(
2、payoff function)。 对策现象的分类：根据局中人的数量分为“两人对策”和“多人对策”；根据局中人之间是否允许合作分为“合作对策”和“非合作对策” ；根据局中人的策略集中的策略个数可分为“有限对策”和“无限对策” ；根据局中人的支付函数的代数和是否为零可分为“零和对策”和“非零和对策”等。 矩阵对策的数学模型 矩阵对策就是有限两人零和对策。即参加对策的局中人只有两个，双方的利益是完全对抗的；每个局中人都有有限个可供选择的策略；且在任一局势（在对策论中，从每个局中人的策略集中各取一个策略组成的策略组）中，一个局中人的所得即为另一个局中人的所失，两个局中人的得失之和总等于零。 对于一个
3、矩阵对策，当其3个基本要素确定后，这个对策的数学模型也就给定了。如果给定了局中人、的纯策略集合分别为S1、S2，局中人的支付矩阵为A，则把这个矩阵对策的数学模型记为G =，；S1；S2；A 或G = S1，S2；A 【例11-2】（“石头、剪刀、布”游戏）每个人都可能玩过这种游戏。石头击败剪刀，剪刀战胜布，而布又胜过石头。这里也是两个局中人：局中人、，双方各有3个策略，策略1代表出石头，策略2代表出剪刀，策略3代表出布。假定胜者得1分，负者得-1分。策略一样，就算“平局”，双方都不得分。取S1=石头、剪刀、布，S2=石头、剪刀、布，则局中人的支付矩阵A为011101110A最优纯策略最优纯策略
4、1111max minmin maxijijjnjnimimaa * *i jaG对策的值一个矩阵对策G，如果其支付矩阵A的元素满足：矩阵对策G的鞍点如果纯局势 使则称 为对策G的鞍点，也称它是对策G在纯策略中的解，此时 与 分别为局中人和局中人的最优纯策略。则称这个值V为矩阵对策G的值。的值V*(,)ij*(,)ij*i*j5 17 3 2 516194 0 4A【例11-3】对于一个矩阵对策G =，；S1，S2；A，其中求双方的最优策略。112342123,SS 定理1： 为对策G的鞍点的充要条件是对于任意的i，j，有 ，即鞍点 具有这样的性质： 是第j*列的最大元素，是第i*行的最小元素
5、。也就是说，对于纯局势 ，有下式成立：* *i ja*11minmaxi jijj ni maa *(,)ij* *iji ji jaaa*(,)ij*(,)ij也都是G的鞍点（称为鞍点的可(,)ij (,)kt(,)it (,)kj若和都是矩阵对策G的鞍点，和则交换性），且在鞍点处的值都相等（称为鞍点的无差别性）。定理2：【例11-6】某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖用煤的采购量。已知在正常气温条件下需要煤15吨，在较暖和较冷气温条件下分别需要煤10吨和20吨。假定冬季的煤价随天气寒冷程度而变化，在较暖、正常、较冷气温条件下，每吨煤的价格分别为500元、750元和1000元。又设秋季时每吨
6、煤的价格为500元，在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条件下，秋季时应采购多少吨煤能使总支出最少？混合策略和混合扩充混合策略和混合扩充12 ,; GS SA12( ,)mXx xx1(0,1)miiixx12,mx xx12,m 12( , , ,)mXx xx混合策略对于矩阵对策，是 S1上的一个概率分布，局中人分别以采用策略，则称是局中人的一个混合策略。 概率12,; GS SA*1121*2121*12( ,|10,1,2,(,|10,1,2,(, )|,mmiiinnjjjSx xxxximSy yyyyjnEE X YXS YS且且*12,; GSSEG混合扩充给定一个矩阵对策。设
7、S*1是S1上一切混合策略的集合，S*2是S2上一切混合称为的混合扩充。策略的集合：矩阵对策基本定理任何一个矩阵对策G， 一定存在混合策略解*X*Y，。定理4 （基本定理）：矩阵对策的求解 图解法图解法12(,; )GS SA2311752A【例11-7】用图解法求解矩阵对策其中， 线性方程组法线性方程组法 12(, )GS SA111113121A 【例11-9】给定一个矩阵对策，求对策G的值与解。其中 线性规划法线性规划法 线性规划法可以求解任一矩阵对策。 12 ,; GS SA 111 2 0 1A 【例11-10】给定一个矩阵对策，求对策G的值与解，其中第二节第二节 其他类型对策问题其
8、他类型对策问题本节的主要内容 二人无限零和对策 多人非合作对策 合作对策 无限无限*(,)ij12,;GS SH12,ijSS*(,)(,)(,)ijjijiHHH 定理7：为在纯策略意义下的解，有 的充要条件是：对任意*(,)XY12 ,;GS SH,XX YY*(,)(,)(, )H X YH XYH XY定理8：为对策的解的充要条件是：，有对任意定理9：对任何连续对策，一定有12vv。多人非合作对策多人非合作对策非合作n人对策在混和策略意义下的平衡局势一定存在。2 22111 1112AB【例11-13】求解阶双矩阵对策，其中定理10（Nash定理）：第三节第三节 对策论在物流企业竞争策
9、略对策论在物流企业竞争策略分析中的应用分析中的应用 第三方物流契约的双方之间的博弈 收益矩阵混合策略解因此可以得到：同理可得： 1/ 2PMFPC2/ 2/ 2FCMFPC1/ 2/ 2CNFDC2/ 2FDCNFDC解的含义解的含义本章小结本章小结 本章主要阐述了对策现象的基本要素、矩阵对策的数学模型、矩阵对策的最优纯策略和最优混合策略求法。此外，简单介绍了二人无限零和对策、多人非合作对策、合作对策等典型的非矩阵对策及其求解问题。最后，对策论在物流企业竞争策略分析中的应用。 本章的重点是矩阵对策及其最优策略（包括最优纯策略和最优混合策略）的一般求解方法。难点是物流领域竞争现象建模与竞争策略的
10、优化分析。案例分析案例分析 Rhenania：运用动态多层模型优化邮购业务 1问题描述 Rhenania是德国一家直接邮购公司。1996年，Rhenania的CEO面临着多重挑战：销量持续下滑、市场份额萎缩和利润下降。尽管Rhenania已按标准的营销方法来管理客户联系工作。、为每类邮购目录竞选最佳客户，为每个邮件选择最好的顾客，公司经营情况还是低迷不振。而且当Rhenania努力增加单个邮购订单的利润时，其客户基数还出现了萎缩。公司求助于优化和战略计划方面的运筹学技术，来扩大其客户基数，增加公司利润。 2 解决方案 Rhenania的营销主管在运筹学建模方面具有很强的背景。他意识到，邮购公司
11、最大化单个邮购订单的传统做法实际上是一个次优选择，因为它削弱了活跃客户（在最近12个月内下过定单的客户）的基础，从长远来看会减少公司的利润。他说服公司新任CEO转而采用与传统做法背道而驰的运筹学优化方法。 他领导的运筹团队开发了一个动态多层建模方法（DMLM），以此来确定邮寄邮购目录的最佳频率，根据顾客细分来优化邮购产品组合，并确定客户何时接到“重新激活包”而不是目录。 3 成效评价 在一年之内，Rhenania从原来目录由购方式中转变过来，其在德国的市场地位由第五提升到了第二。这种方法显然非常有效，以至于Rhenania兼并了两个竞争者，其中包括世界级出版巨头Springer Verlag的
12、一个子公司。 Rhenania的CEO Frederick写道：“今天，DMLM已经在Rhenania得到完全的实施。邮寄的每一个地址都经过这一算法的选择。自从实行以来，和大多数竞争对手相比，的表现确实好得多。现在正在获得本行业之外的市场份额。不久以前还在通过兼并获得市场份额。一模型不但在经济上带来了如此显著的改进，他还是一个很好的预测工具，能看到未来12月内活跃客户、销售额和利润的变化情况。” 问题 利用你所学的运筹学知识，提出自己的和理化建议与改进方法，以增加管理效益。实训设计 实训目标实训目标 掌握矩阵对策问题模型的建立和线性规划法解法 实训内容与要求实训内容与要求 在竞争中根据历史数据
13、和调研获得矩阵对策问题的支付矩阵。建立相应的矩阵对策问题的数学模型，并利用线性规划法求解，给出竞争最优策略和最优值。 成果与检验成果与检验 能够建立相应的矩阵对策问题的模型，会利用线性规划法求解矩阵对策问题，得出最优策略和最优值。 A,B两家公司的产品作竞争性推销，他们各控制市场的50%，最近这两家公司都改进了各自的产品，准备发动新的广告宣传。如果这两家公司都不做广告，那么平分市场的局面将保持不变，但如果有一家公司发动一次强大的广告宣传，那么另一家公司将按比例地失去一定数量的顾客。市场调查表明，潜在顾客的50%可以通过电视广告争取到，30%可以通过报纸争取到，其余的20%可通过无线电广播争取到
14、，现每一家公司的目标是要选择最有利的宣传手段。 （1）把这个问题表达成一个二人零和的对策，求出局中人A的损益矩阵。 （2）求两家公司的最优策略和对策值。 解解 （1）公司A的损益矩阵如表11-5所示：策略B12345678qA10-50-30-20-80-70-50-100-10025002030-30-200-50-50330-20010-50-40-20-70-70420-30-100-60-50-30-80-8058030506001030-20-20670204050-10020-30-3075002030-30-200-50-50810050708020305000*1005070802030500*maxijia表表11-5 损益矩阵损益矩阵 （2）两家公司的最优纯策略都是策略8，即同时进行电视、报纸和无线电广播的广告宣传，对策值V=0。
