1、取一直角坐标系，原点在地球重心，取一直角坐标系，原点在地球重心，z 轴和地球的平自转轴重合轴和地球的平自转轴重合x 和和y 轴按右手坐标系规定，或任意选定。轴按右手坐标系规定，或任意选定。为了方便，假设为了方便，假设x 轴平行于格林尼轴平行于格林尼治子午面治子午面( (参阅参阅2-42-4节）。若单位质节）。若单位质量所受的离心力为量所受的离心力为地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自转离心力的合力。地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自转离心力的合力。 地球自转角速度地球自转角速度 f 矢量的方向与矢量的方向与 P=(P=(2x, 2y, 0 ) )的方向相同，则有的方向相同，则有
2、f = = 2P( (2x, 2y,0 ) ) (2-2) (2-2)(2-4)为离心力位为离心力位图图 2-1 2-1 离心力离心力总的力，即引力和离心力的合力称为重力。引力位总的力，即引力和离心力的合力称为重力。引力位 V 和离心力位和离心力位 两者之和称为重力位两者之和称为重力位 W：（2-5）式中是对整个地球的积分。式中是对整个地球的积分。对离心力位微分，得对离心力位微分，得与布阿桑方程式与布阿桑方程式(113)的的V合合并，则得出广义的布阿桑重力并，则得出广义的布阿桑重力（2-6）位方程式：位方程式：重力位重力位 W的矢量梯度的矢量梯度其分量为：其分量为：（2-8）g 即为重力矢量，
3、它是作用于单位质量上的全部力即为重力矢量，它是作用于单位质量上的全部力(引力和引力和离心力之和离心力之和)，方向为铅垂线方向，铅垂线又简称垂线，方向为铅垂线方向，铅垂线又简称垂线1伽伽 = 1cm/s2 = 1 10-2m /s2常用的单位为毫伽常用的单位为毫伽(mgal), 1 mgal= 10-3gal=1 10-5m /s22-2-1 水准面的定义及性质水准面的定义及性质重力位为常数的曲面称为重力等位面或水准面。即重力位为常数的曲面称为重力等位面或水准面。即（2-9）对上式微分对上式微分= grad WdX = g dX (2-10)dX = (dx, dy, dz) (2-11)如果矢
4、量如果矢量dX沿等位面沿等位面W=W0，则，则dW=0，(2-10)式变为式变为g dX=0两个矢量的纯量积如果为零，这两个矢量一定互相正交，所两个矢量的纯量积如果为零，这两个矢量一定互相正交，所以此方程式以此方程式说明重力矢量与通过同一点的等位面正交说明重力矢量与通过同一点的等位面正交。2-2 2-2 水准面和铅垂线水准面和铅垂线但和等位面正交的线并不是直线而稍有弯曲但和等位面正交的线并不是直线而稍有弯曲( (图图2 22)2)，这，这些线称为力线或铅垂线，任何一点的重力矢量，均与该点些线称为力线或铅垂线，任何一点的重力矢量，均与该点的垂线相切，因此的垂线相切，因此“重力矢量的方向重力矢量的
5、方向”和和“垂线垂线”、“铅铅垂线的方向垂线的方向”是同义语，有时，这些方向简单地表示为铅是同义语，有时，这些方向简单地表示为铅垂线。垂线。 一个点离海水面的高，是一个点离海水面的高，是从大地水准面起沿铅垂线量从大地水准面起沿铅垂线量取的，称为正高取的，称为正高( (图图2-2)2-2)。沿铅垂线增高的方向取矢量沿铅垂线增高的方向取矢量 dX，它的长度为，它的长度为 |dX|=dH它的方向与重力矢量相反，它的方向与重力矢量相反，与等位面的外法线方向重合与等位面的外法线方向重合这说明重力是位这说明重力是位 W 的负垂直梯度，或者是的负垂直梯度，或者是grad W的垂直分量。的垂直分量。上述公式确
6、定了相邻水准面的位差（物理量）与高差（几何量）上述公式确定了相邻水准面的位差（物理量）与高差（几何量）之间的关系。由于两个水准面的位差不会等于零，因此，高差之间的关系。由于两个水准面的位差不会等于零，因此，高差dh也不会等于零。这说明两个水准面也不会等于零。这说明两个水准面既不相交，也不相切既不相交，也不相切。而。而且也且也不平行不平行，在一般情况下，同一水准面上各处的重力是不等，在一般情况下，同一水准面上各处的重力是不等的，因此两个水准面之间的距离就不是常数。的，因此两个水准面之间的距离就不是常数。就地球来说，由于从赤道到两极重力增加约就地球来说，由于从赤道到两极重力增加约5 5伽，因而水准
7、面是伽，因而水准面是在两极收敛的。两个贴近地面的水准面之间的距离，由赤道向在两极收敛的。两个贴近地面的水准面之间的距离，由赤道向两极相对减少约两极相对减少约5，即在赤道上彼此相距为，即在赤道上彼此相距为100100米的两个水准米的两个水准面，到两极只有面，到两极只有99.599.5米。米。dX 与与 g 的方向间的夹角为的方向间的夹角为180180，于是，于是，dW = - - gdH (2-13) 或或 (2-14)一般地曲线一般地曲线 y=f(x) 的曲率公式为：的曲率公式为： 为曲率，为曲率， 为曲率半径为曲率半径当当P点的切线平行于点的切线平行于x 轴时，轴时，y=0，则有简化式，则有
8、简化式(2-15)(2-15)( (图图2-4)2-4)局部坐标系局部坐标系 x, y, z, 原原点在点在 P P 点，点，z 轴为垂线，它和轴为垂线，它和 S S面垂直面垂直( (左手系）左手系）设想设想 xz 平面与水准面相交，并且平面与水准面相交，并且y = 0现在是以现在是以 z 当做当做 y，因此，水准面和，因此，水准面和 xz面的交线的曲率，不是面的交线的曲率，不是(2-15)(2-15)式，而式，而是是(2-16)(2-16)2-3 2-3 水准面弯曲、重力梯度水准面弯曲、重力梯度将将W(x,y,z)=W0 对对 x 微分微分，考虑到考虑到 y=0，z 为为x 的函数的函数，则
9、有则有因为因为 x 轴在轴在 P 点切于水准面，故有点切于水准面，故有 ，因而，因而因为因为 z 轴为垂线，从（轴为垂线，从（2-142-14）式有）式有得水准面与得水准面与 xz 平面的交线的曲率为平面的交线的曲率为水准面与水准面与 yz 平面的交线的曲率为平面的交线的曲率为(2-17)(2-18)在曲面上在曲面上P点的平均曲率点的平均曲率J，为过该点垂线的两个互相正交的面，为过该点垂线的两个互相正交的面，与曲面相交的曲线的曲率的算术中数。故水准面平均曲率为与曲面相交的曲线的曲率的算术中数。故水准面平均曲率为这个公式将垂直重力梯度（物理量）和水准面的平均曲率这个公式将垂直重力梯度（物理量）和
10、水准面的平均曲率（几何量）联系起来了。（几何量）联系起来了。(g/ x) 和( g/y)称为重力的水平梯度，可以确定垂线的曲率。 zzWhgzg 描述了重力随高程的变化，描述了重力随高程的变化，称为称为垂直重力梯度垂直重力梯度，与水，与水准面曲率有关。准面曲率有关。重力梯度张量重力梯度张量 zzzyzxyzyyyxxzxyxxWWWWWWWWW)Wgrad(gradggrad重力梯度重力梯度)zg,yg,xg()W,W,W(ggradTzzzyzx 2-5 2-5 地球引力位的球谐函数展开地球引力位的球谐函数展开从重力位从重力位W W的的(2-5)(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位
11、是式可以看出，在地球重力位中，离心力位是简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能直接计算。对于地球外部空间，可用直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。球谐函数展开式近似表示。引力位可用基本公式引力位可用基本公式(1-11)(1-11)表示表示式中，质量元素以式中，质量元素以 dM 表示，对表示，对整个地球进行积分，在积分中引整个地球进行积分，在积分中引入入(1-81)(1-81)式：式：r为定点为定点P P的矢径，的矢径，r为质量元素为质量元素dM的矢径，的矢径，为为r与与r之间的夹角之间的夹角根据公式根据公
12、式(1(183)83)，将其代入（，将其代入（2-302-30）式）式写成体球谐函数的级数写成体球谐函数的级数于是有于是有(2-34)(2-34)普通谐函数形式：普通谐函数形式：地球重力位球谐函数展开式的收敛性：地球重力位球谐函数展开式的收敛性：展开式是展开式是 1/r 的幂级数，因此，的幂级数，因此， r 值愈大收敛愈快；当值愈大收敛愈快；当 r 较小较小时就不会收敛。对任意一物体，可以证明以球谐函数展开的时就不会收敛。对任意一物体，可以证明以球谐函数展开的V，在一个包含该物体的最小球在一个包含该物体的最小球 (r=r0) 外是收敛的。球内一般是发外是收敛的。球内一般是发散的。在某些情况下，
13、散的。在某些情况下， r = r0 的球内也能收敛。的球内也能收敛。图图2-10 2-10 V 球谐函数展球谐函数展开在开在 r=r0 的球外收敛的球外收敛假设地球是一个均质椭球，那末假设地球是一个均质椭球，那末 V 的的级数在地球表面仍能收敛。由于地球级数在地球表面仍能收敛。由于地球的质量分布不规则，因此实际位的质量分布不规则，因此实际位 V 的的级数在地球表面应是不收敛的。这多级数在地球表面应是不收敛的。这多少降低了球谐函数在地面大地测量上少降低了球谐函数在地面大地测量上的实用意义，的实用意义， 但在卫星动力学中，但在卫星动力学中，不论在理论还是实用上都很重要。不论在理论还是实用上都很重要
14、。 此此外必须指出，球谐函数展开式只能用外必须指出，球谐函数展开式只能用来表示吸引物体以外的位，不能用于来表示吸引物体以外的位，不能用于它的内部位，因为对于内部空间，质它的内部位，因为对于内部空间，质体位不满足拉普拉斯方程。体位不满足拉普拉斯方程。2-7 2-7 椭球水准面的重力场椭球水准面的重力场司托克斯定理：司托克斯定理：如果已知一个物体的外水准面如果已知一个物体的外水准面 S S 及其内部物及其内部物质的总质量质的总质量 M M，和整个物体绕一固定轴均匀旋转的角速度，则，和整个物体绕一固定轴均匀旋转的角速度，则 S S 面上及其外部空间的重力位都可唯一地确定，而无需知道物面上及其外部空间
15、的重力位都可唯一地确定，而无需知道物体内部质量的具体分布情况。体内部质量的具体分布情况。但并不是说物体的外部重力场与物体内部质量的分布无关！但并不是说物体的外部重力场与物体内部质量的分布无关！ 地球地球重力场被表示为：正常重力场重力场被表示为：正常重力场 + + 扰动重力场扰动重力场正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体所产生的重力场。所产生的重力场。此物体称为此物体称为 正常地球正常地球旋转椭球旋转椭球正常重力场的等位面称为正常重力场的等位面称为 正常水准面。正常水准面。由于正常位可以根据由于正常位可以根据正常地球的参数求
16、得，因此正常水准面的形状也是已知的。正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。如果设定了如果设定了正常地球的长半径正常地球的长半径 a、扁率、扁率 f、旋转角速度、旋转角速度 以以及总质量及总质量 M，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的重力场。这时，我们称正常地球为重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球水准椭球。进一步地，采。进一步地，采用实际地球的用实际地球的 a、f、kM、 作为作为椭球参数，就得到一个与椭球参数，就得到一个与大地
17、水准面的几何形状和外部重力场符合得最好的水准椭球，大地水准面的几何形状和外部重力场符合得最好的水准椭球，称为称为平均地球椭球平均地球椭球（参考椭球）。（参考椭球）。正常正常重力位重力位已知椭球已知椭球 S0设设为为最后得正常最后得正常重力位为重力位为公式中的常数只有公式中的常数只有a、b、f、kM、 。这和司。这和司托克斯理论完全符合，即水准椭球外部空间的托克斯理论完全符合，即水准椭球外部空间的重力位由重力位由a、b、f、kM、 唯一地确定。唯一地确定。2-8 2-8 正常重力正常重力正常重力矢量等于正常重力位正常重力矢量等于正常重力位U的梯度的梯度沿椭球坐标曲线的分量为沿椭球坐标曲线的分量为
18、其中设其中设（2-672-67）( (我们常常把我们常常把 S0 的有关量用脚标的有关量用脚标0 0表示表示) )。这也很明显，因。这也很明显，因为在为在 S0 上的重力矢量和水准面上的重力矢量和水准面S0 是垂直的，在参考椭球是垂直的，在参考椭球 u = b 上，上，正常重力正常重力 的的 分量和分量和 分量同样也为零。分量同样也为零。因在因在S0 面上有下列关系面上有下列关系故在椭球面故在椭球面S0 上的全部重力以上的全部重力以 表示时，则有表示时，则有(2-69)(2-69)再引入下列简化符号再引入下列简化符号第二偏心率第二偏心率(2-72)(2-72)(2-72)(2-72)上式是一个
19、重要的近似公式，上式是一个重要的近似公式，17381738年由克莱劳提出，所以称为年由克莱劳提出，所以称为克莱劳理论。比较一下克莱劳理论。比较一下(2-73)(2-73)式的式的 a 和和(2-74)(2-74)式的式的b ，以及，以及(2-72)(2-72)式中括弧号的量，可以看出式中括弧号的量，可以看出 有如下的对称的公式有如下的对称的公式若以大地纬度若以大地纬度 代替归化纬度代替归化纬度，则由于，则由于可以得到可以得到这是正常重力的严格公式这是正常重力的严格公式著名的索米里安公式。著名的索米里安公式。可见，可见， 只随只随大地纬度大地纬度 （或归化纬度（或归化纬度）而变化。）而变化。2-
20、9 2-9 正常引力位的球谐函数展开式正常引力位的球谐函数展开式由（由（2-62）式已经知道正常重力位的椭球谐函数表达式为）式已经知道正常重力位的椭球谐函数表达式为那么，正常形状的地球引力位的椭球谐函数表达式则为那么，正常形状的地球引力位的椭球谐函数表达式则为且且下面要将这公式改为以球坐标下面要将这公式改为以球坐标r r，表示表示椭球和球坐标之间的关系式椭球和球坐标之间的关系式采用间接推导方法采用间接推导方法（1）（2-842-84）将它们代入将它们代入(2-83)(2-83)式，并经符号代换，得式，并经符号代换，得（2 2）再把位）再把位 V 展开为球谐函数的级数展开为球谐函数的级数 分析：
21、由于旋转对称，它只有带谐项。而且，由于对赤道面分析：由于旋转对称，它只有带谐项。而且，由于对赤道面对称，它只有偶阶的带谐项。奇阶的带谐项对负纬度将变号，对称，它只有偶阶的带谐项。奇阶的带谐项对负纬度将变号，所以就不出现，据此，级数的形式将会是所以就不出现，据此，级数的形式将会是（2-872-87）（2-882-88） 11222nnnnr)(cosPArkM （2-2-8888）上式中系数上式中系数 A2n 为为待定常系数，显然它们应与正常椭球的待定常系数，显然它们应与正常椭球的4 4个基本参数有关。为了找出这些关系，设想有一点在旋转个基本参数有关。为了找出这些关系，设想有一点在旋转轴上，并在
22、椭球之外。该点的轴上，并在椭球之外。该点的 9090， = =0 ，u=r，于是于是(2-87)(2-87)式变成式变成而（而（2-88）式则为）式则为上述两式右边应当相等，因此得上述两式右边应当相等，因此得（2-882-88）将正常引力位的球谐函数展开写成一般常见形式将正常引力位的球谐函数展开写成一般常见形式J2n为与正常椭球参数有关的常系数。为与正常椭球参数有关的常系数。（2-922-92）引进第一偏心率引进第一偏心率 e=E/a，在在 n1 时，则得出重要公式时，则得出重要公式（2-2-9292）)sinsin(a 21212 fmffmmfmfffaab8581414151417252
23、41242 其中其中（2-1662-166）（2-1002-100）这是克荣劳定理的原始形式，说明几何扁率这是克荣劳定理的原始形式，说明几何扁率f 可以从重力扁率可以从重力扁率 和和m 求得，而求得，而 和和m 又完全可以由重力测量得出。就是说地又完全可以由重力测量得出。就是说地球椭球的扁率可以由重力测量求得。球椭球的扁率可以由重力测量求得。正常重力场的实用公式（正常重力公式）正常重力场的实用公式（正常重力公式）2-11 2-11 国际椭球的参数国际椭球的参数在在19791979年堪培拉召开的第年堪培拉召开的第1717届届IUGGIUGG大会上，推荐了下列的大会上，推荐了下列的19801980
24、年大地测量参考系统，并建议用它代替年大地测量参考系统，并建议用它代替19671967年系统：年系统：2270256223923910000003026368660000107803390010257298110292115710005063108210003035010050539860026378137s/m).(Us/m).()./(fs/rad.).(Js/m).(GMs/m).(GMmaaa 导导出出量量为为其其中中包包括括大大气气质质量量GRS80系统正常重力在椭球面上的公式 Gal)sin1001262. 0sin1032718. 2sin10279041. 51 (0327.978),(6545230精品课件精品课件！精品课件精品课件！
