1、第十三章第十三章 轴对称总复习课轴对称总复习课复习一复习一轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形复习二复习二轴对称变换轴对称变换复习三复习三 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称复习四复习四 等腰三角形等腰三角形复习一复习一轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形图片欣赏展示折叠展示折叠展示折叠展示折叠展示折叠展示折叠展示折叠展示折叠展示折叠折叠折叠展示折叠是是是不是不是达达 标标 题题 (2)(1)图图(1)能与图能与图(2)重合吗？重合吗？这条直线就是_对称轴对称轴像这样：把一个图形沿着某一条直线折叠，像这样：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形如果它能与另一个图形重合，重合，那么我们
2、就那么我们就说这两个图形说这两个图形_。关于这条直线对称关于这条直线对称mABCFDE请问该图中的和请问该图中的和的连线与直线的连线与直线m有有什么样的关系？什么样的关系？已知图中的两个三角已知图中的两个三角形关于直线形关于直线m对称，对称，请说出图中的哪些点可请说出图中的哪些点可以重合？以重合？图中点图中点M的对的对称点在称点在哪呢？哪呢？MC的对称点是的对称点是 _的对称点是的对称点是ED A的对称点是的对称点是 F能重合的点叫能重合的点叫_对称点对称点图中的对称点有哪些图中的对称点有哪些?BmABCFDE直线直线m叫做线段叫做线段的的垂直平分线垂直平分线定义：经过线段的中点且与之定义：经
3、过线段的中点且与之垂直的直线就叫垂直的直线就叫垂直平分线垂直平分线也叫也叫中垂线中垂线轴对称的性质：轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点的连线的垂直平分线那么对称轴是对称点的连线的垂直平分线即对称点的连线被对称轴垂直且平分即对称点的连线被对称轴垂直且平分右图中，右图中，关于直线关于直线m对称，由轴对称的性对称，由轴对称的性质可以得到：质可以得到：m是是_的的垂直平分线垂直平分线ABCDEF与mABCFDEO由由垂直平分线垂直平分线还可得到：还可得到：OCOD理由是：理由是：也是也是_、_的的垂直平分线垂直平分线PAFCD BE 垂直平分线
4、上的点到线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。两个端点的距离相等。ABC与DEFBCAD(1)因为_所以AB_ (2)因为_ 所以A在线段BC的垂直平分线垂直平分线上AD为BC的垂直平分线垂直平分线ACABAC理由：理由：垂直平分线上的点到线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。两个端点的距离相等。到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线垂直平分线上。 欣赏大自然风景，欣赏大自然风景，说说图中的对称轴说说图中的对称轴.剪纸艺术剪纸艺术 剪纸是一种民间传统工艺品。早在汉、唐时代，民间妇女即有剪纸是一种民间传统工艺品。早在汉、唐时代，民间妇女即有使用金银箔和彩帛剪成方胜、花鸟贴上
5、鬓角为饰的风尚。后来逐使用金银箔和彩帛剪成方胜、花鸟贴上鬓角为饰的风尚。后来逐步发展，在节日中，用色纸剪成各种花草、动物或人物故事，贴步发展，在节日中，用色纸剪成各种花草、动物或人物故事，贴在窗户上（叫在窗户上（叫“窗花窗花”）、门楣上（叫）、门楣上（叫“门签门签”）作为装饰，也）作为装饰，也有作为礼品装饰或刺绣花样之用的。剪纸的工具，一般只用一把有作为礼品装饰或刺绣花样之用的。剪纸的工具，一般只用一把小剪刀，有的职业艺人则用一种特制的刻刀刻制，称为小剪刀，有的职业艺人则用一种特制的刻刀刻制，称为“刻纸刻纸”。 如此漂亮的剪纸是如何剪出来的呢？如此漂亮的剪纸是如何剪出来的呢？1 12 23 3
6、4 4实际上：只要将一张纸两次折实际上：只要将一张纸两次折叠，剪出第叠，剪出第1 1部分的图案，再展部分的图案，再展开就得到了这美丽的图案。开就得到了这美丽的图案。轴对称变换是剪纸的依据。将一张纸对折，按下面的图案剪下，剪好后展开，会得到什么图形？AB我们可由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，我们可由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复此过程，可得到美丽的图案重复此过程，可得到美丽的图案填填空空 像上面那样，由一个平面图形得到它的轴对像上面那样，由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做称图形，叫做轴对称变换轴对称变换。轴对称图形和轴对称变换的区别：轴对称图形和轴对称变换的区别：轴对称图
7、形指的是一个图形，这个图形关于一条轴对称图形指的是一个图形，这个图形关于一条直线成轴对称；如等腰三角形，正方形等直线成轴对称；如等腰三角形，正方形等轴对称变换指的是一个图形改变为另一个图形，轴对称变换指的是一个图形改变为另一个图形，原图形和它的变换后的图形关于一条直线成轴原图形和它的变换后的图形关于一条直线成轴对称，叙述一个轴对称变换，对称，叙述一个轴对称变换，必须指出原图形必须指出原图形和对称轴和对称轴0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5Al 思思考考) 2、 如何画线段如何画线段AB关于直线关于直线 的的 对称线对称线段段AB?ll找关键
8、点作出其找关键点作出其对称点！对称点！然后连结线段然后连结线段.ABABABCDABl已知对称轴已知对称轴 和一条线段和一条线段ABAB，画出，画出线段线段AB AB 关于关于 的对称线段的对称线段A A B B 。ll 1 1、过点、过点A A作对称轴作对称轴 的垂线的垂线A AA A ，使，使CA=C ACA=C A l 2 2、过点、过点B B作对称轴作对称轴 的垂线的垂线BBBB ，使，使DB=DBDB=DB l3 3、连接、连接A A B B ，线段，线段A A B B 就是关于直线就是关于直线 的对称线段的对称线段lBA 3、如何画、如何画 ABC关于直线关于直线 的对称的对称AB
9、C?l还是还是找关键点作出其对称点！找关键点作出其对称点！然后顺次连结线段构成三角形然后顺次连结线段构成三角形.lABl 4 4、如图给出了一、如图给出了一个图案的一半，其中个图案的一半，其中的虚线的虚线 是这个图案是这个图案的对称轴的对称轴. .（1 1）整个）整个图案是个什么形状？图案是个什么形状？（2 2）请准确地画出它）请准确地画出它的另一半的另一半. .l还是还是找关键点作找关键点作出其对称点！出其对称点！几何图形都可以看作由点组几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些成，只要分别作出这些点关于点关于对称轴的对应点，对称轴的对应点，再连接这些再连接这些对应点，就可以得到原图形的对
10、应点，就可以得到原图形的轴对称图形。轴对称图形。对于一些由直线、线段或射线组成对于一些由直线、线段或射线组成的图形只要作出图形中的一些的图形只要作出图形中的一些特殊点特殊点的的对称点，对称点，连接这些对称点，就可以连接这些对称点，就可以得到原图形的得到原图形的轴对称图形。轴对称图形。L 已知对称轴已知对称轴L L和四边形和四边形ABCDABCD经轴对称变换后所得的图形经轴对称变换后所得的图形ABA BCD注：对称轴上的点的对应点是它本身注：对称轴上的点的对应点是它本身CD通过通过怎样怎样轴对称变换，将图中的甲图案变轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？成乙图案？甲甲乙乙AB甲甲乙乙AB通过通过
11、怎样怎样轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？甲甲乙乙AB通过通过怎样怎样轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？1.A、B两村庄要建立一个加油站，要求到两村庄要建立一个加油站，要求到A、B两两村距离相等，且到公路村距离相等，且到公路a、b的距离也相等，请你帮的距离也相等，请你帮忙确定加油站的位置忙确定加油站的位置P.abAB12P 动脑筋动脑筋如图如图,EFGH为长方形的台球台面为长方形的台球台面,有黑、白有黑、白两球分别位于两球分别位于A、B两点的位置上两点的位置上,怎样撞击怎样撞击黑球黑球A,使黑球先碰撞台边使黑球
12、先碰撞台边FG,反弹后再撞击反弹后再撞击台边台边GH,再反弹后击中白球再反弹后击中白球B?作出作出FG、GH上的撞击点的位置和黑球的运行路线上的撞击点的位置和黑球的运行路线.FEHGABFEHGABCA1DB1MN复习三复习三 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称动动手画一画已知点A和一条直线MN，画出这个点关于已知直线的对称点。AAMN A就是点A关于直线MN的对称点。O然后延长然后延长AO至至OA,使使AO=OA.过点过点A作作AOMN于于O，回顾回顾1：如图，在平面直角坐标系中画如图，在平面直角坐标系中画出出点点A关于关于x轴轴的对称点的对称点。31425-2-4-1-3012345-4-3
13、-2-1A (2,3)A(2,-3)你能说出点A与点A坐标的关系吗？在平面直角坐标系中画出下列各点在平面直角坐标系中画出下列各点关于关于x轴的对称点轴的对称点.31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1B (-4, 2)C(3, -4)B (-4, -2)C(3, 4)思考：思考：关于关于x轴轴对称的对称的点的坐点的坐标具有标具有怎样的怎样的关系？关系？归纳：关于归纳：关于x轴对称的点的坐标的特轴对称的点的坐标的特点是点是:横坐标横坐标相等相等,纵坐标互为纵坐标互为相反数相反数.练习练习:1、点、点P(-5, 6)与点与点Q关于关于x轴对称，则点轴对称，则点Q的坐标为
14、的坐标为_.2、点、点M(a, -5)与点与点N(-2, b)关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_, b =_.(- 5 , -6 )-25回顾回顾2：如图，在平面直角坐标系中画如图，在平面直角坐标系中画出出点点A关于关于y轴轴的对称点的对称点。31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1A (2,3)A(-2,3)你能说出点A与点A坐标的关系吗？在平面直角坐标系中画出下列各点在平面直角坐标系中画出下列各点关于关于y轴的对称点轴的对称点.31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1B (-4, 2)C(3, -4)B (4, 2)C(-3, -4)思考：思考：
15、关于关于y轴轴对称的对称的点的坐点的坐标具有标具有怎样的怎样的关系？关系？归纳：关于归纳：关于y轴轴对称的点的坐标的特对称的点的坐标的特点是点是:横坐标互为横坐标互为相反数相反数,纵坐标纵坐标相等相等.练习练习:1、点、点P(-5, 6)与点与点Q关于关于y轴对称，则点轴对称，则点Q的坐标为的坐标为_.2、点、点M(a, -5)与点与点N(-2, b)关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_, b =_.( 5 , 6 )2-5小结：小结：在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，关于关于x轴对称的点轴对称的点.关于关于y轴对称的点轴对称的点.点（点（x, y）关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点
16、的坐标为_.点（点（x, y）关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为_.(x, y)( x, y)横坐标横坐标相等相等,纵坐标互为纵坐标互为相反数相反数横坐标互为横坐标互为相反数相反数,纵坐标纵坐标相等相等练习练习已知点已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5) (0,-1.6) (4,0)关于关于x轴的对称点轴的对称点关于关于y轴的对称点轴的对称点(-2, -3)(2,3)(-1,-2)(1, 2) (6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(4,0)(-4,0)例例1 已知已知ABC的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C
17、(-1，3)，作出，作出ABC关于关于y轴对称的图形。轴对称的图形。解：点解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于，关于y轴对称轴对称点的坐标分别为点的坐标分别为A(3,5), B(4,1),C(1,3).依次连接依次连接AB,BC,CA,就得到就得到ABC关于关于y轴对称的轴对称的ABC.A31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1cBBAC归纳归纳:对于这类问题对于这类问题,只要先求出已只要先求出已知图形中的一些特殊点知图形中的一些特殊点(如多边形如多边形的顶点的顶点)的对应点的坐标的对应点的坐标,描出并连描出并连接这些点接这些点,就可以得到这个
18、图形的就可以得到这个图形的轴对称图形轴对称图形. 在直角坐标系中，已知在直角坐标系中，已知ABCABC顶点顶点A,B,CA,B,C坐标分别为：坐标分别为：A(-2,4),B(-3,2)A(-2,4),B(-3,2)，C(-1,1)C(-1,1)，试作出试作出ABCABC关于关于y y轴的对称轴的对称 ABC.ABC.XY0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -112345ABC.A.B.C(-2,4)(-3,2)(-1,1)(1,1)(3,2)(2,4),作法：作法：1.1.由由Y Y轴对称的坐标特点可知轴对称的坐标特点可知A A，B B，C C各对称点坐标分别为：各对称点坐标分别为： A(2
19、,4),A(2,4),B(3,2)B(3,2)， C(1,1).C(1,1).2.2.在坐标系中作出点在坐标系中作出点ABCABC3.3.连结连结ABAB， AC BC.AC BC. ABC ABC就是所求的三角形就是所求的三角形. .作法：作法：2、连接、连接AB、BC、CA。ABC即为所求的三角形。即为所求的三角形。如图，已知如图，已知ABC和直线和直线 ，作出与，作出与ABC关于关于直线直线 对称的图形。对称的图形。1、分别作出点、分别作出点A、B关于关于直线直线 的对称点的对称点A、B；BACAB总结：如何利用坐标法画轴对称图形总结：如何利用坐标法画轴对称图形 只要先求出已知图形中的只
20、要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。的轴对称图形。回顾：回顾：如图如图,分别作出点分别作出点P,M,N关于直线关于直线x=1的对称点的对称点, 你能发现它们坐标之间分别你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗有什么关系吗?31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1x=1P(-2,3)M(-1,1)N(5,-2)N(-3,-2)M(3,1)P(4,3)点（x，y）关于直线xm对称的点的坐标是（2mx，y）横坐标1的2倍减去2同理，点
21、（x，y)关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny)复习四复习四 1 1 等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）相等（等边对等角） 2 2 等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相线，底边上的中线和底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）互重合（等腰三角形三线合一）填空题：填空题：1. 在在 ABC中，已知中，已知AB=AC，且，且B=80 ，则，则C= 度，度，A= 度度.2.在在ABC中，已知中，已知AB=AC，且，且 A=50 ，则，则B= 度，度，C= 度度.C=80A=20B=65C=6555 55 和 55 55 或7070和 40
22、40. .3.在在.等腰等腰 ABC中，如果中，如果AB=AC，且一个角等于，且一个角等于70 ，求另两个角的度数为，求另两个角的度数为 4.在在ABC中，中，AB=5cm,BC=12cm ,DE是是AC的垂直的垂直平分线，交平分线，交BC于点于点E,ABE的面积为的面积为 ；17cm17cmBECDA等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简写成：等角对等边练习练习2CBAD12已知：如图，已知：如图， A= DBC =360， C=720。计算计算1和和2，并说明，并说明图中有哪些等腰三角形？图中有哪些等腰三角形？ 解：解： 1=720 2=360等腰
23、三角形有：等腰三角形有：ABC 、ABD 和和 BCD趣味数学趣味数学如图：点如图：点B、C、D、E、F在在MAN的边上，的边上， A=15，AB=BC=CDDE=EF，求，求 MEF的度数。的度数。ABCDEFMN答：答： MEF的度数的度数=75 11.等边三角形的性质：等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于并且每一个内角都等于60 等边三角形的定义：三条边都相等等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。的三角形叫做等边三角形。ABC等边三角形的判定等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形
24、。等边三角形。判定判定2 2： 有一个角是有一个角是 6060的等腰三角形是的等腰三角形是等边三角形。等边三角形。判定判定1 1：1、等腰三角形的判定方法有下列几、等腰三角形的判定方法有下列几种：种： 。2、等边三角形的判定方法有以下几、等边三角形的判定方法有以下几种：种： 。3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是是 。4、运用等腰三角形的判定定理时，应注、运用等腰三角形的判定定理时，应注意意 。1 1定义定义 2 2判定定理判定定理 条件和结论刚好相反条件和结论刚好相反在同一个三角形中在同一个三角形中1 1定义定义 2 2判定判定1 1 3 3判定判
25、定2 2用法归纳用法归纳 直角三角形定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：在已知：在ABC中，中，ABAC2a，ABCACB15，CD是腰是腰AB上的高求：上的高求：CD的长的长 计算：计算： 等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15，腰长为，腰长为2a，求腰上，求腰上的高的高ABCD解：ABCACB15， DACABCACB 1515= 30 CD2121AC2aa(在直角三角形中，如果一个在直角三角形中，如果一个锐角等于锐角等于30，那么它所对的直角边，那么它所对的直角边等于斜边的一半等于斜边的一半) BDC=90ABCDABCDE 在 ABC中A
26、=60 AB=AC，点，点D是是AC的中点的中点CE=CD求证：求证：（1）BD=DE.（2）若）若DF BC于点于点F，则，则BF与与EF有何关系？有何关系？F证明：证明：（1 1） AB=AC A=60 AB=AC A=60 ABC ABC是等边三角形是等边三角形. . ABC= 2 AB=BC ABC= 2 AB=BC123BF=EFBF=EF BD=DE DF BD=DE DF BCBC 2 2 =3+E =3+E CE=CDCE=CD 3= E 3= E BD=DE. BD=DE.E= E= 2 2 21E=E= 1 1 （2 2） BF=EFBF=EFDD是是ACAC的中点的中点 1= ABC1= ABC21作业：ACBEFMN 如图：点如图：点C C是线段上一点，分别以为边是线段上一点，分别以为边作等边和，连接，与交于作等边和，连接，与交于 点。你能得到点。你能得到那些结论？并选择一个加以证明。那些结论？并选择一个加以证明。
