1、2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足z（1+i）2+3i，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|2x25x30，那么集合AB（）A1，0，1，2B0，1，2，3C0，1，2D1，0，1，2，33（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）Ay=x13Byx2+1Cy=xDy2|x|4（5分）几何原本又称原本，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学
2、巨著，大约成书于公元前300年汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本欧几里得原本十五卷译出前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（）A37B47C57D675（5分）(x+2x)5的展开式中，x的系数为（）A10B10C20D206（5分）已知等差数列an的公差为2，其前n项和为Sn若a2，a4，a8成等比数列，则一定有（）
3、Aa11Ba3+a514CS524DS4207（5分）已知角终边上一点P（sin1180，cos1180），那么cos（3+60）（）A32B12C1D08（5分）已知正四面体SABC的外接球表面积为6，则正四面体SABC的体积为（）A223B233C23D3249（5分）如图所示，已知F2（c，0）是双曲线Q：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，O是坐标原点，l1、l2是Q的两条渐近线，在l1、l2上分别有点M、N（不同于坐标原点O），若四边形OMF2N为菱形，且其面积为32c2则双曲线Q的离心率为（）A3B2C52D2310（5分）如图，在直二面角l中，B、C是直线l上两点，点A
4、，点D，且ABl，CDl，AB2，BC3，CD4，那么直线AD与直线BC所成角的余弦值为（）A22929B32929C42929D5292911（5分）已知实数x0，y0，满足（2x+y）ey3e32x，若不等式1x+2ym对任意的正实数x、y恒成立，那么实数m的最大值为（）A53B73C3D8312（5分）设实数a=ln23，b=ln38，c=1e2-1，那么a、b、c的大小关系为（）AabcBbacCacbDbca二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，XN（85，2），且P（80X90）0.3，则从该校任选一名高三学生，其
5、成绩不低于90分的概率为 14（5分）已知向量a，b的夹角为3，且|a|=4，|b|=2，则向量a与向量a+2b的夹角等于 15（5分）已知在平面直角坐标系中，直线ykx+m（m0）即是抛物线x24y的切线，又是圆x2+（y+1）21的切线，则m 16（5分）已知数列an的通项公式是an=2n-1(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=n+1(nN*)那么b1a1a2+b2a2a3+b3a3a4+bnanan+1= 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12
6、分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足（2a+c）cosB+bcosC0（）求角B大小；（）求(3-1)cosA+2cosC的取值范围18（12分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B底面ABC，AA122，BAA1=60，ABC为等腰直角三角形，ACBC2（）若O为AB的中点，求证：COAA1；（）求直线BC1与平面ACC1A1所成角的正弦值19（12分）为丰富社区群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛经过抽签，甲乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制（若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束）根据以往数据统计，甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为23，每局比
7、赛相互独立（）求甲获胜的概率（）比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分用X表示甲乙比赛结束后甲获得的积分求X的分布列和数学期望20（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，A1，A2分别是长轴的左、右两个端点，F2是右焦点椭圆C过点(0，3)，离心率为12（）求椭圆C的方程；（）设直线x4上有两个点M，N，且MF2NF2=0，连接MA1交椭圆C于另一点P（不同于点A1），证明：P、A2、N三点共线21（12分）已知函数f（x）ln（x2+1+x）aln（x+1）+1（）当a1时，讨论函数f（x）在区间（1，+）上的单调性；
8、（）当a1时，证明f（x）-x+1ex0（二）选考题：共10分考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设点A的直角坐标为（0，2），M为C上的动点，点P是线段AM的中点，求点P轨迹的极坐标方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|+2|x1|的最小值为n（1）求n的值；（2）设a，b，c均为正实数，2a+2b+cn，求a2+b
9、2+c2的最小值2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足z（1+i）2+3i，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z（1+i）2+3i，z=2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=52+12i，z=52-12i，z在复平面内对应的点（52，-12）位于第四象限故选：D2（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|2x25x30，那么集合AB（）A1，0，1，2B0
10、，1，2，3C0，1，2D1，0，1，2，3【解答】解：因为A1，0，1，2，3，Bx|2x25x30x|-12x3，则集合AB0，1，2故选：C3（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）Ay=x13Byx2+1Cy=xDy2|x|【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x13=3x，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于B，yx2+1，是二次函数，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增，符合题意；对于C，y=x，是幂函数，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于D，y2|x|=2-x，x02x，x0，是偶函数，在（0，+）上单调递减，不符合题意；故
11、选：B4（5分）几何原本又称原本，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本欧几里得原本十五卷译出前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（）A37B47C57D67【解答】解：欧几里得原本十五卷前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形
12、这7章内容，数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分，基本事件总数n=C73=35，数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率P=mn=2535=57故选：C5（5分）(x+2x)5的展开式中，x的系数为（）A10B10C20D20【解答】解：由已知得Tk+1=2kC5kx5-3k2，k0，1，5，令5-3k2=1得k1，故所求的系数为2C51=10故选：A6（5分）已知等差数列an的公差为2，其前n项和为Sn若a2，a4，a8成等比数列，则一定有（）Aa11B
13、a3+a514CS524DS420【解答】解：设等差数列an的首项为a1，由a2，a4，a8成等比数列，且d2，得a42=a2a8，即(a1-6)2=(a1-2)(a1-14)，解得a12，故A错误；a3+a52a1+6d41216，故B错误；S5=5a1+542d=-10-20=-30，故C错误；S4=4a1+432d=-8-12=-20，故D正确故选：D7（5分）已知角终边上一点P（sin1180，cos1180），那么cos（3+60）（）A32B12C1D0【解答】解：|OP|=sin21180+cos21180=1，sincos1180cos（100+3360）cos100sin10
14、sin（10），cossin1180sin（100+3360）sin100cos10cos（10），10+k360（kZ），cos（3+60）cos（30+3k360+60）cos30=32故选：A8（5分）已知正四面体SABC的外接球表面积为6，则正四面体SABC的体积为（）A223B233C23D324【解答】解：正四面体SABC的外接球表面积为6，4R26，得R=62，设四面体的棱长为a，则S在底面ABC的射影D是底面ABC的重心，则AE=32a，AD=23AE=33a，则SD=a2-(33a)2=6a29=63a，则ODSDSO=63a-62，在直角AOD中，AO2AD2+OD2，即（
15、62）2（33a）2+（63a-62）2，即64=3a29+6a29-2a+64，得a22a0，得a0（舍）或a2，则SD=63a=263，则正四面体SABC的体积V=13122232263=223，故选：A9（5分）如图所示，已知F2（c，0）是双曲线Q：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，O是坐标原点，l1、l2是Q的两条渐近线，在l1、l2上分别有点M、N（不同于坐标原点O），若四边形OMF2N为菱形，且其面积为32c2则双曲线Q的离心率为（）A3B2C52D23【解答】解：四边形OMF2N为菱形，MNOF2，菱形OMF2N的面积为12MNOF2=12cMN=32c2，MN=3
16、c，NF2=NH2+HF22=34c2+14c2=c=OF2，NF2OF2ON，即F2ON=F2OM=3，在l1、l2上分别有点M、N（不同于坐标原点O），渐近线的斜率ba=tan3=3，故双曲线的离心率为e=1+b2a2=2故选：B10（5分）如图，在直二面角l中，B、C是直线l上两点，点A，点D，且ABl，CDl，AB2，BC3，CD4，那么直线AD与直线BC所成角的余弦值为（）A22929B32929C42929D52929【解答】解：如图，以过点B作BC的垂线为x轴，以BC为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（0，3，0），D（4，3，0）
17、，AD=（4，3，2），BC=（0，3，0），cosAD，BC=ADBC|AD|BC|=9329=32929，直线AD与直线BC所成角的余弦值为32929，故选：B11（5分）已知实数x0，y0，满足（2x+y）ey3e32x，若不等式1x+2ym对任意的正实数x、y恒成立，那么实数m的最大值为（）A53B73C3D83【解答】解：设f（x）xex，则f（x）ex+xex（x+1）ex，当x0时，f（x）0，所以f（x）xex在（0，+）上为增函数，因为（2x+y）ey3e32x，所以（2x+y）ey+2x3e3，即f（2x+y）f（3），又x0，y0，所以2x+y3，所以1x+2y=（1x+
18、2y）2x+y3=13（2+yx+4xy+2）13（4+4）=83，当且仅当yx=4xy，即x=34，y=32时等号成立，因为不等式1x+2ym对任意的正实数x、y恒成立，所以m83，所以实数m的最大值为83故选：D12（5分）设实数a=ln23，b=ln38，c=1e2-1，那么a、b、c的大小关系为（）AabcBbacCacbDbca【解答】解：设f（x）=lnxx2-1，（x1），则f（x）=1x(x2-1)-lnx2x(x2-1)2=x-1x-2xlnx(x2-1)2=x(1-1x2-2lnx)(x2-1)2，设g（x）1-1x2-2lnx，（x1），则g（x）=2x3-2x=2(1-
19、x2)x30，g（x）在（1，+）上单调递减，g（x）g（1）0，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递减，2e3，f（2）f（e）f（3），acb，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，XN（85，2），且P（80X90）0.3，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为 0.35【解答】解：某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，XN（85，2），且P（80X90）0.3，P（X90）=121-P(80X90)=12(1-0.3)=0.35故答案为：0.3514（5分）已知向量a，b的夹角为3，且|a|=
20、4，|b|=2，则向量a与向量a+2b的夹角等于 6【解答】解：向量a，b的夹角为3，且|a|=4，|b|=2，ab=|a|b|cos3=4212=4，a(a+2b)=|a|2+2ab=16+824，|a+2b|=|a|2+4ab+4|b|2=43，设向量a与向量a+2b的夹角为，则cos=a(a+2b)|a|a+2b|=24443=32，0，=6，向量a与向量a+2b的夹角为6故答案为：615（5分）已知在平面直角坐标系中，直线ykx+m（m0）即是抛物线x24y的切线，又是圆x2+（y+1）21的切线，则m3【解答】解：直线ykx+m（m0）是抛物线x24y的切线，所以x24（kx+m），
21、整理得x24kx4m0，所以（4k）24（4m）0，所以k2+m0，直线ykx+m（m0）又是圆x2+（y+1）21的切线，则圆心（0，1）到直线kxy+m0的距离d=|1+m|1+k2=1，所以m2+2mk2，由得：m3或0（0舍去），故m3故答案为：316（5分）已知数列an的通项公式是an=2n-1(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=n+1(nN*)那么b1a1a2+b2a2a3+b3a3a4+bnanan+1=5n+16n+3(nN*)【解答】解：因为Snn+1，所以当n2时，Sn1n，两式相减得，bn1（n2），在Snn+1中，令n1，得b12，所以bn=2，n=11，n2
22、，所以b1a1a2+b2a2a3+b3a3a4+bnanan+1=213+135+157+1(2n-1)(2n+1)=23+12（13-15+15-17+12n-1-12n+1）=23+12（13-12n+1）=5n+16n+3故答案为：5n+16n+3（nN*）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足（2a+c）cosB+bcosC0（）求角B大小；（）求(3-1)cosA+2cosC的取值范围【解答】
23、解：（I）（2a+c）cosB+bcosC0，由正弦定理知：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC0，即sinAcosB+sin（B+C）2sinAcosB+sinA0，0A，sinA0，cosB=-12，又0B，B=23（）A+B+C，A+C=3，且0A，C3(3-1)cosA+2cosC=(3-1)cosA+2cos(3-A)=(3-1)cosA+2(12cosA+32sinA)=3cosA+3sinA=6sin(A+4)，0A3，4A+4712，22sin(A+4)1，36sin(A+4)6，故(3-1)cosA+2cosC的取值范围是(3，618（12分）如图，已知三棱
24、柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B底面ABC，AA122，BAA1=60，ABC为等腰直角三角形，ACBC2（）若O为AB的中点，求证：COAA1；（）求直线BC1与平面ACC1A1所成角的正弦值【解答】（I）证明：ABC为等腰直角三角形，ACBC2，若O为AB的中点，COAB，又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCABCO平面AA1B1B，又AA1平面AA1B1B，COAA1（）解：ABC为等腰直角三角形，ACBC2，AB=22，又AA1=22，BAA1=60，四边形AA1B1B为菱形，AA1B为正三角形，A1OAB，又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面
25、ABCAB，A1O平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0，-2，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，A1(0，0，6)，BC1=BC+CC1=BC+AA1=(2，-2，0)+(0，2，6)=(2，0，6)又AC=(2，2，0)，AA1=(0，2，6)，设n=(x，y，z)是平面ACC1A1的一个法向量，则有nAA1=0，nAC=0，即2y+6z=0，2x+2y=0，令z1，则x=3，y=-3，n=(3，-3，1)设直线BC1与平面ACC1A1所成的角为，则sin=|cosn，BC1|=23+0(-3)+61227=21719（12分）为丰富社区群众的文化生活，某社区利用周末举办
26、羽毛球比赛经过抽签，甲乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制（若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束）根据以往数据统计，甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为23，每局比赛相互独立（）求甲获胜的概率（）比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分用X表示甲乙比赛结束后甲获得的积分求X的分布列和数学期望【解答】解：（I）甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为23，每局比赛相互独立，甲获胜的概率P=2323+1323232=2027（II）由题意可得，X所有可能取值为2，5，7，11，12，P（X2）（1-23）(1-23)=19，P（X5）=23(1-23)(1-2
27、3)+(1-23)23(1-23)=427，P（X7）=23(1-23)23=427，P（X11）=2323=49，P（X12）=132323=427，故X的分布列为：X2 5 7 11 12 P19 427 427 49 427 故E（X）=219+5427+7427+1149+12427=26320（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，A1，A2分别是长轴的左、右两个端点，F2是右焦点椭圆C过点(0，3)，离心率为12（）求椭圆C的方程；（）设直线x4上有两个点M，N，且MF2NF2=0，连接MA1交椭圆C于另一点P（不同于点A1），证明：P、A2、N三点共线【解答
28、】解：（1）由题意可知：b=3，e=ca=12，a2ca2b2+c2，c1，a2椭圆C的方程为x24+y23=1（）证明：如图，设M（4，yM），N（4，yN），由于F2（1，0），因此MF2=(-3，-yM)，NF2=(-3，-yN)，MF2NF2=0，yMyN+90，A1（2，0），直线A1M的斜率为k=yM6，直线A1M的方程为y=yM6(x+2)，代入椭圆方程得：3x2+4yM236(x+2)2=12，整理得：(27+yM2)x2+4yM2x+4yM2-108=0，设P（x1，y1），x1+(-2)=-4yM227+yM2，x1=54-2yM227+yM2，代入直线A1M的方程得y1=
29、18yM27+yM2，P(54-2yM227+yM2，18yM27+yM2)，直线PA2的斜率为KPA2=y1x1-2=18yM27+yM254-2yM227+yM2-2=18yM-4yM2=-92yM，直线NA2的斜率为KNA2=yN2，yMyN+90，KNA2=yN2=-9yM2=-92yM=KPA2，所以P、A2、N三点共线21（12分）已知函数f（x）ln（x2+1+x）aln（x+1）+1（）当a1时，讨论函数f（x）在区间（1，+）上的单调性；（）当a1时，证明f（x）-x+1ex0【解答】解：（）f(x)=ln(x2+1+x)-aln(x+1)+1，函数的定义域（1，+），f(x
30、)=2x2x2+1+1x2+1+x-ax+1=(1-a2)x2+2x+1-a2x2+1(x+1)(x+1+ax2+1)，设g（x）（1a2）x2+2x+1a2，a1，函数g（x）是开口向下的抛物线，又44（1a2）24a2（2a2）当a2时，0，又1a20，g（x）0，即f（x）0，因此f（x）在（1，+）上单调递减当1a2时，0，g（x）0有两个不等实根，设两个根为x1，x2，且x1x2x1+x2=-21-a20，x1x2=10，可知x10，x20，解g（x）0，得x1=-1-a2-a21-a2，x2=-1+a2-a21-a2，因此f（x）在(-1，-1-a2-a21-a2)上单调递减，在(
31、-1-a2-a21-a2，-1+a2-a21-a2)上单调递增，在(-1+a2-a21-a2，+)上单调递减综上，当a2时，函数f（x）在（1，+）上单调递减；当1a2时，函数f（x）在(-1，-1-a2-a21-a2)上单调递减，在(-1-a2-a21-a2，-1+a2-a21-a2)上单调递增，在(-1+a2-a21-a2，+)上单调递减（）证明：要证明f(x)-x+1ex0成立，即就是证明f(x)x+1ex成立当a1时，由上可知，函数f（x）在（1，0）上递减，在（0，+）上递增，因此函数f（x）的最小值为f（0）1设h(x)=x+1ex(x-1)，h(x)=ex-(x+1)ex(ex)
32、2=-xex因此，当x（1，0）时，h（x）0，h（x）在区间（1，0）上递增，当x（0，+）时，h（x）0，h（x）在区间（0，+）上递减，所以h（x）的最大值为h（0）1，因此对任意x（1，+），总有f（x）h（x），故f(x)-x+1ex0（二）选考题：共10分考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设点A的直角坐标为（0，2），M为
33、C上的动点，点P是线段AM的中点，求点P轨迹的极坐标方程【解答】解：（）曲线C的极坐标方程为4cos，24cos，x2+y24x，化为标准方程为（x2）2+y24（）设M（2+2cos，2sin），又A（0，2），由中点坐标公式可得P（1+cos，1+sin），化为参数方程为x=1+cosy=-1+sin（为参数），化为普通方程为（x1）2+（y+1）21，化为极坐标方程为22cos+2sin+10选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|+2|x1|的最小值为n（1）求n的值；（2）设a，b，c均为正实数，2a+2b+cn，求a2+b2+c2的最小值【解答】解：（1）当x2时，f（x）3x，f（x）6，+），当2x1时，f（x）4x，f（x）3，6），当x1时，f（x）3x，f（x）（3，+），所以f（x）的最小值为3，即n3（2）因为n3，所以2a+2b+c3，由柯西不等式得（a2+b2+c2）（22+22+12）（2a+2b+c）2，所以a2+b2+c2n29=1，当且仅当a2=b2=c，即ab=23，c=13时取等号，所以a2+b2+c2的最小值为1
