1、 3.1 3.1 解的存在唯一性定理和解的存在唯一性定理和逐步逼近法逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/ 返回前进概念和定义利普希兹条件一阶方程的初值问题存在唯一性定理25432111定理逐步逼近法的思想附注命题命题命题命题命题的证明定理定理内容提要内容提要/Constant Abstract/ 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进本节要求本节要求/Requirements/ 掌握逐步逼近逐步逼近方法的本思想 深刻理解解
2、的存在唯一性定理的条件与结论 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进一一 、概念与定义、概念与定义/Concept and Definition/Concept and Definition/1. 1. 一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示表示00(,).(3.1.1)().(3.1.2)dyfx ydxxy 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method0000( , ,)0.(3.1.3)
3、(),().(3.1.4)F x y yy xyy xy返回前进2. 2. 利普希兹条件利普希兹条件 函数),(yxf称为在矩形域 :byyaxxR00,:(3.1.5)关于 y 满足利普希兹利普希兹 (Lipschitz)(Lipschitz)条件条件，如果存在常数 L0 使得不等式 2121),(),(yyLyxfyxf对所有Ryxyx),(),(21都成立。L 称为利普希兹常数。 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进二二 、存在唯一性定理、存在唯一性定理 定理定理1 1如果 f(x,y) 在 R
4、 上连续且关于 y 满足利普希兹条件, 则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 )(xy定义在区间 hxx0, 且满足初始条件00)(yx这里),(max),min(),(yxfMMbahRyxbyyaxxR00,:) 1 . 1 . 3().,(yxfdxdy 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进定理定理1 1的证明的证明需要证明五个命题需要证明五个命题： 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证
5、明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解 命题 5 证明唯一性 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进定理定理1 1的证明的证明命题命题1 1 设)(xy是初值问题)2 . 1 . 3.(.)() 1 . 1 . 3().,(00yxyxfdxdy的解的充要条件是)(xy是积分方程xxhxxxdxyxfyy0000),(3.1.6) 的定义于hxxx00上的连续解。证明证明: :微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。 3.1 3.1 E
6、Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进证证 明明因为)(xy是方程(3.1.1)的解，故有:)(,()(xxfdxxd两边从xx 0到积分得到:xxhxxxdxxxfxx0000)(,()()(把(3.1.2)代入上式,即有:hxxxdxxxfyxxx0000)(,()(因此,)(xy是积分方程在 hxxx00上的连续解. 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进反之，如果)(xy是 (3.1.6) 的连续解，则有：hxxxdxxxf
7、yxxx0000)(,()(3.1.8)微分之，得到:)(,()(xxfdxxd又把0 xx 代入(3.1.8)，得到:00)(yx因此， )(xy是方程(3.1.1)定义于hxxx00上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题命题1 1证毕证毕.同理，可证在00 xxhx也成立。 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进现在取00yx )(，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:) 9 . 1 . 3 ()(,()()(0001000 xxnnhxxhxdfyxyxxxdfy000)(,(00)(yx )(1x
8、xxdfy010)(,()(2xxxndfy010)(,()(xn 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进xyox0 x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+hxxdfy000)(,(00)(yx )(1x)(1x)(1x 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进命题命题2 2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 )(xn在hxxx00上有定义、连续，即满足不等式: )10. 1 . 3( )(0byxn
9、证证 明明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）xxnnhxxxdfyxyx0001000)(,()()(当 n =1 时,xxdyfyx0),()(00101)(yx )(0 xxMxxdyf0),(0bMh xxdyf0),(0 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。 即 当 n=k 时，)(xk在hxxx00也就是满足不等式byxk0)(xxkkdfyx0)(,()(01)(1x在hxxx00上有定义,
10、连续xxkkdfyx0)(,()(01)(0 xxMbMh 上有定义，连续，而当 n=k+1 时，)(1xkhxxx00上有定义，连续。在 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进即命题在 n=k时也成立。 由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。命题命题)(xn在hxxx00上是一致收敛的。命题证毕命题证毕函数序列考虑级数:)11. 1 . 3 ( )()()(10010kkkhxxxxxx它的部分和为：nknkkxxxx110)()()()( 3.1 3.1 E Existence & Unique
11、ness Theorem & Progressive Method返回前进为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:)12. 1 . 3( )()(,()()(00001xxxxMdfxx 10010kkkhxxxxxx)()()(xxdffxx0)(,()(,()()(0112xxdxML0)(0dLxx001)()(xxnnhxxhxdfyx00010)(,()(20)(! 2xxML 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进设对于正整数 n , 不等式nnnnxxnMLxx)(!)()(
12、011成立， dffxxxxnnnn0)(,()(,()()(11dLxxnn0)()(1xxnnnnxxnMLdxnML0100)()!1()(!于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:)13. 1 . 3()(!)()(00011hxxxxxkMLxxkkkk 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进由此可知，当hxxx00时)14. 1 . 3( !)()(11kkkkhkMLxx(3.1.14)的右端是正项收敛级数11!kkkkhML的一般项， 由维尔斯特拉斯(Weierstr
13、ass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在hxxx00上一致收敛, 因而序列)(xn也在上一致收敛。 hxxx00命题命题3 3证毕证毕 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进)()(limxxnn则)(x也在hxxx00又可知byx0)(现设上连续，且由(3.1.10) )10. 1 . 3( )(0byxn命题命题4 4 )(x是积分方程(3.1.6)的定义于证证 明明: : 由利普希兹条件)()()(,()(,(xxLxxfxxfnn以及)(xn在hxxx00上一致收敛于 )(x上
14、的连续解。hxxx00 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:xxnnnndfyx0)(,(lim)(lim10 xxnndfy0)(,(lim10即xxdfyx0)(,()(0即知序列)(,(xxfn在一致收敛)(,(xxfhxxx00这就是说,)(x是积分方程(3.1.16)的定义于hxxx00上的连续解。命题命题4 4 证毕证毕 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进
15、命题命题5 5)(x也是积分方程(3.1.6)的定义于 hxxx00 上的一个连续解, 则hxxxxx00),()(证明证明若首先证明)(x也是序列)(xn的一致收敛极限函数。为此，从00)(yx xxnnndfyx0) 1()(,()(10 xxdfyx0)(,()(0进行如下的估计 xxxxMdfxx0)()(,()()(00 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进xxxxMdfxx0)()(,()()(00 xxdffxx0)(,()(,()()(01xxdL0)()(0 xxxxMLdxML02
16、00)(! 2)(现设nnnxxnMLxx)(!)()(011则有dffxxxxnn0)(,()(,()()(1 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进有dffxxxxnn0)(,()(,()()(1dLxxn0)()(1xxnndxnML0)(!010)()!1(nnxxnML故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式)15. 1 . 3( )()!1()()(10nnnxxnMLxx 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progress
17、ive Method返回前进因此，在hxxx00上有:)16. 1 . 3( )!1()()(1nnnhnMLxx1)!1(nnhnML是收敛级数的公项, 故n时 0)!1(1nnhnML因而)(xn在 上一致收敛于 hxxx00)(x根据极限的唯一性，hxxxxx00)()(即得:命题命题5 5证毕证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。nkkknxxxx110)()()()( 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例例求初值问题 的第三次近似解。0022)(yyxdxdy0)(0 xxdxx
18、xx02021)()(xdxxxx02122)()(xdxxx0262363373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx014102623969189235953520792633151173xxxx33x 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进附附 注注/Remark/Remark/1）如果在 R 上fy存在且连续, 则 f (x,y) 在R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立。证yf在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L2 , 1 ),(iRyxi由中值定理2121),(),(),(
19、yyxfyxfyxfy之间，在 21yy21yyL),(),(21yxfyxf故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进这条件是充分条件，而非必要条件。例例1ydxdyR 为中心在原点的矩形域无导数轴上在 )(0 ),(x yyyxf21yy ),(),(21yxfyxf21yy 但故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。yf在 R 上存在且有界 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。yf在 R 上存在且无界 f(x,y
20、) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件。 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在唯一的充分条件，而非必要条件。例例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。axyaaxyayxfdxdy 00 ),(f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一C 0 ydxdyaxyaxya dxdy axy当当 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例例3
21、 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。0 00 ln),(y yyyyxfdxdyf(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一0ln1yy)0 ,(),(1xfyxf0ln11yy1ln , 0yy不可能有界yydxdylndxyydyln 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进dxyydylndxyydlnln1lnlncxyxecy2ln02yeyxecxy 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem &
22、 Progressive Method返回前进 例例4 4 设方程(3.1)为线性方程)()(xQyxpdxdy则当 P(x),Q(x) 在区间 上连续，则由任一初值,),(000 xyx所确定的解在整个区间,上都存在。3）若f (x,y)在带域 中连续，且对 y 满足Lipschitz条件，则在整个区间 中存在唯一满足条件 的方程 的解 。记x()x ,00()xy( , )dyf x ydx)(x0(,)max( ,)xMf x y 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进4) 4) 一阶隐式方程的解
23、的存在唯一性一阶隐式方程的解的存在唯一性定理 2如果在点 的某一邻域中， 对所有的变元 连续，且存在连续的偏导数；),(000yyx) ,( )yyxFa) ,(yyx0),( )000 yyxFb0),( )000yyyxFc则上述初值问题的解在 的某一邻域存在。0 x 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method0000( , , )0.(3.1.3)(), ().(3.1.4)F x y yy xyy xy返回前进事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且 0) ,(yyxF),(yxfy ),
24、(00yxyyFFyf在 邻域内连续，在以 ),(00yx),(00yx为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y) 在D 中关于 y 满足Lipschitz条件。由解的存在唯一性定理，00)(),(yxyyxfdxdy的解 y(x) 存在唯一，存在区间中的 h 可足够小。同时，有00)(yxy),()(0000yxfyxy 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进三三 、 近似计算和误差估计近似计算和误差估计 第第 n 次近似解次近似解第第 n 次近似解的误差公式次近似解的误差公式xxnnhx
25、xxdfyxyx0001000)(,()()(1)!1()()(nnnhnMLxx 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例例4 4方程 定义在矩形域, 11 , 11 :yxR22yxdxdy试确定经过点(0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。解解2max22),(yxMRyx21)21, 1min(),min(Mbah满足解的存在唯一性定理的条件Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 Lyyf22 3.1 3.1 E Existence & U
26、niqueness Theorem & Progressive Method返回前进1)!1()()(nnnhnMLxx1)()!1(1nLhnLM05. 0)!1(1n3n0)(0 xxdxxxx02021)()(33xxdxxxx02122)()(xdxxx0262363373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx014102623969189235953520792633151173xxxx 3.1 3.1 E Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进思考：思考：1、 求方程 ，满足条件22yxdxdy00
27、)(y的解的最大存在区间，即 h 的最大值。2、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：210 00 122xyxyy,)(,cos)(32210 00 22xyyxy,)(,)(xyyeyx0 00 1 32,)(),ln()( 3.2 3.2 解的延拓定理解的延拓定理/ Theorem on extension of solution/返回前进 解的延拓的引入延拓方法局部利普希兹条件 解的延拓定理及其推论例子推论解的延拓定理内容提要内容提要/Constant Abstract/本节要求本节要求/Requirements/ 理解解的延拓方法。 会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。 3
28、.2 Extension Theorem返回前进一一 、 解的延拓的引入解的延拓的引入1 1 局部利普希兹条件局部利普希兹条件),(yxfdxdy右端函数 f ( x, y ) 在某一有界区域G 中有意义。 如果称 f ( x, y )在G 内满足局部利普希兹条件，即对 区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域R，在 R 上 f ( (x, y) ) 满足利普希兹条件。（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同） 3.2 Extension Theorem返回前进2 解的延拓解的延拓设, )(baxxy是)2 . 1 . 3.(.)() 1 . 1 . 3().,(00y
29、xyxfdxdy的解，若也是初值问题的解，, )(11baxxy,11baba，当 时，,bax )()(xx则称解 是解 )(x )(x在区间,ba上的延拓延拓。 3.2 Extension Theorem返回前进3 延拓方法延拓方法设方程),(yxfdxdy的解)(xy已定义在区间hxx0上， 现取hxx01然后以1Q作一小矩形，使它连同其边界01h使得在区间11hxx,方程),(yxfdxdy有过),(11yx的解)(xy且在1xx 处有)()(xx)()(011hxxy),(11yx中心，都含在区域 G 的内部，再用解的存在唯一性定理，存在由于唯一性，显然解)(xy和解)(xy都在定义
30、的区间11xxhx上， )()(xx 3.2 Extension Theorem返回前进区间11hxx上， ),(yxfdxdy有过),(11yx的解)(xy且在1xx 处有)()(xx由于唯一性，显然解)(xy和解)(xy 都在定义的区间11xxhx上， )()(xx但是在区间 11xxhx上， 解)(xy向右方的 延拓，延拓， 即将延拓要较大的区间 100hhxxhx。再令)(,1212hxyhxx如果，Gyx),(22我们又可以取 ),(22yx为中心，作一小矩形, 3.2 Extension Theorem返回前进)(,1212hxyhxx可以取 ),(22yx为中心，作一小矩形, 使
31、它连同其边界 都含在区域G 内。仿前,又可以将解延拓到更大的区间 210100hhhxhhxxhx上，其中2h是某一个正常数。对于 x 值减小的一边可以进行同样讨论, 使解向左方延拓。就是在原来的积分曲线)(xy左右端个接上一个积分的曲线段。上述解的延拓的方法还可继续进行。 那么, )(xy向两边延拓的最终情况如何呢? 3.2 Extension Theorem返回前进xyO 0 x0y 2xhxx 01112hxx 1hh1x1y2y)(01hxy )(112hxyy ),(00yxP,)(00hxhxxxy ),(11yxQ ,()(,)(10000hhxhxxxhxhxxxy 3 延拓方
32、法 3.2 Extension Theorem返回前进二、二、 解的延拓定理及其推论解的延拓定理及其推论1 1 解的延拓定理解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数),(yxf在有界区域 G中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ),(00yx 的解)(xy可以延拓。 直到点)(,(xx任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果 )(xy只能延拓的区间mxx0上，则当mx 时， )(,(xx趋近于区域 G 的边界。 3.2 Extension Theorem返回前进2 2 推论推论如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,
33、方程(3.1)的通过点),(00yx的解 )(xy以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况: 可以延拓，(1) 解)(xy可以延拓到区间),0 x(2) 解)(xy只可以延拓到区间),0mx其中m 为有限数，则当 mx 时，或者 )(xy无界，或者)(,(xx 趋于区域 G 的边界。 3.2 Extension Theorem返回前进 例例1 1讨论方程212ydxdy以及通过点 (ln2,-3) 的解的存在区间。解解的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的条件。xxcecey11方程的通解为通过点(0,0)的解为xxeey11其
34、存在区间为),(通过点(ln2,-3)的解为xxeey11其存在区间为 x0 3.2 Extension Theorem返回前进-3(ln2,-3) -1 x y 1 ln2 但向左方只能延拓到 0, 过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到xxeey11因为当 0 x时,y这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。注意注意：(无界) 3.2 Extension Theorem返回前进 例例2 2讨论方程xdxdyln1的解的存在区间。满足条件0) 1 (y方程右端函数右半平面 x 0 上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。解解通过点(1,0)的解为xxyln其存在区间为),
35、0( ，但向左方只能延拓到 0, 向右可以延拓到因为当 0 x时,0lnxxy这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。(趋于G的边界 y=0 ) 3.2 Extension Theorem返回前进练习练习1 讨论方程2ydxdy的解的存在区间。上满足条件1) 1 (y31x1) 1 ( yand在 3.2 Extension Theorem返回前进练习练习1 讨论方程2ydxdy的解的存在区间。上满足条件1) 1 (y31x1) 1 ( yand)3 , 0( ),2 , 1(在 3.2 Extension Theorem3.3 解对初值的连续性和可微性/Continuous and d
36、ifferentiable dependence of the solutions/ 返回前进 解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性本节要求本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要内容提要3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，)
37、,(,),(0000 yxxyGyx是初值问题00)( ),(yxyyxfdxdy的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability),(00yx),(yx),(00yxxy返回前进3.3.2解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，),(,),(0000 yxxyGyx是初值问题00 yxyyxfdxdy)(),(的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的
38、 ，必存在正数， 使得当bxa)(bxa00),(ba2200200)()(yyxx时，方程满足条件 的解00yxy)(),(00yxxy在区间bxa也有定义，并且bxayxxyxx 0000,),(),(3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进引理引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式)()(xx及000 xxLexxxx)()()()(其中 为所考虑区间内的某一值。0 x3.3
39、Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进（二）解对初值的连续依赖性（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数),(),( ba使得只要 满足不等式2200200)()(yyxx则解 必然在区间 00yx ,)(),(xyxxy00bxa也有定义。由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为),(00yxxy和)(,(cc,),(,(dcdd这是必然有.,bdac3.3 Continuity & differ
40、entiabilityContinuity & differentiability返回前进因为否则设 则由引理,bdacdxcexxxxxxL,)()()()(000由 的连续性，对)(x,)(abLe211必存在,02使得当 时有20 xx10)()(xx取),min(21则当2200200)()(yyxx022002xxLexxxx)()()()(0220000 xxLexxxx)()()()(3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进022002xxLexxxx)()()()(0220000 x
41、xLexxxx)()()()(02200200 2xxLexxxx)()()()(222 ()1002 L b ayye )(abLe2214dxc,于是)()(xx对一切 成立，特别地有, dcx)()(cc)()(dd即点和)(,(cc)(,(dd均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。)(x3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进)()(xxdxc,在不等式中，将区间c，d换为a，b ，可知 ，当2200200)()(yyxx时，有bxayxxyxx
42、 0000,),(),(定理得证。3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,3.3 Continuity & differentiabilityContinuity & differentiability返回前进3.4 奇解奇解包络和奇解包络和奇解克莱罗方程（克莱罗方程（Clairant
43、EquationClairant Equation）本节要求：本节要求：1 了解奇解的意义；2 掌握求奇解的方法。主要内容主要内容返回前进一一 包络和奇解的定义包络和奇解的定义曲线族的包络：曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解奇解。 注注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。返回前进例 单参数曲线族222Rycx
44、)(R是常数，c是参数。xyo显然，Ry是曲线族 的包络。 222Rycx )(一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。返回前进二二 求奇解（包络线）的方法求奇解（包络线）的方法l C-判别曲线法判别曲线法l P-判别曲线法判别曲线法设一阶方程0),(yyxF的通积分为。0),(Cyx1 C-判别曲线法判别曲线法结论结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组00),(),(CyxCyxC消去 C 而得到的曲线中。返回前进00),(),(CyxCyxC设由能确定出曲线为)(),(:CyyCxxL 则0),(),(CCyCx对参数 C 求导数0),(),()(
45、),(),()(),(),(CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyx从而得到恒等式0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx返回前进0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx当),(),(CyxCyxyx至少有一个不为零时有,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCxCyyx或,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCyCxxy这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C),y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。0),(Cyx注意：注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有
46、其他曲线，尚需检验。检验。返回前进例例1 求直线族0pyxsincos的包络，这里 是参数，p 是常数。解：解：对参数 求导数0cossinyx联立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，经检验，其是所求包络线。xyop返回前进例例2 求直线族03232)()(cxcy的包络，这里 c 是参数。解：解：对参数 c 求导数02)(cxcy联立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323)()(cxcx从 得到0cxxy 从 得到92 xy032 )(cx因此， C-判别曲线中包括
47、了两条曲线，易检验， 是所求包络线。92 xy返回前进xyoxy 92 xy返回前进2 p-判别曲线判别曲线结论结论：方程 的奇解包含在下列方程组00),(),(pyxFpyxFp0),(yyxF消去 p 而得到的曲线中。注意：注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。检验。返回前进例例3 求方程0122ydxdy的奇解。解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解。020122pyp1y因为易求得原方程的通解为)sin(cxy而 是方程的解，且正好是通解的包络。1y返回前进例例4 求方程22dxdydxdyxy的奇解
48、。解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。02222pxpxpy2xy 注意：注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判判别曲线和别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。判别曲线是不是奇解，必需进行检验。返回前进 3 克莱罗方程克莱罗方程形式)(pfxpy其中)(,pfdxdyp 是 p 的连续函数。解法解法ppfpxpp)(0ppfx)(0 pcp )(cfcxy)()()(pppfypfx通解奇解返回前进例例5 求解方程pxpy1解：解： 这是克莱罗方程，因而其通解为消去 c，得到奇解xy42cxcy1cxcycx1012从返回前进例例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。解解 设要求的曲线为)(xyy 过曲线任上一点 的切线方程为),(yxyxXxyY)(其与坐标轴的交点为),(yyxxyy 切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为2 21)(yyxxyy返回前进2 21)(yyxxyyyyxy42)(yyxy2yyxy2这是克莱罗方程，因而其通解为112cxcyxcc22 消去 c，得到奇解1xy从02222cxxccy这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。
