1、1 1.信号分解信号分解 2.周期信号的傅立叶级数展开周期信号的傅立叶级数展开2信号分解信号分解信号直流分量+交流分量偶分量+奇分量实部分量+虚部分量脉冲分量正交分量分解结果是唯一的3 信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。 4连续信号分解为冲激函数的线性组合连续信号分解为冲激函数的线性组合连续信号表示为冲激信号的迭加f (t)t0)( kf2 ) 1(kk5 从上图可见，将任意信号f(t)分解成
2、许多小矩形，间隔为，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即6( )(0)( ( )()()()(2)()( ()()( ( )()()(2)(0)()( ()()()( ()kf tfu tu tfu tu tf ku tku tku tu tu tu tffu tku tkf ku tf k )()ku tk (7 上式只是近似表示信号f(t),且越小，其误差越小。当0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当0时，k，d，且00( ()()()(
3、 ()()( )lim()lim()()( )()kku tku tktu tku tkf tf kf ktkf ttd 故式在故式在00时，有时，有dtf)()(8dtftf)()()(物理意义：物理意义：不同的信号都可以分解为冲激序列，信号不同只是它们的系数不同。实际应用：实际应用：当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解求解冲激信号通过该系统产生的响应冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用利用线性时不变线性时不变系统的特性特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。信号分解信号分解(t)为物理意义与实际应用为物理意义与实际应用9(1)(1) 周期信号的频域分析周期信号的频域分析(
4、2)(2) 非周期信号的频谱非周期信号的频谱(3)(3) 常见信号的频谱常见信号的频谱(4)(4) FourierFourier变换的性质变换的性质信号正交分量分解信号正交分量分解10周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析-傅立叶级数傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数展开周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱周期信号的功率谱11 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 (1) 从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 (2) 从系统分析角度从系
5、统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。一、周期信号的傅立叶级数分析一、周期信号的傅立叶级数分析意义：12 三角函数集三角函数集 三角函数集是最重要的基本正交函数集，1, Sin n 1t,Cos n 1t , n=1,2,+，它具有以下优点：（1）三角函数是基本函数；（2）用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；（3）基频三角函数是简谐信号，它容易产生、传输、处理；（4）三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。13三角形
6、式傅立叶级数三角形式傅立叶级数)sincos()(1110nnntnbtnaatf 若f(t) = f(t+nT)，则f(t)为周期信号，T为最小正周期，f1=1/T是信号的基波频率。若f(t) 满足Dirichlet条件，则f(t)可以展开为三角形式的傅立叶级数基波角频率11122Tf14三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数( (续续) )根据三角函数集的正交性，可确定a0 、an、bn220)(1TTdttfTa其中：221)1,2=( cos)(2TTnntdtntfTa221)1,2=( sin)(2TTnntdtntfTb15纯余弦形式傅立叶级数纯余弦形式傅立叶级数110cosnnn
7、tnCc）（22nnnbaC nnnabarctgdttnbtnaatfnnn)sincos()(11101122122220sincosnnnnnnnnntnbabtnbaabaac0称为信号的直流分量称为信号的n次谐波分量）（nntnC1cosC0=a0其中其中同频率合并同频率合并16 根据这些计算公式可知，系数根据这些计算公式可知，系数an、bn、cn及相位及相位 n与与n 1是是对应的。对应的。 从图中我们可以清楚地看出各频率分量的相对大小，这种图从图中我们可以清楚地看出各频率分量的相对大小，这种图称为信号的称为信号的幅度频谱幅度频谱，简称幅度谱。图中每条线表示某一频，简称幅度谱。图中
8、每条线表示某一频率分量的幅度称为谱线。率分量的幅度称为谱线。 画出各分量的相位与画出各分量的相位与n 1的关系，这种图称为的关系，这种图称为相位频谱相位频谱，简，简称相位谱。称相位谱。17 以上分析说明，任何满足Dirichlet条件的周期信号，都可以分解为直流及许多余弦分量之和，这些分量的频率是 1=2/T 基波频率的整数倍，2 1为二次谐波频率， 3 1为三次谐波频率, ,n 1为n次谐波频率； 相应地，C0为直流分量的幅度，C1为基波振幅，C2为二次谐波振幅， C3为三次谐波振幅, ,Cn为n次谐波振幅。 1为基波初相位，2为二次谐波相位，3为三次谐波相位, , n为n次谐波相位。周期信
9、号分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量。各频率分量的振幅大小、相位的变化取决于信号的波形。182 2 复指数形式傅立叶级数复指数形式傅立叶级数推导过程推导过程：利用欧拉公式：利用欧拉公式将三角形式的Fourier级数，表示为复指数形式的Fourier级数。tjntjntjntjneejtneetn111121sin,21cos11)sincos()(1110nnntnbtnaatf10111122ntjntjnntjntjnneejbeeaa101122ntjnnntjnnnejbaejbaa复指数形式的复指数形式的Fourier级数级数:tjnnTnjneFeFtf2)(19复指数形式傅
10、立叶级数（续）复指数形式傅立叶级数（续）2j:nnnbaF令由于220)(1TTdttfTa221)1,2=( cos)(2TTnntdtntfTa221)1,2=( sin)(2TTnntdtntfTbnnnnbbaa,:所以有00,2j2j:aFbabaFnnnnn则有20复指数形式傅立叶级数（续）复指数形式傅立叶级数（续）ntjnnnntjnntjnnnntjnntjnnntjnntjnneFeFeFFeFeFFeFeFF111111111011010101122)(ntjnnntjnnnejbaejbaatf21指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数( (续续) )tjnenFtf1=n
11、1 )()(,.)2, 1, 0()(1sin)cos(1sin)(2cos)(2212212212212211ndtetfTdttnjtntfTdttntfTjdttntfTTTtjnTTTTTT),(,11nFFnFnn又写作所以的复函数是由于2)(1nnnjbaFnF物理含义物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。 Home22 周期信号周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和可以分解为不同频率虚指数信号之和 Fn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数频谱函数,也称也称FS频谱频谱。tjnnTeFtf0=n )( 不同
12、的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数Fn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。频谱的概念频谱的概念23频谱的表示频谱的表示 直接画出信号各次谐波对应的频谱Fn、Fn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。njnneFF幅频特性相频特性nFn简称简称FS的的幅度谱幅度谱简称简称FS的的相位谱相位谱24两项的基波频率为两项的基波频率为 1 1，两项合起来称为，两项合起来称为信号的信号的基波分量基波分量的基波频率为的基波频率为2 2 1 1，两项合起来称为，两项合起来称为信号的信号的2 2次次谐波分谐波分量量的基波频率为的基波频率为N N 1 1，两项合起来称为，两项合起来
13、称为信号的信号的N N次次谐波分量谐波分量 三角形式三角形式的的傅立叶级数中傅立叶级数中C Cn n是第是第n n次谐波分量的振幅，但在次谐波分量的振幅，但在指指数式数式傅立叶级数中，傅立叶级数中，F Fn n要与自相对应的要与自相对应的F F-n-n合并，构成第合并，构成第n n次谐波分次谐波分量的振幅和相位。量的振幅和相位。1n2nNn 另外要注意的是，在另外要注意的是，在指数式傅立叶级数中引入了负频率指数式傅立叶级数中引入了负频率。实际负频率是不存在的。这只不过是将第。实际负频率是不存在的。这只不过是将第n n次谐波分量的三角次谐波分量的三角形式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。形
14、式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。25例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式，并画出频谱图。解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。At)(tfT-T0)2(nSaTA2/)2/sin()(1)(12/2/2222nTnAejnTAdtAeTdtetfTFtttjntjnTTtjnn26t=)2( jnnenSaTAtnnTATAtfncos)2/(Sa)/2()/()(1因为信号显然是实偶函数，因此其三角形式的FS展开将只有直流分量和余弦分量。即展开形式为因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为tjnneFtf0=n )(可
15、得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为27)2(2nSaTAaCnnTA228例1周期矩形脉冲信号的频谱图)2(nSaTAFnnFnTA /T/22229频谱的特性频谱的特性(1)离散频谱特性周期信号的频谱是由周期信号的频谱是由 间隔为间隔为的的离散谱离散谱线组成线组成 信号周期信号周期T越大，越大，就越小，则谱线越密。就越小，则谱线越密。反之，反之，T越小，越小，越大，谱线则越疏。越大，谱线则越疏。(2)幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱当周期信号的幅度频谱 随着谐波随着谐波nn增大增大 时，时，幅度频谱幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。不断衰减，并最终趋于零。30信号的有效带宽信
16、号的有效带宽 02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的号的有效频带宽度有效频带宽度,即即 2B 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即 越大，其B越小；反之， 越小，其B越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。 说明：说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。 Home31周期信号的功率谱2222)(1nnTTFdttfTP 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱： |Fn|2 随n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱功率谱。帕
17、什瓦尔帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理功率守恒定理32例题4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。22TAtT)(tfT33解 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为)2(0nSaTAFn将A=1，T=1/4，=1/20，0=2/T=8 代入上式)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnFn包含在有效带宽(02/)内的各谐波平均功率为41=n2244=n21 |2)0( |nnFFFP1806. 0%90200. 01806. 01PP信号的总平均功率为2 . 0)(12/2/2TTdttfTP342nF0n84040251周期信号的功率谱 Home35周期信号的频域分析小结 分析问题使用的数学工具为分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：最重要概念：频谱函数 要点1. 频谱的定义、物理意义频谱的定义、物理意义2. 频谱的特点频谱的特点3. 有效带宽的概念及在工程中的应用有效带宽的概念及在工程中的应用36精品课件精品课件！37精品课件精品课件！38ntjnneFtf0)(dtetfTFtjnn220)(1傅立叶级数的系数T信号的周期脉宽基波频率0傅立叶级数小结傅立叶级数小结T20
