1、1.3 晶向、晶面和它们的标志 1.3.1 晶向及晶向指数1.晶向 通过晶格中任意两个格点通过晶格中任意两个格点连一条直线称为连一条直线称为晶列晶列，晶列的，晶列的取向称为取向称为晶向晶向，描写晶向的一，描写晶向的一组数称为组数称为晶向指数晶向指数( (或或晶列指数晶列指数) )。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列晶列。 (3) (3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；格点分布都是相同的； (4) (4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。 (1) (1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；
2、族包含所有的格点；(2)(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点2.晶向指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为332211alalalR (1)(1) 用固体物理学原胞基矢表示用固体物理学原胞基矢表示如如121121表示表示1, 2, 1321 lll321aaa, , ,为固体物理学原胞基矢为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。 其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ， 记为记为 ， 即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。 321,lll 321,lll32
3、1,lll 321lll321lll(2)(2)以布拉维原胞基矢表示以布拉维原胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为 为为布布拉拉维维原原胞胞基基矢矢cbacpbnamR, 其中其中 为有理数为有理数, ,将将 化为化为互质的整数 m, ,n, ,p, , 记为记为 mnp ， mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数. . pnm ,pnm ,abcOABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE, ,AD的晶列指数。的晶列指数。kcjbia , iOB ,kjiOE kjOBOE
4、BE 解：解：晶列晶列BE的晶列指数为：的晶列指数为： 011 ,kOA , jiOD21 kjiOAODAD 21AD的晶列指数为的晶列指数为: :abcOABCDE221求求AD的晶列指数。的晶列指数。注意:(1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列指数一定是一组互质的整数；(2)(2)晶列指数用方括号表示晶列指数用方括号表示 ；(3)(3)遇到负数在该数遇到负数在该数上方加一横线。加一横线。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111 (4)(4)等效晶向等效晶向。 在立方体中有，沿立方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有
5、晶列一共有6个不同的晶向，由于个不同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成写成 。 100 001 010 100 010 001 1.3.2 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。1.晶面 (1) (1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；平行的晶面
6、组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布( (情况情况) )相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；同一个格子，两组不同的晶面族同一个格子，两组不同的晶面族2.晶面指数晶面方位晶面方位晶面的法线方向晶面的法线方向( (法线方向与三个坐标轴夹角法线方向与三个坐标轴夹角) )晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距(1)(1)以固体物理学原胞基矢表示以固体物理学原胞基矢表示 如图如图取一格点为顶点，原胞的三，原胞
7、的三个基矢个基矢 为坐标系的三个轴，为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1, ,A2, ,A3, ,设晶面的法线设晶面的法线ON交晶面交晶面A1A2A3于于N，ON长度为长度为 d，d为该晶为该晶面族相邻晶面间的距离，面族相邻晶面间的距离， 为整数，为整数，该晶面法线方向的单位矢量用该晶面法线方向的单位矢量用 表表示，则晶面示，则晶面A1A2A3的方程为：的方程为：n321,aaadnX A2A3O O2a3a1aA1N dn dn,aatdn,aasdn,aar 332211coscoscos取取 为天然长度单位，则得：为天然长度单位，则得：321
8、a,a,a332211atOA,asOA,arOA 设设dnX dnatdnasdnar 321 tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321 晶面的法线方向与三个坐标轴晶面的法线方向与三个坐标轴( (基矢基矢) )的夹角的余弦之比，的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。A2 2A3 3O2a3a1aA1 1N dn可以证明：可以证明：r,s,t必是一组有理数-阿羽依的有理数定理。阿羽依的有理数定理。 tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321 设设 的末端上的格点分别在离原点距离的末端上的格点分别在离原
9、点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数为整数 。321,aaa (2) (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等, ,故在原故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 (1 (1) )所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；也一定落在该晶面族的晶面上； 321,aaadhnadhnadhna332211 取取 为天然长度单位得：为天然长度单位得：321a,a,a d
10、hnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 321321:,cos:,cos:,coshhhnanana tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321 又又晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。dnX A2A3O2a3a1aA1N dntsrhhh1:1:1:321 tsrhhh1:1:1:321 可以证明可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数，记为面指数，记为( (h1h2h3 ) ) 。任一晶面在坐标轴上的截距任一晶面在坐标
11、轴上的截距r，s，t必是一组有理数。必是一组有理数。因为因为h1、h2、h3为整数，所以为整数，所以r、s、t必为有理数。必为有理数。综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；(3)(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 (2) (2)以以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；上的截距倒数的互质比；321a,a,a (1) (1)基矢基矢 被平行的晶面等间距的分割成被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；321,aaa设设末端上的格点分别落在离原点的距离末端上的格点分别
12、落在离原点的距离321,aaa的晶面上的晶面上dhdhdh321, 最靠近原点的晶面最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距在坐标轴上的截距332211,hahaha 整数整数321,hhh 晶面间距晶面间距d10/13的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距321,hhh 同族中其它晶面的截距是同族中其它晶面的截距是 的整数倍的整数倍332211,hahaha)(321hhh晶面指数晶面指数 标记这个晶面系标记这个晶面系以布拉维原胞基矢以布拉维原胞基矢 为坐为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用指数，用( (hkl) )表示。表示。
13、cba ,立方晶格的几种主要晶面标记立方晶格的几种主要晶面标记 例例2：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，试求晶面之中点，试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密的密勒指数。勒指数。cba AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距abcOABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距lkhlkh 1:1:1:1:1:1(hkl)(111)11:1:1 (001) 1:11:21(120)AEG 的密勒指数是的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是的密
14、勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是的密勒指数是(120)。abcOABCDEFGHIABCDcbaEFG例例3: 在立方晶系中画出在立方晶系中画出(210)、 晶面。晶面。)121(晶面在三个坐标轴上的截距分别为：晶面在三个坐标轴上的截距分别为：abc211 (210)121(121 1密勒指数是密勒指数是(210) 的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指数是密勒指数是 的晶面是的晶面是EFG面面；1.4 倒格子倒格子 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性晶格具有周期性，一些物理量具有周期性势能函数势能函数1 12233( )()AAVxVxl al al a势能函数是以势能函数
15、是以321,aaa为周期的三维周期函数为周期的三维周期函数01/081.4.1倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。 rRrl 上式两边分别按傅里叶级数展开：上式两边分别按傅里叶级数展开： rKihhhKr e)( lhRrKihhlKRr e 2 lhRKlR是正格矢。是正格矢。hK一定是倒格矢。一定是倒格矢。1.4 1.4 倒格倒格 倒格倒格正格（点位）矢：正格（点位）矢：332211anananRn 321,bbb倒格基矢倒格基矢倒格（点位）矢：倒格（点位）矢：332211bhbhbhKn 晶体结构晶体结构=晶格晶
16、格+基元基元正格基矢正格基矢正格正格 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格倒格。321,aaa1.4.1 倒格定义倒格基矢定义为：倒格基矢定义为： 213132321222aabaabaab 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，321,aaa 332211bhbhbhKn ),(321为为整整数数hhh 与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格倒格。 321aaa 是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢？倒格基矢的方向和长度如何呢？132122daab 222db 3b1b2b332db 一个倒格基
17、矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍。倍。 213132321222aabaabaab 1a2a3a1. ijjiba 2)ji( 2 ji 0 aaaba321112 2 aaaba131212 0 1.4.2 倒格与正格的关系332211alalalRl 332211bhbhbhKh 其中其中 分别为分别为正格点位矢正格点位矢和和倒格点位矢倒格点位矢。hlKR 和2. 2 hlKR( ( 为整数为整数) ) hlKR )(3
18、32211alalal)(332211bhbhbh )hlhlhl (3322112 2 3.3. *32 (其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积) 321bbb* 21133232aaaaaa CBABCACBA 2113aaaa 1a 13232aaa * 23 21131213aaaaaaaa 4. 4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3) )正交，且其长度为正交，且其长度为 。332211hbhbhbhK 3212hhhd(1)(1)证明证明332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族( (h1h2h3) )正交。正交。 CBABC
19、ACBA BCO2a3a1aAhK 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面， ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。321,aaa332211,hahaha由图可知：由图可知：3311hahaOCOACA 3322hahaOCOBCB CAKh 2211332211)(hahabhbhbh0 CBKh 3322332211)(hahabhbhbh0 所以所以332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。3212hhhd(2)证明证明 的长度等于的长度等于 。332211hbhbhbhK dnX 由平面方程：由
20、平面方程： 得：得：hhhhhKKhad 11321hKbhbhbhha33221111 hK2 bacacbcba 222在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，cba,c)ba( clbkahKlkh晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格332211anananRn 1.1.332211bhbhbhKn 1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度
21、长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正格正格332211bhbhbhKh 正格正格基矢基矢321,aaa倒格倒格基矢基矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222 ijjiba 2)ji ( 2 ji 0aaaaiaa 1jaa 2jaaiaa 21 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji 例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。022111 baba202212 babajabiab2221 ijjiba 2)ji (
22、2)(0ji jaaiaa 21a2a22211bhbhKh 倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。a2例例2 2：证明体心立方的倒格是面心立方。：证明体心立方的倒格是面心立方。解：解： 体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢： kjiaakjiaakjiaa 222321 332121aaaa 22222232aaaaaakjiaa 222222222222aaaakaaaajaaaai kaja2222 213132321222aabaabaab 3212aabkajaaa222232 332121aaaa kjakjaa 222223 jiab 23 kiab 22倒格矢：
23、倒格矢： jiab 23 kjab 21 kiab 22同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为232221321hhhadhhh 证明：证明：3212hhhhdK 由由得：得：3213212hhhhhhKd 简立方：简立方：,321kaajaaiaa iaaab22321 jaaab22132 kaaab22213 法一：法一：iab21 jab22 kab23 232221hhha 3213212hhhhhhKd 2322212321hhhaKhhh 332211321bhbhbhKhhh khjhiha3212 iab21 jab22 kab23
