1、第三章 纳维-斯托克斯方程组n迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单独求解温度（2-4）n在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷诺数有效，即本质上是层流解。n在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出，不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项变为零。2222,grad(grad
2、 )0(grad )grad()0,01()uuuuuuupt 若存在位函数使则由连续方程可得于是得可见 若此位函数 满足不可压无粘运动方程组n但是位势解一般不能满足无滑移边界条件，因为，若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零。所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运动时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际意义的解（见3-3）。2201()0.uuuuputu 则它也满足对应的粘性方程组因它使n本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且描述关系中不再包
3、含导数或积分号。第二类是相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解表示。在所得出的这些常微分方程（组）中，有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解也有通用性，故常列表给出。3-1 平行定常流动中的 速度分布,.,(2.1.3),0,( , , ),0,0,uvwxuxuu y z t vwFHFHPPpH 平行流动是特别简单的一类流动 其定义是只有一个速度分量不为零 所有流体微团沿同一方向运动不失一般性 可设全流场和 都为零 则由不可压流量连续方程式可知即分量 不随 变化 所以对于平行流可得设彻体力 有势 即存在势函
4、数使则可引入压力函数使2222(2.2.8)/0/0,( , ).(3.1.1),(2.2.8),dd( , , ).yzPyPzPxtPP t xxuPuutxyzu y z t 于是由不可压纳维斯托克斯方程关于和 向的分量可得和即压力函数 只是坐标 和时间 的函数由平行流定义式可得 动量方程关于 向的分量方程中平流项为零 于是此即关于的线性微分方程以下分几种情况分别求解1.二维泊肃叶流动22,(3.1.2)dddd,3.1.1,:02.Puxyyh uh 对于两个平行直壁之间的定常二维流动 方程成为若两平行壁面都是静止的如图所示 则边界条件为其中为壁间距离22222max2max,(3.1
5、.3),dddd,(3.1.4),d12d.d.,2d1PxuyPuxyyhPyuxhhPuxyuuh 由于 只是 的函数 而 只是 的函数 若要方程成立 必须常数将此式对 积分 考虑到边界条件则可见速度剖面为抛物型等式右端的负号表示速度指向压力降低的方向若用表示中线上的最大速度 则速度剖面可表示为2.库埃特流动n这是另一种平行直壁之间的流动，其中一个直壁静止不动，另一直壁在自身所在平面内沿流向移动（图3.1.2）。这时方程(3.1.3)仍然成立，因而式（3.1.5）也成立，但边界条件应改为:0:.yh uyh uUU 其中 为上壁面平移速度n这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运动壁
6、面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B有关22(3.1.3)d1122d12UyhPyuhxhUyuh方程满足此边界条件的解为当压力梯度为零时2ddhPBUxn图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B0，即压力沿流动方向下降，称为顺压力梯度，在整个槽道内速度为正值。当B0，压力沿流动方向增加，称为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆流的条件是2d0d(3.1.8)dd21/21,2yhuyPUxhBB 由式可知此条件对
7、应于当时 速度大的流层对静止壁面附近流体微团的拖动力不足以克服逆压力梯度,因而出现逆流.3.哈根-泊肃叶流动n这是直圆管中的平行流动。为保证是真正的平行流动，需要满足两个条件：第一，以管道直径为特征长度的雷诺数应低于某临界值以保证流动为层流（第七章）；第二，管道足够长，以形成充分发展了的管道流(10-6)。22,(3.1.3),.,:,;d,.,d,( 3.3.14 )d1 dddddxuuxrPPrxxAcuuPrrrx现以管道中心线为圆柱坐标系轴线 并用 表示图该方向速度为 对于平行流动 径向和周向分速度为零 故可按照与前面类似的讨论得知不随 变化 只随径向位置 变化 压力 不随 变化 只
8、随 变化 且常数这时由圆柱坐标系表示的动量方程 附录三 式可得2200212220(3.1.5)d1 ddddd:0d0:0d.(3.1.13b)1 dlnd41 d()4duuPrrrxrruurrrP ruCrCxPurrx 仿照推导式的过程可得常数边界条件为其中 为管道半径积分式得到代入边界条件可得022004020020,.:1 d-(-)2d4dd-8d:d-8drAPGudArrr rxrPxrGPUrx可见 这是轴对称的旋成抛物面由此可求出下列工程上常用的各种参数流量断面平均流速0222max0000max00020:1 d1d()4d4d12:4d1dd2d:161Re2rwr
9、 rwfPPurrrxxUuUuPrrxrCU 最大速度因此壁面切应力壁面摩擦阻力系数002022010212121212Re2,.2(,),22ffU dddrhUpzggzUUpphzzggggppzzgg其中雷诺数定义为为圆管直径工程上常用到沿程水头损失它实际上是机械能的耗散若用代表某截面上单位重量流体的总机械能其中 为该截面在某一坐标系的高度 代表彻体力对应的势能 则两个截面间的沿程水头损失为Pg0102020,d.,dd1d,d2d12fUUPpgzPzxhPPll gxgfPrxfU 这里利用了等截面管并设在重力场中 压力函数其中 轴方向与重力方向相反由于为常数 则单位长度上沿程水
10、头损失为引入摩阻因子 以反映水头损失 其定义为20(3.1.24)2(3.1.17)(3.1.25)64Re3.1.4,(3.1.27),.(3.1.21)(3.1.27),4fffUlhfdgffCfC则由式可得沿程水头损失将式代入式则得由图可见由式确定的理论摩阻因子与实验符合得很好 但这只适用于低雷诺数层流流动管道摩阻因子 与壁面摩阻系数有关由式与式可见 对于这里讨论的管道平行流 其关系为3-2 平行定常流动中的 温度分布n前已指出(2-4)，不可压缩流体的流动是非耦合的，可以由质量和动量方程解出速度和压力场后再用能量方程求解温度场。不可压缩流体的能量方程常用式（2.3.18）表示。n对于
11、简单的平行定常流动，能量方程也可进一步简化，并利用前面得出的速度场和压力场的解析解求得温度场的解析解。1.二维泊肃叶流动2,(3.1.1).,0,(2.3.4 ),(3.2.1),0wwTyhTTvbuyTx 设上下直壁具有恒温则应有如下边界条件 参看图对于平行流动则由式可知 这时的耗散函数可化为很简单的形式在恒温边界条件式情况下 若温度剖面也是完全发展了的 则应有222222max2442max,0,(2.3.18)dddd(3.1.6b)4dd(3.2.1)( )13.wQTukyyuTkyyhuyT yTkh 若不存在化学反应等热源 即则能量方程可简化为将已解得的速度分布式代入此式则得积
12、分此式并注意边界条件则得可见温度分布为四次抛物型n应当指出，与耗能有关的温度分布在中心线处最高，但这并不意味着中心线处的耗散最高，恰恰相反，由速度分布式（3.1.6b）可见，中心线处耗散最低，而壁面附近耗散最高。由式（3.2.4）可见，温度分布是由耗散分布与导热特性决定的，即是说，一种给定的耗散分布要求一种相应的温度分布才能将耗散生成的热量传导出去，以达到温度的平衡状态。容易看出，只当在壁面附近温度梯度有较高的空间变化率时才能将当地生成的大量耗散热传导出去。2maxmax.30m/s,/3 ,0.2 C,0.5 C.,uuk此式右端第二项代表粘性耗散引起的温度增量在时 最高温升对空气约为对水约
13、为因此 除了粘度较大,导热系数较低的流体或高速流动的情况外,耗散总是可以忽略的.2.库埃特流动*2*32*4,:,(3.2.4),(3.1.8),(3.2.7),1PrPr(1)()()286Pr(1)12ewweUTTyh TTyh TTEcEcBTyyyyEcBy 设以恒速在自身平面内平移的上直壁具有恒温静止的下直壁具有恒温即温度边界条件为对于库埃特流动 简化的能量方程仍有效 将解得的速度分面式代入此式 积分两次 利用边界条件式最后可得*2()(3.1.10).wewpewTTTTTTyyhEcUEcc TTB其中为量纲一温度数在这里的定义为由式定义3.2.1.(3.2.8),d0,0d.
14、0(3.2.1a),d /d0,.,PrPUxBPxUEc图给出了库埃特流动的温度分布由式可见 右边第一项相当于时两壁间由于温差而产生的纯导热的温度分布图的情况由右边第一项与第二项描述 它对应于只由上下壁的速度差和温度差而引起的温度分布第二项说明 若上壁速度越大 则流体耗散率就越大 这就要求更大的温度梯度的变化率 才能将耗散热传导出去 这是量纲一参数影响温度.分布的一种因素24*4,(3.2.8),d(1)12()d,ewBhPTykTTxU当 足够大时 式中只保留最后一项 成为即温度分布与上壁平移速度无关 呈现出泊肃叶的四次抛物型特征参看式(3.2.6).哈根-泊肃叶流动的温度分布与二维泊肃
15、叶流动类似,读者可在习题中自己推导.本节的讨论均未考虑浮力引起的自然对流.基本流动为水平方向哩,垂直方向的自然对流会使平流假设不再适用.3-3 同轴旋转圆筒间的 定常流动122111222.,.,0.:0,:0,.zrrrrrurr uurrruuruu1可求得纳维斯托克斯方程组精确解的另一例子是两同轴旋转圆筒间的定常流动设内外圆筒的半径分别为 和它们分别以等角速度和旋转设流体运动只限于旋转平面内而无沿旋转轴方向的运动 即轴向速度边界条件应为其中为周向分速度为径向分速度2222,0.,( 3.3.14a)( 3.3.14b)()1 dddd10dd(3.3.3)ruuprAAuprruuurr
16、rrBuArr由于几何条件和边界条件的轴对称性质 且流场中没有源或汇 对于定常流动 必有所以和压力 都只是 的函数若忽略彻体力 对于定常 不可压流 在圆柱坐标系中的径向和周向动量方程和见附录三成为式的一般解为2222122 21 121222112(3.3.1),1()()(3.3.2).(3.3.4)(3.3.5),/.,.0,(3.3.5)ABr rurrrrrrArB rrur由边界条件可定出系数 和于是最后可得将此式代入式则可解得压力沿径向的分布速度解式或式表明 它们是由刚体转动式的旋涡与等环量势流两部分组成在如下的极限情况下 只有某一部分起作用当内圆筒半径时 式成为221112111
17、1.,(3.3.5)22.,rrurrr 即完全的则体转动式速度分布当外圆筒静止不动且半径时 式成为其中即是说 这时的速度分布与强度为的点涡在无粘流中诱导的速度分布是完全一样的.所以,在这种情况下,点涡周围的无粘流解也就是纳维-斯托克斯方程的解.这是一个特殊的例子,无粘流解既满足粘流的边界条件,也满足粘流方程本身.22222121222122220,.( 3.3.10)d-d(3.3.5),2 (-)-4(d-rrrr rrMAuurrrrrrrMr 根据所得出的速度分布 可进一步求出作用在圆筒上的摩擦力矩以及维持这样的运动所需消耗的机械能由附录三式可得摩擦切应力将式代入此式 令可得外筒内壁上
18、的切应力由此可求得流体作用在单位高度外圆筒内壁上的摩擦力矩为2212122221-)-r rrr122221212122222112,4()0,.,.MMr rMMrr 1请读者在习题中证明内圆筒外壁上受到的摩擦力矩与外筒内壁上受到的摩擦力矩大小相等 方向相反.由此可得单位时间内克服作用在单位高度上内外圆筒上摩擦力矩所消耗的机械能为N=令或可得滑动轴承的摩擦损失公式应当指出 实际的滑动轴承由于负荷作用而使内外筒不同轴所以上述公式有一定误差1212(3.3.9),0,().1890,.,.MM在公式中 若令则可用测量外筒旋转速度和内筒力矩的方法算出粘性系数 这是库埃特年提出的方法 现仍在应用上述
19、讨论都是在定常和轴对称条件下进行的 第七章将指出 在某些情况下流动可能变得不稳定而出现其他运动形态3-4 平行非定常流动22.,0,0,0,.,.vwpuxuytuuty首先考虑直壁在自身平面内做非定常平移所引起的流动设仍为平行流动 且压力为常数 即常数对于不可压缩流 由连续方程可得即对于二维流动 速度 只随 和 变化这时 迁移加速度项为零 摩擦力仅与当地加速度相互作用 流向动量方程成为这是典型的扩散方程1.直壁突然加速0,0:0,0:,00,:,0,0,0,0.ttUUtuytuUyuytyty 设起初壁面和流体完全处于静止状态 在时刻直壁突然加速到并维持恒速则定解条件为对于所有的对于对于此
20、定解问题相当于如下的热扩散问题 起初与周围温度相等的物体 在时 突然将其的一端加热到某个高于周围的温度 求解时 热量沿的空间扩散2(3.4.3)20( )(3.4.4)0:1:0ytffufUff 利用变换可将偏微分方程化为如下的常微分方程其中定解条件化为20,(3.4.6)2( )1d1 erf( )erf( ).3.4.1.(3.4.5),.ufeU 在此定解条件下 方程的解为式中称为高斯误差函数图给出了流场的速度分布可见用变换式是很方便的 它把不同时刻的速度分布综合成了一条曲线242(3.4.9a).-e,0,0(/).(2.9.10),.ytuUyttyyt由式可以得出涡量 的分布对于
21、所讨论的平行流动可得由此式可见 平板突然加速的瞬间 即时 在平板壁面处 保持有界趋于无穷大这说明了涡量在固壁产生的情况将此式与式比较可见 平板突然加速产生的涡及其扩散的形式与点涡基本一样000.(2.9.13)(3.4.9 )ddd,.2-9-5,.d /dAyyIauIAyyUyUpx 现考察单位长度平板上从到的区间内的涡通量由涡通量 的定义式并考虑到平行流的特点和式可得可见 当时 上述单位长度平板上的半无限区域内的涡通量为常数 且等于平板速度与讨论过和点涡情形一样 此结果说明 如果区域内无新的涡源 单纯的涡量扩散不会改变无限大区域内总的涡通量对于0,(3.4.3),(3.4.4).,.的二
22、维库埃特流 平板突然加速时的运动方程仍为式但边界条件不再是式此即二维库埃特流的形成问题 其解可用级数表示3-8 可压缩流体的库埃特 流动n本章以前各节所考虑的解都是针对密度及其他输运特性系数为常数的流体的。本节将以库埃特流动为例考虑压缩性及其他输运特性变化的影响。由于密度不再是常数，必须把能量方程与质量、动量方程耦合起来，一道求解。加之粘性系数和热传导系数k可能发生变化，使问题更加复杂。因而，对于可压缩粘性流动至今只得到了很少数几个准确解。且所有的准确解都仅适于简化的情况，即只有一个速度分量随一个坐标变化。有两个典型的例子：n（1）正激波，在激波厚度内只有沿流向的梯度；n（2）可压缩的库埃特流
23、动，这是沿横向有梯度的流动。我们只讨论后者。2eee222111211,e.,(2.4.1),/(1),1(1)(1)/.,.,pppvEcUEcc TcRUUEcM aR TaccMaEcMa在第二章讨论量纲一相似参数时曾提到埃克脱数这里可定义为其中角标 表示某参考点的值对于气体 若用完全气体状态方程并用关系式则可得其中 为比热比可见 对于完全气体 马赫数与埃克脱数都可反映压缩性问题在气动力学中数用得较多而在与换热有关的.Ec问题中数用得较多1.可压流库埃特流动的定解问题3.8.1,.,:0,:,eweepUyyh uTTyh uU TT 如图所示的库埃特流动 压力 为常数 底板固定 顶板以
24、恒速在自身所在平面内平移流体的运动全部是由顶板的拖动作用造成的不考虑沿 向的自然对流由图可见 流动的边界条件应为,00, ,., ,.(3.8.4)(2.1.2b).(2.2.5)(2.3.20)dd0,ddddd()0ddd(1.4.6).ewvSxSu p Tu TyuyyTukyyy在上述条件下 流动为平行流 即其中为等物理量在二维定常条件下和 都只是 的函数条件使质量方程自动满足动量方程和能量方程分别成为或常数后一式中应用了傅里叶热传导定律,( ),( ),( ),( ).(3.8.6),0,.wyhwkTkk TTyy kk ydTkuCdyudTCkqdyq 设粘性系数 和热传导系
25、数 都只是温度的函数且函数关系已知 记为由于温度 又只是 的函数 故应有所以定解问题应是可解的积分能量方程一次 则得在下壁处故可得其中为下壁处的导热率222(3.8.9)(3.8.5)dddd2/,d2,(3.8.12)1d2wewwTTwTwweTekuyuTCCkTukCTukCqUTU 式可用式改写为因为只是 的函数 可对此式从下壁到两壁之间的任一点积分 则得利用上壁面的边界条件 注意到式可写为0(3.8.5)d1d(3.8.12),( ),(3.8.14).,(3.8.12)(3.8.14),.uwyyhuTuTuuu TykT将式两端乘后积分可得由于式已建立了 与 之间的关系 而 又
26、只是 的函数 所以可以认为已建立了 与 之间的关系于是式可积总之 式和式形式上解得了与 的关系 但若 和 与 的关系复杂 则只能用数值方法求解2.解析解2,/.,0 C1000 C,(1.4.5)(1.4.8),82%,64.7%,10%./,Pr.,(3.8.13)PrPr2,0wpewweepwkTkkkcUCqTTUcq许多情况下 虽然 和 都随 变化 但其比值却几乎不变例如对于空气 温度从增加到按萨瑟兰公式和式计算增加增加而其比值又增加所以设常数是很好的近似 这相当于近似假设为常数引入此近似后 式成为设底壁绝热 即2,.(3.8.15),Pr2awweawepTqUTTc此壁温称为绝热
27、壁温 记为由于只当式右端括号内的值为零时才可能为零 由此可得出绝热壁温22(3.8.1)(3.8.2),111Pr1Pr22(3.8.13)(3.8.12)PrPr122aweewweeeeeneeTEcMaTCTTTEcuEcuTTTUUTT 利用式和式此式可写成将式得到的常数 代入式后积分可得若取幂次粘性公式2321,(3.8.18)(3.8.14),1 PrPr122,(3.8.14)(2/)1Pr12Re6ReewweweeeeefweewfeeeenTTuEcuEcuyhUT UTUUCUTEcCTU h 且取将式代入式积分可得利用同样的关系 将式积分到上壁时可得壁面摩擦阻力系数其中
28、,(3.8.18),(3.8.20)(3.8.21),.,(3.8.17)(3.8.21)122Pr2Re3,(3.8.21)112Pr2Re6awfwefTCEcTTCEc当下壁给定不同温度条件时由式式和式给出的速度 温度和摩擦阻力系数的关系会有相应的变化例如 若给定下壁绝热壁温时 则由关系式和式可得若下壁为冷壁 即则式成为2,.,.(3.8.17)(3.8.18)1Pr2,(6-6).3.8.2,(ffwawweeeeeCEcCTTTTuuEcTTTUUEc由所得关系可见随加热和数而增大 这是由库埃特流动得出的结论但这不适合边界层流动 因为加热和增大马赫数都会使边界层厚度增大 使稍有下降将
29、式代入式可得此式是很有用的关系 称为克罗柯布泽曼公式从这些式子可看出用数很方便图给出的速度 温度的分布 是根据式 3.8.20)(3.8.25).和式作出的3.复温因子n许多工程技术问题使我们关注高速运动物体表面的温度。例如空气飞行器再进入地球大气层时由于速度很大可能达到很高的表面温度。由于多种原因，壁面温度并不等于外流滞止温度，现用库埃特流为例研究这一问题。2,2aweaeepTUTTc我们将下壁的绝热温度称为恢复温度 并注意上壁处流体的滞止温度为22()/22(3.8.16),Pr.(2.3.20)(3.8.6),.Pr,Pr1,aweaweaeeepeawepTTTTTTUcUTTc由此
30、可定义温度恢复因子或简称复温因子则与式比较容易看出 对于加埃特流由总焓方程式或式可以看出 在这里所讨论的流动条件下 流线之间总温的差别取决于流线之间的热传导以及粘性应力对机械能的输运由于数反映粘性效应与热传导效应的比值 若说明热传导1/3,.,Pr1,.,.,Pr(66);,Pr.的散热作用超过粘性应力输运作功的作用因而底壁滞止温度低于顶壁滞止温度相反 若则散热作用小于粘性应力作功的作用 底壁滞止温度将高于顶壁滞止温度这些讨论也适用于层流和湍流边界层 但它们的温度恢复因子不同对于层流边界对于湍流 至少对于气体4.雷诺比拟01.(3.8.15)(3.8.16)()Pr.,.()(3.8.28)2
31、PrawwpwwawewwwweepwawfTTcqTTUqqqStU c TTStC以上讨论了底壁绝热的情况当底壁温度 不等于绝热壁温度时将有通过底壁的热传导利用式和式可得正表示热从壁传到流体可见这正是雷诺比拟概念的基础现定义斯坦顿数将它代入式则得*.,(Pr,),.,Pr.,.,(3.8.30),(3.8.29)wwffqStfxCxxCSt这是由库埃特流动得出的对于更一般的流动 假设引入雷诺比拟概念 可得几何形状其中 为沿流向的量纲一坐标 它反映流动的发展过程对于中等压力梯度和常壁温的许多实际情况和几何形状的影响可以忽略 但随可有不同的关系对于难以解析分析的许多问题 雷诺比拟带来很大的方便例如由式可见 若已知则可算出 数 进而可由式.算出壁面导热率
