1、2.1 正态分布正态分布 偶然误差偶然误差表现：表现：o 在相同的观测条件下进行一系列观测，在相同的观测条件下进行一系列观测，o 单个误差单个误差在大小和符号上都没有任何规在大小和符号上都没有任何规律，表现出律，表现出随机性随机性，每个误差对总体的影响，每个误差对总体的影响很小，没有哪个误差在整个误差中占优势，很小，没有哪个误差在整个误差中占优势，o 但大量误差的但大量误差的总体总体却呈现出一定的却呈现出一定的统计统计规律规律。2.1 正态分布正态分布 o（1）相互独立的随机变量相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么：无论这些随机变量原来服从什么分布，也无论他们是同分布或不同分布，只
2、要它们具有有限分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是均匀地小，那么，其均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随总和将是服从或近似服从正态分布的随机变量机变量。o（2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。 正态分布是一种常见的概率分布，是处理观测数据的基础。正态分布是一种常见的概率分布，是处理观测数据的基础。o 偶然误差是服从正态分布的随机变量偶然误差是服从正态分布的随机变量 1X2.1 正态分布正态分布 o 服从正态分布
3、的一维随机变量的概率密度函数是：服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是： o一维正态随机变量的数学期望和方差是一维正态随机变量的数学期望和方差是: 222)(exp21)(xxfxxdxxfxE)()(222)()()()(dxxExxfxExExD2.1 正态分布正态分布 o服从服从N维正态分布的随机向量维正态分布的随机向量X的概率密度函数是：的概率密度函数是： oN维正态随机变量的数学期望和方差是维正态随机变量的数学期望和方差是:XXXTXnXXXDXDXf122121exp21)(XXdXXfXE)()(XXDdXXEXXfXEXEXD22)()()()(TXXXEXXEXED)()
4、(2.1 正态分布正态分布 o正态分布曲线的性质:o 1、曲线关于 x=u 对称；o 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 成反比；o 3、当X离 u越远，f(x)的值越小；o 4、曲线x=u 处有拐点；o 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭2.2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性o 实验表明实验表明：o （1 1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说超出一定界限的闭合差出现的概率为零；超出一定界限的闭合差出现的概率为零；o （2 2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现的概率要大；的概率要大
5、；o （3 3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。 2.2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性1 1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值（界限性的限值（界限性 ）；）；2 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（聚中性现的概率大（聚中性 ）；）；3 3、绝对值相等的正负误差出现的概率相同、绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性（对称性 ）；）；4 4、偶然误差的数学期望为零、偶然误差的数学期望为零2.2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性
6、偶然误差偶然误差 ，服从正态分布，服从正态分布 )(f0图2.2.1), 0(2N不同，曲线的位置不变，不同，曲线的位置不变，形状却变化形状却变化: :愈小，曲线顶愈小，曲线顶点愈高，形状愈陡峭，误差点愈高，形状愈陡峭，误差分布密集于随机变量的数学分布密集于随机变量的数学期望附近。期望附近。偶然误差的概率密度函数是： 22222exp212)(exp21)(Ef2.3 精度精度一、精度的概念：一、精度的概念：精度：误差分布的密集或离散精度：误差分布的密集或离散程度。程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不
7、同，精度也就不同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。精度不代表个别误差的大小不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组反映的是一组观测值的观测质量观测值的观测质量 的好坏的好坏.二、精度指标：二、精度指标：1、平均误差、平均误差 ndfEnlim)()(在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学期望。期望。与中误差的关系：与中误差的关系：54n2 2、方差、方差/ /中误差中误差 f()0 0.4 0.60.8-0.8 -0.6 -0.4
8、闭合差 1122面积为122221)(efdfEDnn)()()(lim222方差：方差：中误差：中误差：nnlim2提示：提示： 越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。反，精度越低。n2方差的估值：当观测值n有限时,n3、或然误差、或然误差 f()0闭合差1150%50)(p324、极限误差、极限误差正态随机变量出现在给定区间 内的概率是：由概率论知道:),(kkdxxExdxxfkxkPkkkk222)(exp21)()(683. 0)(xp955. 0)22(xp997. 0)33(xp5、相对误差、相对误差中误
9、差与观测值之比，用中误差与观测值之比，用1/N表示。表示。国际上选用国际上选用中误差中误差作为精度评定指标作为精度评定指标%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(ppp32 或限矩阵知识矩阵知识（1 1）由）由nm个数有序地排列成个数有序地排列成m m行行n n列的数表叫列的数表叫矩阵矩阵通常用一个大写字母表示，如：通常用一个大写字母表示，如：mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211(2)(2)若若m=nm=n，即行数与列数相同，称，即行数与列数相同，称A A为为方阵方阵。元素。元素a a1111、a a2222a ann nn 称为对角元素。称为对角元素。
10、(3)(3)若一个矩阵的元素全为若一个矩阵的元素全为0 0，称，称零矩阵零矩阵，一般用，一般用O O表示。表示。(4)(4)对于对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对对角矩阵角矩阵。如：。如：nn)(00000022112211nnmnnmaaadiagaaaA(5)(5)对于对于 对角阵，若对角阵，若a a1111=a=a2222= =a=ann nn =1=1，称为，称为单位阵单位阵，一般用一般用E E、I I表示。表示。 (6) (6)若若a aijij=a=ajiji，则称，则称A A为为对称矩阵对称矩阵。(7)(7)转置矩阵转置矩
11、阵对于任意矩阵对于任意矩阵C Cmnmn: :mnmmnnnmcccccccccC212222111211 将其行列互换，得到一个将其行列互换，得到一个n nm m阶矩阵，称为阶矩阵，称为C C的转置矩阵的转置矩阵, ,记为记为C CT TnmnnnnmnTcccccccccC212221212111矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：TTCDDC则：,) 1 (AATT)(2(TTTBABA)(3(TTkAkA)(4(TTTABAB)(5(（6）若AAT,则A为对称矩阵。(8)(8)逆矩阵逆矩阵 给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：1 AB
12、lA矩阵存在逆矩阵的充分必要条件:A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵逆矩阵的性质:111)(1 (ABABAA11)(2(II1)(3(TTAA)()(4(11矩阵。对称矩阵的逆仍为对称)5()11,1(),()6(2211122111nnnnaaadiagaaadiagA矩阵且：对角矩阵的逆仍为对角矩阵的基本运算：BA （1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）A为ms的矩阵，B为sn的矩阵, C=AB，C的阶数为mn。OA=AO=O，I
13、A=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）(4)矩阵的微分：dXdYTZdXdZTYdxdGnYTnZnZTnYGXZY则：，的函数，若是111111,2.42.4 方差协方差阵一、单个观测值的方差、协方差：一、单个观测值的方差、协方差： 方差方差反映了反映了X的误差分布的离散程度的误差分布的离散程度; 协方差协方差反映了反映了X和和Y之间的相关关系之间的相关关系. 当两个随机变量当两个随机变量X和和Y随机独立，或者说两个（两组）随机独立，或者说两个（两组）观测值观测值X和和Y的真误差之间互不影响，则称为这些观测的真误差之间互不影响，则称为这些观测值是不相关的观测值，也称值是不
14、相关的观测值，也称独立观测值独立观测值。 2.42.4 方差协方差阵二、观测值向量的方差二、观测值向量的方差-协方差阵：协方差阵：观测值向量观测值向量 : :观测值向量观测值向量 的的自协方差阵自协方差阵：1nXTXXETXEXXEXEnnXXD)()(nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxEE21222121211121211nX2.42.4 方差协方差阵观测值向量观测值向量 的自协方差阵的自协方差阵D DXXXX：)()()()()()()()()(2222122121211nnnnnxxxxxxxxxxxxxxxEEEEEEEEE2222122121211nnn
15、nnxxxxxxxxxxxxxxx1nXDXX特点特点： 对称可逆方阵对称可逆方阵主对角线上元素主对角线上元素为为对应观测值的方差对应观测值的方差;非主对角线上元素非主对角线上元素为对应两个观测值为对应两个观测值的协方差的协方差 2.42.4 方差协方差阵三、互协方差阵：三、互协方差阵：观测值向量观测值向量 关于关于 的互协方差阵的互协方差阵：1nXTYXTmnXYEYEYXEXED)()(mnnnmmmnyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxxEE21222121211121211nY2.42.4 方差协方差阵)()()()()()()()()(212221212111mnnnmmy
16、xEyxEyxEyxEyxEyxEyxEyxEyxEmnnnmmyxyxyxyxyxyxyxyxyx212221212111TnmYXDmnXYD2.42.4 方差协方差阵若有随机向量若有随机向量 和和 ，组成新的随机向量，组成新的随机向量 ，即即 ，则，则 的自协方差阵的自协方差阵: : YYDYXDXYDXXDTYYTXYTYXTXXETZZEmnmnZZD)()()()()()()(1nX1mY1)(mnZ1)(mnZYXZ精品课件精品课件！精品课件精品课件！作业：作业：1.1. 测量平差的任务是什么？测量平差的任务是什么？2.2. 试述观测误差的分类。试述观测误差的分类。3.3. 试述偶然误差的统计规律性。试述偶然误差的统计规律性。4.4. 什么是精度？精度的数字指标有哪些？什么是精度？精度的数字指标有哪些？5.5. 什么是方差？方差的估值公式是什么？什么是方差？方差的估值公式是什么？6.6. 已知观测值已知观测值X X服从参数为服从参数为u u和和2 2正态分布，推导正态分布，推导: : E(X) = u, D(X) = E(X) = u, D(X) = 2 2. .
