1、基本方程：基本方程： 1、平衡方程、平衡方程0,ijijf)3 , 2 , 1,(ji 分量形式为：分量形式为：0Yzyxyzyyx0Xzyxxzxyx0Zzyxzzyzx)(21,ijjiijuu2、几何关系（小变形）、几何关系（小变形）分量形式为：分量形式为：zvywyzxwzuzxzwzyuxvxyxuxyvyxzzxzxxz222220,ljkikiljijklklij)3 , 2 , 1,(lkji变形协调方程：变形协调方程：六个应变分量应该满足的一六个应变分量应该满足的一个关系，即个关系，即6个独立等式：个独立等式：yxxyxyyx22222zyyzyzzy22222共有共有81个
2、方程，但只有个方程，但只有6个是不同的，其余的个是不同的，其余的不是恒等式就是由于不是恒等式就是由于 ij的对称性而都是重复的对称性而都是重复的。的。 xzyxzyyzxyzxy22)(zyxzyxxyzxyzx22)(yxzyxzzxyzxyz22)(前三个分别是前三个分别是xy，yz，zx平面内的平面内的3个应变量间个应变量间的协调关系；而后三者则分别是正应变和的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切个切应变之间的协调关系。应变之间的协调关系。 )(*STniiij在)(*uiiSuu在jijijijiSC及)6 , 2 , 1,(jijiijCC jiijSS3、边界条件、边界条件力边
3、界条件：力边界条件：位移边界条件：位移边界条件：4、各向异性本构方程（小变形）、各向异性本构方程（小变形）刚度矩阵刚度矩阵柔度矩阵柔度矩阵 jiijjiijSCW2121 各向异性体的弹性应变能为：各向异性体的弹性应变能为：拉拉-拉耦合拉耦合（ 泊 桑 效（ 泊 桑 效应）应）剪剪-剪耦剪耦合合拉 剪 耦拉 剪 耦合合665544332211CCCCCC 6165154143132121111SSSSSS3-2 各向异性弹性力学的本构方程各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性（21个弹性常数） 其中其中Sij为柔度系数，为柔度系数， 4、 5和和 6即为剪应即为剪应力力 23、 31和和
4、12。可见各向异性体一般具有耦。可见各向异性体一般具有耦合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以引起正应变；反之亦然。引起正应变；反之亦然。 二、有一弹性对称面（13个弹性常数）弹性对称面弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性：沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的。能是相同的。材料主轴（或弹性主轴）材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称：垂直于弹性对称面的轴。面的轴。 利用两个方向下材料的应变能密度表达式利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单位体积应变能的结果是相同的）可以推得：位
5、体积应变能的结果是相同的）可以推得： 24411421112SSW014S41,设仅有设仅有，即有，即有41而而在在x3变向时要变号，为保证变向时要变号，为保证W相同，相同，则有则有005635251546342414SSSSSSSS6655454436332623221613121100000000SSSSSSSSSSSSS称对同理：同理：独立常数减少为独立常数减少为13个，即个，即 336126333331532322343131 ;0 ;0 ;SSSS 03如果如果，其余应力分量为零，则有：，其余应力分量为零，则有：此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除
6、纵向伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内剪应变，且弹性主轴方向不变。面内剪应变，且弹性主轴方向不变。三、正交各向异性（三、正交各向异性（9 9个弹性常数）个弹性常数）正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）321,xxx取取为三个正交弹性主轴，如图所示：为三个正交弹性主轴，如图所示：045362616SSSS 由由a）、）、b）两坐标系中计算的应变能应该）两坐标系中计算的应变能应该相同，而在两坐标系下：相同，而在两坐标系下：123112
7、31,6565,（即（即）变号，可得：）变号，可得：即：即：665544332322131211000000000000SSSSSSSSS称对123123233112321,GGGEEE由此可得由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性）当采用材料主轴来描述正交异性体时，没有任何拉剪耦合现象；体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主）在非材料主轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。 纤维在横截面内纤维在横截面内按矩形排列的单向纤按矩形排列的单向纤维复合材料，宏观而维复合材料，宏观而言则是一正交异性体。言则是一正交异性体。共有共有9个弹性常数：个弹性常数：jiij
8、1轴沿纤维方向，并有轴沿纤维方向，并有，而是，而是ijijijEEij即即没有对称性。没有对称性。ijS可展开为：可展开为：)1 (223223EG 四、横观同性（5个弹性常数） 纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为横向同性。由于横向同性，则在横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为平面内应为各向同性，则有各向同性，则有故只有故只有5个独立常数：个独立常数：2121,EE122312,GG23（或（或），），（或（或）66664422232123222112121100000
9、0000000000000000000SSSSSSSSSSSS由工程应变形式的展开式为：由工程应变形式的展开式为：即：即：,E)(2000000)(2000000)(2000000000000121112111211111212121112121211SSSSSSSSSSSSSSS五、各向同性（2个弹性常数）)1 (2EG1231231231232131323213212312123211)(1,GEGGGEEEjiijSW21 0det , , 0 , 02221121111ijSSSSSS六、弹性常数的取值范围 判定依据是非零应力状态下，材料的弹性判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能
10、位正值，应变能应是应变（或应力）的应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定二次型。正定二次型。Wi S为为的正定二次型的充要条件是矩阵的正定二次型的充要条件是矩阵的所有主要主子式大于零，即：的所有主要主子式大于零，即：0E2112101、对于各向同性，可推得：、对于各向同性，可推得：实际上一般为：实际上一般为：2、对于正交各向异性，有：、对于正交各向异性，有： 0,123123321GGGEEE 0E1EE122121对称， 等等等等作业：作业： 1.推导正交各向异性材料柔度矩阵为推导正交各向异性材料柔度矩阵为零的分量；零的分量； 2.推导正交各向异性材料中各个常数推导正交各向异性材料中各个常数的取值范围。的取值范围。
