1、13-1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理vmp 一、冲量一、冲量 质点的动量定理质点的动量定理1.质点的动量质点的动量 质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量。质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量。动量是矢量，与速度的方向相同。单位是：动量是矢量，与速度的方向相同。单位是：kgm/s。tFI 2.力的冲量力的冲量 力和力的作用时间的乘积称为力力和力的作用时间的乘积称为力的冲量。冲量是矢量。单位：的冲量。冲量是矢量。单位：Ns 。 21dtttFI3.变力的冲量变力的冲量 变化的力，在一段时间内变化的力，在一段时间内(t1t2)的累积量为：的累积量为：2tFmpd)d(d
2、 v4.动量定理动量定理 对牛顿第二定律的微分形式的两边积分可得：对牛顿第二定律的微分形式的两边积分可得： ItFmmmtt2 2121d)d(1vvvvv pppI12或或物体在运动过程中所受物体在运动过程中所受合外力的冲量合外力的冲量，等于该物体，等于该物体动量的增量。这个结论称为动量的增量。这个结论称为动量定理动量定理。35.动量定理的分量形式动量定理的分量形式 zttzzzyttyyyxttxxxItFmmItFmmItFmm212121ddd121212vvvvvv kIjIiIIzyx46.动量、冲量方向的确定动量、冲量方向的确定(1)动量方向动量方向由速度的方向确定。由速度的方向
3、确定。(2)冲量方向冲量方向由物体始、末动量由物体始、末动量矢量差矢量差的方向确定。的方向确定。 vvvmmmpppI12127.冲力冲力 在极短的时间内、量值很在极短的时间内、量值很大、变化迅速、作用时间很短大、变化迅速、作用时间很短的力称为的力称为冲力冲力。平均冲力平均冲力变力变力F 的平均大小。的平均大小。ptFdtFttFtt 211211t2ttFF51.质点系的动量定理质点系的动量定理 系统由系统由m1、m2、mn的的 n 个质点组成。作用于个质点组成。作用于系统的合外力为：系统的合外力为： 21dttextF结论：结论：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。作用于系统的合外
4、力的冲量等于系统动量的增量。这就是质点系的动量定理这就是质点系的动量定理 niiiniiimm101-vv0p-p exF则有：则有：exF是作用于系统内每一质点的外力的矢量是作用于系统内每一质点的外力的矢量和和二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理62.无限小时间间隔内的质点系的动量定理无限小时间间隔内的质点系的动量定理ptFexdd 或或tpFexdd 作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率。间的变化率。 pppI12三、课堂讨论三、课堂讨论“船行八面风船行八面风”7例例1一质量为一质量为0.05 kg、速率为、速率为10 ms-1的刚
5、球，以与钢的刚球，以与钢板法线呈板法线呈45角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为和角度弹回来。设碰撞时间为0.05 s。求在此时间内钢。求在此时间内钢板所受到的平均冲力。板所受到的平均冲力。1vm2vmxy O解解:由动量定理得：由动量定理得：xxxmmtF12vv cos2vm )cos(cos vvmm 0sinsin vvmmyyymmtF12vv 方向受到的冲力。方向受到的冲力。方向和方向和分别是小球在分别是小球在和和yxFFyx8方向与方向与Ox轴正向相同。轴正向相同。N1 .14cos2 tmFFx v1vm2vmxy
6、O是是小小球球受受到到的的合合冲冲力力。FFF 根据牛顿第三定律，钢板所根据牛顿第三定律，钢板所受到的平均冲力受到的平均冲力 为：为：F F F N1 .14 F方向与方向与Ox轴负向相同。轴负向相同。9例例2 一柔软链条长为一柔软链条长为l，单位长度的质量为，单位长度的质量为 ，链条放在，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链条因自身重量开始下落。在小孔周围。由于某种扰动，链条因自身重量开始下落。求链条下落速度求链条下落速度 v 与与 y 之间的关系。设各处摩擦均不计之间的关系。设各处摩擦均不计,且
7、认为链条软得可以自由伸开。且认为链条软得可以自由伸开。m1m2Oyy解：解： 以竖直悬挂的链条和桌面上以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系：的链条为一系统，建立坐标系：yggmFex 1由质点系动量定理得：由质点系动量定理得：ptFexdd )d(dd1vymp v10)d(dvytyg tyygddv ygFex ptFexdd )d(dvyp m1m2Oyy两边同乘两边同乘以以ydy, 则：则： vvvyyyyyygyddddd2 t vvvyyyyyyg002dd2132 gy v 232131vygy 11一、质点系动量守恒定律一、质点系动量守恒定律1.系统的动量守恒定律
8、系统的动量守恒定律00 p-p32 动量守恒定律动量守恒定律量量：时时，系系统统的的总总动动量量的的增增，即即当当系系统统所所受受合合外外力力为为零零0exF系统的总动量保持不变，即系统的总动量保持不变，即恒矢量恒矢量 niiimp1v2.动量守恒定律的分量式动量守恒定律的分量式当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。 000321exzizizexyiyiyexxixix FCmp FCmp FCmpvvv式中式中C1、C2和和C3均为恒量。均为恒量。12二、如何正确使用动量定律二、如何正确使用动量定律1.合外力为零，是指系统所受的
9、合外力等于零，即系合外力为零，是指系统所受的合外力等于零，即系统可以受外界的作用，只要总的作用为零即可。统可以受外界的作用，只要总的作用为零即可。2.如果合外力不为零，则在合外力方向上动量不守恒，如果合外力不为零，则在合外力方向上动量不守恒，但是总动量在与合外力方向垂直方向上的分量依然守但是总动量在与合外力方向垂直方向上的分量依然守恒。恒。3.如果如果外力外力内力内力，可以把，可以把外力外力忽略，近似认为忽略，近似认为系统系统动量守衡。动量守衡。 4.动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的守恒定律动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的守恒定律之一。之一。13 epNpp( (中微子中微子) )(
10、(电子电子) )例例1设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子和一设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核。已知电子和中微子个中微子后成为一个新的原子核。已知电子和中微子的运动方向互相垂直的运动方向互相垂直, 且电子动量为且电子动量为1.2 10-22kgms-1,中微子的动量为中微子的动量为6.4 10-23 kgms-1。问新的原子核的动。问新的原子核的动量的值和方向如何？量的值和方向如何？解解: 根据动量守恒定律根据动量守恒定律: pppN0e pp e pppN2122e)( Np-122smkg1036. 1 oe9 .61arctan pp ooo118
11、.161.9-180 或或14例例2一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以2.5 103 ms-1 的速率相对惯性的速率相对惯性系系S沿水平方向飞行。空气阻力不计。现使火箭分离为沿水平方向飞行。空气阻力不计。现使火箭分离为两部分两部分, 前方的仪器舱质量为前方的仪器舱质量为100kg，后方的火箭容器质，后方的火箭容器质量为量为200kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率为，仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0 103 ms-1。求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速度。求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速度。13sm1052 .v13sm1001 .vkg2002 mkg1001 m21vv、求求：xzyox z
12、ySS ovv1m2m1v2v15解：解： vvv 21221121)(vvvmmmm 131sm10173 .v13sm10172 .mmmvvv2112 xzyox zySS ovv1m2m1v2v16*33 系统内质量移动问题系统内质量移动问题1.质量改变的原因质量改变的原因 质量的改变是由于物质的质量的改变是由于物质的增加或减少增加或减少引起的，而不引起的，而不是由是由相对论效应相对论效应所引起的质量改变。所引起的质量改变。2.类型类型 (1)某物体在运动中不断俘获另外一些物体而共同运动；某物体在运动中不断俘获另外一些物体而共同运动； 例如，水滴在水蒸气中下落、从山上滚落的雪球等。例如
13、，水滴在水蒸气中下落、从山上滚落的雪球等。(2)物体在运动中不断的释放某些物体。物体在运动中不断的释放某些物体。 例如，火箭发射。例如，火箭发射。3.变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程17vm 时刻时刻 t um m-m 时刻时刻 t + tvv vmtp ,t 系系统统的的动动量量为为：时时刻刻 umm-mttp , tt vvvv系系统统的的动动量量为为：时时刻刻 tp-ttpp , ttt 系系统统的的动动量量的的增增量量为为：时时间间间间隔隔内内18:律律为为系系统统动动量量随随时时间间的的变变化化 vvvvvm-umm-m tp-ttpp mump vtmutmtpdddddd
14、 v时时间间的的变变化化率率。是是火火箭箭喷喷射射的的粒粒子子流流随随tmddtm-tmdddd 19tmutmtpdddddd vtm-tmdddd tmu-tmtpdddddd v:则则有有表表示示系系统统所所受受的的合合外外力力如如果果,Ftmu-tmtpFdddddd vtmuFtmdddd v。称称为为火火箭箭发发动动机机的的推推力力tmudd 2034 动能定理动能定理一、功一、功1.功和能功和能(1)能量能量能量是物体所具有的做功的本领，能量越大，能量是物体所具有的做功的本领，能量越大，做功的本领也就越大。做功的本领也就越大。(2)能量的转换能量的转换在一定的条件下，不同运动形式
15、之间可在一定的条件下，不同运动形式之间可以发生相互转化，因此不同形式能量之间也可以转换。以发生相互转化，因此不同形式能量之间也可以转换。(3)功功功是能量转移或转化的过程，它是一个过程量功是能量转移或转化的过程，它是一个过程量。功是能量交换或转换的一种度量。功是能量交换或转换的一种度量。能量变化除了作功外，能量变化除了作功外，还可以通过热传导方式来实现。还可以通过热传导方式来实现。21 cosFsW 大小：大小：功是标量，有正负。功是标量，有正负。 sFW2.恒力的功恒力的功(1)恒力的功定义恒力的功定义(2)功的正负功的正负 。，；，；，02/02020W W W (3)功的单位功的单位焦耳
16、焦耳，用，用 J 表示，表示，1J=1Nm(4)合力作功合力作功nFFF21,作用于一点，合力作功为：作用于一点，合力作功为：niiiWWWWSFsFW 21)( 合力所作的功等于分力所作的功的代数和。合力所作的功等于分力所作的功的代数和。22 bLazyxbLabLazFyFxFrFsFW)ddd(ddcos s0的一小段路程：的一小段路程：ds。 cosdcosdddsFrFrFW (2)元功元功(3)功的一般表达式功的一般表达式0 r的一小段位移：的一小段位移：rd3.变力的功变力的功(1)路程元和位移元路程元和位移元 niinWrFFFrFW121d).(d(4)几个力同时作用时的功几
17、个力同时作用时的功23tWP (2)平均功率平均功率4.功率功率(1)功率功率力在单位时间内所作的功。力在单位时间内所作的功。(4)功率单位功率单位 瓦特瓦特(W)，1W=1J/s。(3)瞬时功率瞬时功率 cosddddvvFFtrFtWP 24例例 1一质量为一质量为 m 的小球竖直落入水中，的小球竖直落入水中， 刚接触水面刚接触水面时其速率为时其速率为v0。设此球在水中所受的浮力与重力相等，设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为水的阻力为Fr=bv, b 为一常量为一常量。求阻力对球作的功与求阻力对球作的功与时间的函数关系时间的函数关系。0vxo解解: 建立如右图所示的坐标系建立如右
18、图所示的坐标系xbrFWdd vtbttxbdddd2 vv又由又由 2 - 4 节例节例 5 知知tmb e0vvtbWttmb 020de2v)1(e21220 tmbmv25221vmEk (1)动能定义动能定义(2)实验表明，实验表明，当外力对当外力对质点作功时质点作功时, 质点的动质点的动能就会发生变化。能就会发生变化。bv1v2ardF (3)动能定理的微分形式动能定理的微分形式tmmaFFttddcosv tmFddv 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：其切向分量式：其切向分量式：vvvdddddcosmtsmsF 两边同乘两边同乘ds：二、质点动能及动能定理二、质点动能及动能定理
19、26 221ddvmW 质点动能的微分等于作用于质点的合力所作的元功，质点动能的微分等于作用于质点的合力所作的元功，称为质点的称为质点的动能定理动能定理。vvddcosmsF (4)动能定理的积分形式动能定理的积分形式 21222121vvmmW 或：或：kkkEEEW 12质点动能的增量等于作用于质点的合力所作的功。质点动能的增量等于作用于质点的合力所作的功。由动能定理的微分形式：由动能定理的微分形式：两边积分得：两边积分得： 221ddvmW27(5)动能定理的意义动能定理的意义 动能定理将某一过程的动能定理将某一过程的始始、末末状态与这一过程中的状态与这一过程中的功功联系起来了。有了动能
20、定理，只要知道质点在某一过联系起来了。有了动能定理，只要知道质点在某一过程的程的始始、末末状态的状态的动能动能，就知道了作用于质点的合力在，就知道了作用于质点的合力在这一过程中对质点所作的这一过程中对质点所作的功功。(6)动能和动量的区别动能和动量的区别动量是矢量，动能是标量。动量是矢量，动能是标量。质点动量的改变取决于合力的质点动量的改变取决于合力的冲量冲量，质点动能的，质点动能的改变则决定于合力的改变则决定于合力的功功。 pppItFItt1221dkkkEEEW 1228(7)动能和功的区别动能和功的区别质点的质点的运动状态运动状态一旦确定，动能就唯一确定，一旦确定，动能就唯一确定，动能
21、是动能是运动状态运动状态的函数的函数，是反映质点运动状态的物理量。，是反映质点运动状态的物理量。功和质点受力并经历位移这个过程相联系的，功和质点受力并经历位移这个过程相联系的，是过程是过程的函数的函数, 不是描述状态的物理量。不是描述状态的物理量。功和动能的联系是功和动能的联系是: 若合力对质点作了功，则质点动若合力对质点作了功，则质点动能发生变化，作功是动能变化的手段。能发生变化，作功是动能变化的手段。合力作正功，动合力作正功，动能增加能增加；合力作负功，动能减少，合力作负功，动能减少，动能增量正好等于合动能增量正好等于合力作的功力作的功。29例例 2 一质量为一质量为1.0kg 的小球系在
22、长为的小球系在长为1.0m 细绳下端，细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与竖直线成绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与竖直线成 300角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与竖直角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与竖直线成线成100角时小球的速率。角时小球的速率。vdl0PTFsdsPsFsFWddddT 解：解： )cos(cos0 mgl cosddmglsP dsinmgl 0dsinmglW30vdl0PTFsd)cos(cos0 mglW由动能定理由动能定理2022121vvmmW )cos(cos20 glv1sm53. 1 kg0 .1 mm0 . 1 lo
23、030 o10 3135 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能 bLazyxbLabLazFyFxFrFsFW)()()()ddd(ddcos 2.保守力保守力 做功的大小只与物体的始、末位置有关，而与所经做功的大小只与物体的始、末位置有关，而与所经历的历的路径路径无关，这种力叫做无关，这种力叫做保守力保守力。3.非保守力非保守力 若力所作的功不仅决定于受力质点的始末位置，而若力所作的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关，或者说此力沿闭合路径作的且和质点经过的路径有关，或者说此力沿闭合路径作的功不等于零，这种力称为非保守力。如摩擦力。功不等于零，这种力称为非保守力。如
24、摩擦力。一、保守力与非保守力一、保守力与非保守力1.功与路径的关系功与路径的关系324.保守力场保守力场 如果质点在某一部分空间内的任何位置，都受到一如果质点在某一部分空间内的任何位置，都受到一个大小和方向完全确定的保守力的作用，称这部分空间个大小和方向完全确定的保守力的作用，称这部分空间中存在着保守力场。中存在着保守力场。5.保守力的数学表达式保守力的数学表达式 设一质点在保守力场中分设一质点在保守力场中分别沿别沿a1b和和a2b两条路径由两条路径由a到到b。保守力做功为：保守力做功为：ab12 babarFrF21dd 0d LrF质点沿质点沿a1b2a绕行一周，绕行一周，保守力做功为：保
25、守力做功为： abrF2d33二、几种常见力的功二、几种常见力的功rermmGF2 1. 万有引力作功万有引力作功做做的的元元功功为为：时时，移移动动FrmdrFWdd rermmGrd2 m对对m的万有引力为的万有引力为:做做的的功功为为：的的过过程程中中，到到从从FBAm BArrermmGrFWdd2rrrd rdmmAB ArBrre34 BArrermmGrFWdd2 BArrrrmmGWd2 cosddrererr )11(ABrrmmGW 万有引力作功的特点万有引力作功的特点与所经过的路径无关与所经过的路径无关, 只取决于质点只取决于质点m 起始和终了的起始和终了的位置位置(rA
26、 和和 rB)；质点质点m和和m相互靠近时万有引力作正功。相互靠近时万有引力作正功。rrrd rdmmAB ArBrrerd 352.弹性力作功弹性力作功xFxoFPO点为平衡位置，点为平衡位置，F为外力，为外力，F为弹性力。为弹性力。ikxF xFWdd 弹簧位移弹簧位移 时，弹性力作的元功为：时，弹性力作的元功为：xdxkxi xikxdd 36弹性力做功的特点弹性力做功的特点与弹性形变过程无关；与弹性形变过程无关；只取决于弹簧起始和终了的位只取决于弹簧起始和终了的位置置(x1和和x2)； 沿任意闭合路径一周弹力作功必为零；沿任意闭合路径一周弹力作功必为零； 弹性形变减小时，弹力作正功。弹
27、性形变减小时，弹力作正功。当弹簧的伸长量由当弹簧的伸长量由x1变到变到 x2时，弹性力所做的功为：时，弹性力所做的功为： 21dxxxkxW)2121(2122kxkx 1xFxoF1PFF2x2P22212121kxkx 373.重力的功重力的功(1)重力沿任意路径做功重力沿任意路径做功 Px=0, Py=-mg bahhacbyacbxhhmgymg yPxPWba ddd(2)重力沿闭合路径作功重力沿闭合路径作功0ddddd abbahhhhadbyacbyacdayymgymgyPyPyPW(3)重力作功的特点重力作功的特点与路径无关；与路径无关；沿任意闭合路径一周重力作功；沿任意闭合
28、路径一周重力作功；必为必为零；零；质点上升重力作负功。质点上升重力作负功。abcoxyhahbdgmP gmP gmP 38mgssFWMM 21dcos4.摩擦力的功摩擦力的功摩擦力功的特点：摩擦力功的特点：(1)与路径有关；与路径有关；(2)沿任意闭合路径一周摩擦力作功不为零。沿任意闭合路径一周摩擦力作功不为零。FFSv1mgmgNNv2M1M239三、势能三、势能1.势能概念势能概念 质点因质点因相对位置相对位置而具有的作功本领称为而具有的作功本领称为势能势能，势能的，势能的引入是以保守力做功为前提的。引入是以保守力做功为前提的。 质点分别沿质点分别沿路径路径1、2和和3从从AB，保守力
29、所做的功相等，保守力所做的功相等, 与路径无关。引入一个只与位与路径无关。引入一个只与位置有关的函数，置有关的函数，A点的函数值点的函数值Ep(A)减去减去B点的函数值点的函数值Ep(B) ，定义为从定义为从AB保守力所做的功，保守力所做的功，该该函数就是势能函数函数就是势能函数。BA路路径径1路路径径2路路径径3 BEp AEp402.势能差势能差(1)保守力作功保守力作功 质点从质点从A到到B，保守力作的功，保守力作的功: BAppBABEAErfWdpEWdd 或：或：Ep 只与质点的位置有关只与质点的位置有关, 称为质点的称为质点的势能或位能。势能或位能。 AEBEpp pE BA路路
30、径径1路路径径2路路径径3 BEp AEp41(2)保守力作功的物理意义保守力作功的物理意义 保守力作的功等于势能的减少或势能增量的负值。保守力作的功等于势能的减少或势能增量的负值。若保守力作正功，则势能减少，若保守力作正功，则势能减少，若保守力作负功则势若保守力作负功则势能增加。能增加。3.势能的相对性势能的相对性 保守力作的功等于势能增量的负值，对于空间某保守力作的功等于势能增量的负值，对于空间某一位置的势能到底是多少，必须通过定义势能零点以一位置的势能到底是多少，必须通过定义势能零点以后才能确定。后才能确定。(1)势能零点势能零点 势能等于零的空间点称为势能零点。它通常是人势能等于零的空
31、间点称为势能零点。它通常是人为指定的。为指定的。pBAEW 42(2)势能零点的选取势能零点的选取 如果规定计算保守力作功的起始位置为势能零点如果规定计算保守力作功的起始位置为势能零点，即即Ep(A)=0, 则终止位置的势能为则终止位置的势能为: Ep(B)= WAB。 AEBErfWppBABA d BpWBE 点点0一定位置的势能在数值上等于从势能一定位置的势能在数值上等于从势能零点零点到此位置保守力所作功的到此位置保守力所作功的负值负值。43(3)势能的相对性势能的相对性要确定质点势能，应先选定势能零点，势能零点是任要确定质点势能，应先选定势能零点，势能零点是任意选取的，故意选取的，故势
32、能的值总是相对势能的值总是相对的，选择不同的势能零的，选择不同的势能零点，势能数值不同，但它们只相差一个常数。点，势能数值不同，但它们只相差一个常数。势能的势能的改变量与势能零点的选取无关改变量与势能零点的选取无关。势能是属于系统的势能是属于系统的。4.万有引力势能万有引力势能 21)11(d122rrrrGmMrrmMGWrMmGWErp 0r2=, r1=r选取两物体相距无穷远处为势能零点，选取两物体相距无穷远处为势能零点，万有引力作功：万有引力作功：rGmMW,rGmM-Wrr 0044 mgh-WhEhp 05.重力势能重力势能 选地面为势能为零选地面为势能为零，距离地面高度为，距离地
33、面高度为h处的势能为：处的势能为： babahhmgW 从从 a到到 b重力作功：重力作功：ha地面；地面； hb=hmghWh 0abhhb mm0 地面地面pE mghhEp 456.弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能 选取弹簧自由伸展状态为势能零点。选取弹簧自由伸展状态为势能零点。x2=x, x1=0 2021kxWxExp 21dxxxkxW)2121(2122kxkx 2021xkWx xoFFxx 2P01 x 0 OEp 221kxxEp 467.势能曲线势能曲线 势能是位置的函数势能是位置的函数, 把势能和相对位置的关系绘成把势能和相对位置的关系绘成曲线，即是势能曲线。曲线，即是势能
34、曲线。pEzzmgEp 弹性弹性势能曲线势能曲线0, 0 pE x重力重力势能曲线势能曲线0, 0 pE z引力引力势能曲线势能曲线0, pErx221kxEp xOrmmGEp pEpEOO4736 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点系动能定理一、质点系动能定理1.质点系的外力与内力质点系的外力与内力 质点系外的物体作用于质点系内各质点的力称为外质点系外的物体作用于质点系内各质点的力称为外力力，质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。2.质点系内力的功质点系内力的功(1)一切内力矢量和恒等于零。一切内力矢量和恒等于零。(2)一般情况
35、下，所有内力作功的总和并不为零。一般情况下，所有内力作功的总和并不为零。(3)外力和内力的功都可以改变质点系的动能。外力和内力的功都可以改变质点系的动能。483.质点系动能定理质点系动能定理 由质点的动能定理可得：系统的外力和内力作功的由质点的动能定理可得：系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量总和等于系统动能的增量。kkkiiiiiinexEEEmmWW 122122)2121(vv系系统统的的动动能能增增量量。系系统统的的初初动动能能；系系统统的的末末动动能能；系系统统内内力力所所作作的的总总功功；系系统统外外力力所所作作的的总总功功； kkkinexEEEWW12494.质点系动能
36、定理的证明质点系动能定理的证明 由质点的动能定理可得：由质点的动能定理可得：111211ddkErfrF 222122ddkErfrF 1F2F12f21f1m2m1s2s 11211ddrfrF2122122ddkkEErfrF kinexEWW 即：即：;rFrFWex系统外力作的功系统外力作的功 2211dd系统内力作的功。系统内力作的功。 221112ddrfrfWin系系统统动动能能的的增增量量。 21kkkEEE50二、质点系功能原理二、质点系功能原理1.系统的机械能系统的机械能pkEEE inncincinWWW 2.内力功的分类内力功的分类 因为系统的内力可分为保守力和非保守力
37、，内力的因为系统的内力可分为保守力和非保守力，内力的功功(Win)也分为保守内力的功也分为保守内力的功(Wcin)和非保守内力功和非保守内力功(Wncin)。 3.由势能代替保守内力的功由势能代替保守内力的功pincEW pppBABAEAEBErfW d保守内力所作的功保守内力所作的功Wcin就等于系就等于系统势能的减少或势能增量的负值。统势能的减少或势能增量的负值。电子电子51inncexpkWWEEE kpinncexinncincexinexEEWWWWWWW 4.系统的功能原理系统的功能原理 在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的
38、增量等于能的增量等于所有外力的功所有外力的功与与非保守内力的功非保守内力的功的代数和。的代数和。这个结论称为系统的这个结论称为系统的功能原理功能原理。5.动能定理和功能原理使用时的注意事项动能定理和功能原理使用时的注意事项(1)动能定理和功能原理的本质是一样的。动能定理和功能原理的本质是一样的。功能原理引入功能原理引入了势能而无需考虑保守内力的功。了势能而无需考虑保守内力的功。52(2)应用应用质点质点的动能定理的动能定理 W=Ekb-Eka时时，合外力合外力 包括所有的力包括所有的力(重力、弹性力等一切力重力、弹性力等一切力)。(3)应用应用系统系统的动能定理的动能定理kinexEWW Wn
39、包括包括保守内力保守内力和和非保守内力非保守内力作的功，未引入势能。作的功，未引入势能。(4)应用系统的功能原理应用系统的功能原理保守内力保守内力所作的功不必计算，它已经被势能所代替。所作的功不必计算，它已经被势能所代替。inncexpkWWEEE 53三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律1.机械能守恒定律机械能守恒定律 (1)机械能守恒机械能守恒 在一定的过程中，如果质点系的机械能在一定的过程中，如果质点系的机械能始终保持恒始终保持恒定定，只有质点系内部发生动能和势能的相互转换，就认，只有质点系内部发生动能和势能的相互转换，就认为该质点系机械能守恒。为该质点系机械能守恒。(2)机械能守恒定律
40、机械能守恒定律 如果一个系统内如果一个系统内只有保守内力作功，只有保守内力作功，其他内力和一其他内力和一切外力都不作功切外力都不作功, 或者或者它们它们(在每一瞬间所作在每一瞬间所作)的总功为零的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但机械能则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但机械能的总值不变。该结论称为的总值不变。该结论称为机械能守恒定律。机械能守恒定律。54(3)机械能守恒的条件机械能守恒的条件或或idepkWWEEE 由系统的功能原理：由系统的功能原理：0 pkEEE如果：如果：则：则：(4)非保守内力作功，系统的机械能不守恒非保守内力作功，系统的机械能不守恒 例如，摩
41、擦力做功，机械能转变成热能。由于摩擦例如，摩擦力做功，机械能转变成热能。由于摩擦力等非保守内力普遍存在，机械能精确守恒的情况是十力等非保守内力普遍存在，机械能精确守恒的情况是十分少见的。但是在许多问题中，可以将摩擦力等非保守分少见的。但是在许多问题中，可以将摩擦力等非保守内力的功忽略不计，内力的功忽略不计，对对计计算算结果结果并并不发生明显影响，因不发生明显影响，因此，可以应用机械能守恒定律。此，可以应用机械能守恒定律。常量常量 pkEE0 inncexWW55例例 1 雪橇从高雪橇从高50m的山顶的山顶A点沿冰道由静止下滑点沿冰道由静止下滑, 坡道坡道AB长为长为500m。滑至点。滑至点B后
42、，又沿水平冰道继续滑行，后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在滑行若干米后停止在C处。若处。若 =0.050。求雪橇沿水平。求雪橇沿水平冰道滑行的路程。冰道滑行的路程。56解解: :)(cosssmg mgss mgWf mghmghEEE 012m500 shs EWf NFfFPsinPcosPh s机械能增量：机械能增量：应用功能原理：应用功能原理：mghssmg )( 57例例 2 一轻弹簧一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并在环上运小球穿过圆环并在环上运动动( =0)。开始
43、球静止于点。开始球静止于点 A, 弹簧处于自然状态，其长弹簧处于自然状态，其长为环半径为环半径R; 当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力。求弹簧的劲度系数。力。求弹簧的劲度系数。30oPBRA0 pE 解：解：以弹簧、小球和地球为以弹簧、小球和地球为一系统，从一系统，从AB，只有保守只有保守内力做功，系统机械能守恒。内力做功，系统机械能守恒。取点取点B为重力势能零点：为重力势能零点：)30sin2(2121o22 mgRkRmBv58)30sin2(2121o22 mgRkRmBvRmmgkRB2v Rmgk2 30oPBRA0 pE5937 完全弹性碰
44、撞完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞1.碰撞的定义碰撞的定义 质点、质点系或刚体之间，通过质点、质点系或刚体之间，通过极短时间极短时间的相互作的相互作用而使用而使运动状态发生显著变化的过程运动状态发生显著变化的过程称为称为碰撞碰撞。2.碰撞的特点碰撞的特点(1)碰撞物体间的碰撞力是碰撞物体间的碰撞力是冲力冲力，在发生碰撞的，在发生碰撞的极短的时极短的时间间内，不考虑非冲力的外力对物体运动的影响，系统内，不考虑非冲力的外力对物体运动的影响，系统遵遵守动量守恒定律守动量守恒定律；(2)碰撞所经历的碰撞所经历的时间极短时间极短，而碰撞前后运动状态改变，而碰撞前后运动状态改变非非常显著常显著。
45、603.球的对心碰撞球的对心碰撞(正碰撞正碰撞) 如果碰撞前的速度矢量都沿着两球的连心线，则在如果碰撞前的速度矢量都沿着两球的连心线，则在碰撞后它们的速度矢量也必然沿着两球连心线的方向。碰撞后它们的速度矢量也必然沿着两球连心线的方向。v10v20m1m2碰撞前碰撞前f1f2m1m2碰撞时碰撞时v1v2m1m2碰撞后碰撞后m1v10+m2v20=m1v1+m2v2614.碰撞定律碰撞定律 碰撞后碰撞后分离速度分离速度(v2-v1) 与碰与碰撞前撞前接近速度接近速度(v10-v20)成正比，即：成正比，即：201012vvvv ee 称称恢复系数恢复系数。有两球的材料的性质决定。有两球的材料的性质
46、决定。5.碰撞后的速度碰撞后的速度由动量守恒定律可得：由动量守恒定律可得： 212010120221201021011,1mmmemmme vvvvvvvv6263 211012012221202102112,2mmmmmv mmmmm vvvvv6.碰撞的分类碰撞的分类(1)完全弹性碰撞完全弹性碰撞(e=1)分离速度等于接近速度，分离速度等于接近速度，(v2-v1=v10-v20)。碰撞后速度分布碰撞后速度分布机械能守恒机械能守恒2202210102121vvmmE 碰撞前：碰撞前：2222112121vvmmE 碰撞后：碰撞后：64 0221220221221022112211012012
47、2221202102112221221EmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmE vvvvvv全同小球的碰撞全同小球的碰撞如果如果m1=m2, 则有则有v1=v20, v2=v10。两球碰撞后。两球碰撞后交换速度交换速度。 (2) 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 当当e=0时时，v1=v2=(m1v10+m2v20)/(m1+m2)。两球碰撞。两球碰撞以后以同一速度运动，不再分开。以后以同一速度运动，不再分开。(3)非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 小球碰撞后彼此分开小球碰撞后彼此分开, 而机械能又有一定损失。而机械能又有一定损失。 当当0e1时，时，v2-v1=e(v10-v20)65vm例例1
48、宇宙中有密度为宇宙中有密度为 的尘埃，的尘埃， 这些尘埃相对惯性参这些尘埃相对惯性参考系静止。有一质量为考系静止。有一质量为 m0 的宇宙飞船以初速的宇宙飞船以初速 v0 穿过宇穿过宇宙尘埃，由于尘埃粘贴到飞船上，使飞船的速度发生改宙尘埃，由于尘埃粘贴到飞船上，使飞船的速度发生改变变。求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。 (设设想飞船的外形是截面积为想飞船的外形是截面积为S 的圆柱体）的圆柱体）解解: :尘埃与飞船作尘埃与飞船作完完全非弹性碰撞全非弹性碰撞: :vvmm 00vvvdd200mm vv00mm 66tSmddv ttmS0003dd0v
49、vvvv 021000)2(vvvmtSm vmvvvdd200mm vvvvdd200mtS 67例例 2 设有两个质量分别为设有两个质量分别为m1和和m2, 速度分别为速度分别为 和和 的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相同的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相同。若碰撞若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度是完全弹性的，求碰撞后的速度 和和 。20v10v1v2v1v2vAB碰前碰前碰后碰后A1m2m10v20vB解解: 取速度方向为正向取速度方向为正向,由动量由动量守恒定律得守恒定律得:2211202101vvvvmmmm )()(20221101vvvv mm(1)由机械能守恒定律得由
50、机械能守恒定律得:2222112202210121212121vvvvmmmm 68)()(220222212101vvvv mm(2)()(20221101vvvv mm(1)由由(1)、(2)可解得：可解得：202110vvvv 122010vvvv (3)由由(1)、(3)可解得：可解得：21202102112)(mmmmm vvv21101201222)(mmmmm vvv1v2vAB碰前碰前碰后碰后A1m2m10v20vB69，若若21(1)mm 102201vvvv , 则则02101 vvv ，则则讨论讨论:1021012vvvv , 则则1v2vAB碰前碰前碰后碰后A1m2m1
