1、1 例如：例如：“甲是乙甲是乙”与与“甲不是乙甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但这两个命题中总有一个是错的；但“本本句话是七个字句话是七个字”与与“本句话不是七个字本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。又均是对的，这就是悖论。2 再如：再如：“万物皆数万物皆数”学说认为学说认为“任任何数都可表为整数的比何数都可表为整数的比”；但以；但以1为边为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的正方形的对角线之长却不能表为整数之比，这也是悖论。之比，这也是悖论。3 二、芝诺悖论二、芝诺悖论 芝诺（前芝诺（前490？前前430？）是（南意大？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。利的）爱
2、利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：他企图证明该学派的学说：“多多”和和“变变”是虚幻的，不可分的是虚幻的，不可分的“一一”及及“静止的存在静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称计了四个例证，人称“芝诺悖论芝诺悖论”。这些悖。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。其中的一个悖论。 4 1. 四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。上乌龟。 2. 症结：无限段长度的和可能是有限症结：无限段长度的和可能是有限的；无限段时间的和
3、也可能是有限的。的；无限段时间的和也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）最早的）最早的“反证法反证法”及及“无限无限”的的思想思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾）尖锐地提出离散与连续的矛盾 空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？5 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间空间和时间是连续的是连续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和空间和时间是离散的时间是离散的”。在芝诺看来，两种理论都。在芝诺看来，两种理论都有毛病；所以，运动只是假象，不动不变才有毛病；所以，
4、运动只是假象，不动不变才是真实。是真实。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。不说是巨大的贡献。6 三、三、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1. 客满后又来客满后又来1位客人位客人 1234kk 2 3 4 5 k+1 k+1 空出空出1号房间号房间 7 2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人中有无穷个客人 1234kk 2 4 6 8 2k
5、k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 8 3. 客满后又来了一万个旅游团，每个客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人团中都有无穷个客人 1 2 3 4 k k 10001 20002 30003 40004 10001k k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 9 4. 思思 客满后又来了无穷个旅游团，客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？每个团中都有无穷个客人，还能否安排？10 四、无限与有限的区别和联系四、无限与有限的区别和联系 1. 区别区别 1） 在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全部分可以等于全体体”（这是无限的本质），
6、而在有限的情（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。况下，部分总是小于全体。11 当初的伽利略悖论，就是没有看到当初的伽利略悖论，就是没有看到“无无限限”的这一特点而形成的。的这一特点而形成的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 两集合：有一一对应，元素个数相两集合：有一一对应，元素个数相等；部分小于全体，元素个数不相等。形等；部分小于全体，元素个数不相等。形成悖论。成悖论。12 2.） 在无限集中，在无限集中，“有限有限”时成立的时成立的许许多命题不再成立多命题不再成立 （1）实数加法的结
7、合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律成的情况下，加法结合律成立立: (a+b)+c=a+(b+c) 13 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再再成立。如成立。如1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)01 ( 1)1( 1)11 14 有限半群若满足消去律则一定是群。有限半群若满足消去律则一定是群。 无限半群若满足消去律则一定是群。无限半群若满足消去律则一定是群。 15 （2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。 是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。 则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。
8、称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。1niia1( 1)ii16 2. 联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的间建立联系的手手段，往往很重要段，往往很重要. 1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。明了命题对无限个自然数均成立。 2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限通过有限的方法，描写无限的过程。的过程。 如：如： ； 自然数自然数N，都，都 ，使，使 时，时， 。 limnna knknaN17 3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如无限次运算的结
9、果，如 4）递推公式）递推公式 , 5）因子链条件）因子链条件（抽象代数中的术语）抽象代数中的术语）1112ii1nnaad*d 18 3. 数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1）大烟囱是圆的：每一块砖是直的）大烟囱是圆的：每一块砖是直的（整体看又是圆的）（整体看又是圆的） 2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下下去是直的（许多刀合在一起的效果是光滑去是直的（许多刀合在一起的效果是光滑的）的）19 3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则的面积三角形的面积，多边
10、形的面积，圆面积。规则图形的面积图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？ 法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准得面积越准 20 法法.首先转化成求曲边梯形的面积，首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形（不规则图形若干个曲边梯形），再设法求若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和 曲边曲边梯形面积；梯形面积； 越小，就越精确；越小，就越精确； ，再取，再取极限极限 ，就是曲边梯形的面积。，就是曲边梯形的面积。( )iiifx021 五、五、 潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限
11、与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实中，只是说话的一种方式，不是一个实体。体。22 从古希腊到康托以前的大多数哲学家和从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的正整数集是无限的”来自我们不能穷举所来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从在一张张小纸条上，从1，2，3，写起，写起，每
12、写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。只能存在于人们的思维里。23 但康托不同意这一观点，他很愿意把这但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗生了巨大的影响，但当
13、时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。当时的处境和待遇都不太好。 24 2无限集合也有无限集合也有“大小大小”从从“一一一一对应对应”说起说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的合，也可能有不同的“大小大小”。正整数集合是。正整数集合是最最“小小”的无限集合。实数集合比正整数集的无限集合。实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。不存在最更大。不存在最“大大”的无限集合（即无限集的无限集
14、合（即无限集合，都能找到更合，都能找到更“大大”的无限集合）。的无限集合）。25 这需要这需要“一一对应一一对应”的观点。的观点。 1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+满射）满射） 2）集合的势）集合的势|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3）|N| =可数无穷势可数无穷势a ， |Q|=a 4）|R| =不可数无穷（称连续统势不可数无穷（称连续统势c）, ；无理数比有理数多得多。；无理数比有理数多得多。ca26 5）无穷集合可能有不同的势，其中）无穷集合可能有不同的势，其中最小的是最小的是a ；不存在最大的势。；不存在最大的势。 6）“连续统假设连续统假设”长期未彻底解决长期未
15、彻底解决“连续统假设连续统假设”：可数无穷是无限集中最：可数无穷是无限集中最小小的势，连续统势是（否？）次小的势。的势，连续统势是（否？）次小的势。 acadc27 康托康托1882年曾认为他证明了这一假年曾认为他证明了这一假设，后来发现有错。直到现在，这一问题设，后来发现有错。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。仍吸引着一些数学家的兴趣。28 六哲学中的无限六哲学中的无限 1哲学对哲学对“无限无限”的兴趣的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提哲学是研究整个世界的科学。自从提出出“无限无限”的概念，就引起了哲学家广泛的概念，就引起了哲学家广泛的的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边关
16、注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：一些命题： 29 物质是无限的；时间与空间是无限物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。的；物质的运动形式是无限的。 一个人的生命是有限的；一个人对客一个人的生命是有限的；一个人对客观世界的认识是有限的。观世界的认识是有限的。30 2数学对数学对“无限无限”的兴趣的兴趣 数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的
17、智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。充满乐趣。31 思思 客满后又来了无穷个旅游团，客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？每个团中都有无穷个
18、客人，还能否安排？32 答答 ：能。：能。 法法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入表，按箭头进入1，2，3，4，5，各号房间各号房间顺序入住，则所有人都有房间住。顺序入住，则所有人都有房间住。 一团：一团：1.11.2 1.3 1.4 二团：二团：2.1 2.2 2.3 2.4 三团：三团：3.1 3.2 3.3 3.4 33 法法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因唯一析因”， 知，能安排住下，且还有空房，知，能安排住下，且还有空房， 一
19、团一团 二团二团 三团三团 附：证明附：证明“素数有无穷多个素数有无穷多个”（反证法）（反证法）11p11spp 21p31p41p12p22p32p42p13p23p33p43p34 思思 构造一个无穷多个运动员百构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进求接近实际：不能跑进9秒）秒）35运动员运动员1 2 3 4 5 6 百米成绩百米成绩 10秒 9.9秒 9.89秒 9.889秒 9.8889秒 另另 解解 191秒192秒193秒194秒195秒196秒36 思思：构造一个：构造一个“部分到整体的一一部分到整体的一一对应对应”：从：从0，1）00，+）。37精品课件精品课件！38精品课件精品课件！39 答答 即即 :0,1)0,f1( )11f xx111xx
