1、2022-3-271主要内容n半群n独异点n群2022-3-272半群n定义10.1(1)： 是一个代数系统， 其中S是非空集合， 是S上的一个二元 运算(运算 是封闭的)，如果运算 是 可结合的，即对任意的x,y,zS，满足(x y) z=x (y z) 则称代数系统为半群.2022-3-273例10.1n,为半群n设n2, 为半群n,为半群nA=a1, a2, ., an,nZ+,*为A上的二元运算,a, b A有ai*aj=ai , 则A关于*运算构成半群nSk=x|xZxk，为半群n，不是半群 2022-3-274例10.2n=a,b ，+为为所有由a, b组成的字符串 , “ ”为为
2、字符串的连接运算.n则 做成半群。2022-3-275独异点n定义10.1(2)：设是一个半群， 若存在eS为S中关于运算 的单位元单位元, , 则称为幺半群幺半群，也叫做独异点独异点。 (有时也把单位元标明)2022-3-276例10.1nSk=x|xZxk，n(k0) ？n？ 不是独异点是独异点2022-3-277例10.2n=a,b ，+为所有由为所有由a,b组成的字符组成的字符串串 ,“ ”为字符串的连接运算为字符串的连接运算.n思考：思考：半群半群 是否做成独异点？是否做成独异点？空串空串 *=+ 做成独异点做成独异点2022-3-278例10.3n幂集？n？n ？2022-3-27
3、910.4*n是单位元n可结合性在运算表中无特殊体现10群(Group)n定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合， 是G上一个二元运算，如果n(1).运算 是封闭的n(2).运算 是可结合的n(3).存在单位元en(4).对于每一个元素xG，存在着它的逆元x-1则称是一个群2022-3-2711例10.1nSk=x|xZxk，n(k0) ？n？ 不是群不是群2022-3-2712例10.2n=a,b ，+为所有由为所有由a,b组成的字符组成的字符串串 ,” ”为字符串的连接运算为字符串的连接运算.空串空串 *=+ 思考：思考：独异点独异点 是否做成群？是否做成群？2022-3-
4、2713例10.3n幂集？n？n ？单位元和逆元?2022-3-2714例10.4(1-2)n(1) 整数加群n(2) 模n整数加群n 思考: 是不是群?2022-3-2715例10.4(3-6)n(3) n阶实矩阵加群n(4) n阶实可逆矩阵乘法群；n(5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵 关于矩阵乘法；2022-3-2716例10.5nKlein 四元群G=e,a,b,c*eabceeabcaaecbbbceaccbae2022-3-2717例10.5(2)nKlein 四元群G=e,a,b,cne=(0,0)na=(0,1)nb=(1,0)nc=(1,1)n运算为逐分量模2加法,2022
5、-3-2718群的等价定义n定理 (等价定义) , 可结合，若存在右单位元e，且每个元素a 相对于e 存在右逆元a，则G是群.n证明: n封闭性n可结合性n单位元？n逆元？2022-3-2719群的等价定义n证明: 证e为左单位元. aG, 有a e = a ,所以有 e e = e (e为右单位元)。设存在a G,使得a a=e,代入得e (a a) = a a.因为a G ,存在a G,使得a a =e上式两边右乘 a 得 e a a a= a a a , 而a a =e因此有 e a = a . e 是G中的单位元. 证a为a 的左逆元，设 a a=ea = e a = (a a) a
6、= a (a a) = a e = a2022-3-2720群的相关术语（定义10.2）n平凡群 只含单位元的群 en有限群与无限群n群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|n交换群或阿贝尔（Abel）群2022-3-2721例10.6（交换群）n(1) 无限群;n(2) 模6整数加群，阶为6n(3) 模4整数加群，阶为4n(4) Klein 四元群G=e,a,b,c，阶为4n(5) 群，阶为| P(B)|2022-3-2722n次幂n定义 设是一个半群，xS, n Z+, 定义的x 的n次幂xn为:11,nnxxxxxnZn 推广到独异点01,nnxexxxnN2022-3-2723n次
7、幂实例n在半群中, xZ, x的n次幂是nxxxxnx 个个n在半群中, xP(B), x的n次幂是,nxnxxxx n 个个为为偶偶数数为为奇奇数数2022-3-2724n次幂（推广到群）n定义10.3 设是一个群，xG, n Z, 定义的x 的n次幂xn为:1100()0nnnenxxxnxn2022-3-2725元素的阶n定义10.4 设G是群， aG，元素a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数k. 记作 |a|=k, 也称a为k阶元n与群的阶比较与群的阶比较n有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！）；n元素都是有限阶的群不一定是有限群.2022-3-2726例
8、10.6（元素的阶）n(1) 无限群， |0|=1n(2) 模6整数加群，元素的阶n(3) 模4整数加群，元素的阶n(4) Klein 四元群G=e,a,b,cn(5) 群中元素的阶2022-3-2727幂运算的性质n定理10.1 幂运算规则 (a-1)-1=a (ab)-1=b-1a-1 anam=an+m (an)m=anm 若G 为Abel 群，则(ab)n=anbnn说明：n等式1 和2 证明用到逆元定义和唯一性n等式3 和4 的证明使用归纳法并加以讨论n等式2 可以推广到有限个元素之积.2022-3-2728模n剩余类n设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是由模n的同余（剩余）类组成
9、的集合，在Zn上定义两个二元运算+m 和m:i,jZni+mj=(i+j) mod mimj=(ij) mod meg.，(令n为素数和不为素数两种)2022-3-2729整数同余式整数同余式n定义（同余）：称整数a模正整数m同余于 整数b，记为ab（mod m）是指m|a-b, m称为模数。nm|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分别 除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就 在于此。2022-3-2730同余关系同余关系n相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质： 自反性：对任意整数a有aa（mod m） 对称性：如果ab(mod m)
10、则ba（mod m） 传递性：如果ab (mod m）bc（mod m）则ac(mod m) 全体整数集合Z可按模m（m1）分成一些两两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。2022-3-2731n整数模m同余类共有m个，他们分别为km+0, km+1, km+(m-1)，其中 kZ，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称0,1,2,m-1为标准完全剩余系。nZ模12的标准剩余系为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11同（剩）余类同（剩）余类2022-3-2732n对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘：(1) a(mod m)b(mo
11、d m)=(ab)(mod m)(2) a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)消去率：对于abac（mod m）来说，若(a,m)1则bc(mod m)剩余类间的运算剩余类间的运算2022-3-2733n例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。解： 注意53=12513(mod56) 于是有56132 1691(mod56) 因此有5601(mod56)， 即有56 560-1。剩余类应用举例剩余类应用举例，(令n为素数和不为素数两种)2022-3-2734子半群(子独异点)n定义：设是一个半群，BS且*在B上是封闭的，那么也是一个半群，通常称是半群的子半群; n设是一
12、个独异点，BS,eB且*在B上是封闭的，那么也是一个独异点，通常称是独异点的子独异点。 n半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数是S的子独异点2022-3-2735子半群举例nA关于矩阵乘法构成半群, 且它是的 子半群,令 , 则V是子独异点 000aAaR10, ,00VA2022-3-2736子半群的交集n定理10.3: 若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点.n(只需证明封闭性)n思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?2022-3-2737同态和同构n半群与独异点的同态和同构n半群 f(xy)= f(x)f(y)n独异点 f(xy)=f(x)f(y), f
13、(e)= e2022-3-2738同态的性质n定理:设 f 是从代数系统A到代数系统B的同态映射，则若A是半群(独异点)，则 同态象f (A)也是半群(独异点) 2022-3-2739半群的同态性质定理 设V= 为半群，V = ， 为映射复合，则V 也是半群，且存在V 到V 的同态.证： 设 fa:SS, fa(x)=a x,faSS, 且 fa | aS SS,令?：SSS, ?(a)=fa,?(a b)=fa b, ?(a) ?(b)=fa fb为证同态只需证明fa b=fa fbxS,f a* b (x)= a *b* xfa fb(x)=fa(b* x)= a *b* x2022-3-2740独异点的同构性质定理 设V=为独异点，则存在TSS, 使得同构于证：令 ?：SSS, ?(a) = fa, 则?(a*b) = ?(a) ?(b)?(e) = fe = IS,?为独异点V 到的同态?(a) = ?(b) fa= fb xS (a*x=b*x) a*e = b*e a=b , ?为单射令T=?(S)，则TSS, 且?:ST 为双射， 精品课件精品课件！精品课件精品课件！2022-3-2743作业nP202n2, 3,4,5, 6
