1、1 本章的主要内容是研究刚体的本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴转动，尤其是定轴转动转动。核心内容：核心内容：刚体的转动惯量刚体的转动惯量 定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理 定轴转动的角动量守恒定轴转动的角动量守恒 这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。2一一. 刚体刚体力学中物体的一种理想模型。力学中物体的一种理想模型。刚体刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。：运动中形状和大小都保持不变的物体。 实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。将物体
2、视为刚体。(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。刚体上各质点之间的距离保持不变。(b)刚体有确定的形状和大小。刚体有确定的形状和大小。(c)刚体可看作是由许多质点刚体可看作是由许多质点(质元质元)组成的质点系组成的质点系。无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。状都始终保持不变。刚体的特征：刚体的特征：3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动3二二. 刚体的平动和转动刚体的平动和转动 如果刚体在运动中如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行的指向始终保持平行,这样的运动就称为这样的运动就称
3、为平动平动。 在平动时在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同刚体内各质点的运动状态完全相同,因此因此平动刚体可视为质点平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。 比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动还是转动？还是转动？4 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般刚体一般运动可看作是运动可看作是平动和转动的结合平动和转动的结合。 如果刚体内的各个质点都绕同一直线如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴转轴)作圆作圆周运动周运动,这种运动便称为这
4、种运动便称为转动转动。如果转轴是固定不动。如果转轴是固定不动的的,就称为就称为定轴转动定轴转动。 刚体在作刚体在作定轴转动时定轴转动时,由于各质点由于各质点到转轴的距离不同到转轴的距离不同,所以各质点的线所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。速度、加速度一般是不同的。二二.定轴转动的描述定轴转动的描述 r图3-1 但由于各质点的相对位置保持不变但由于各质点的相对位置保持不变,所以描述所以描述各质点各质点运动运动的角量的角量,如角位移、如角位移、角速度和角加速度都是一样的。角速度和角加速度都是一样的。5 r图3-1 1 描述定轴转动刚体的运动的角量描述定轴转动刚体的运动的角量角坐标：角坐标：
5、角位移：角位移： 单位：单位：rad角速度角速度ttlim0dtd.是矢量方向：方向：与转向成右手螺旋关系。与转向成右手螺旋关系。6角加速度角加速度tlimt0角加速度为角速度对时间角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐的一次导数，或为角坐标对时间标对时间 t 的二次导数。的二次导数。单位：弧度单位：弧度/ /秒秒2，rad/s2, s-2方向：方向：角速度变化的方向。角速度变化的方向。00dtd 22dtd 7xo 对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是
6、作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？ddsr刚体转过刚体转过d刚体上的一点位移刚体上的一点位移ds rdds线位移和角位移的关系线位移和角位移的关系8odtdrdtdsrrtana aa a 将质点的加速度将质点的加速度可分解为切向加速度可分解为切向加速度和法向加速度和法向加速度.将将dt rdds式两边同除式两边同除r9dtdaran2dtdaran2由由dtdr rrr2)(2rora ana aa ato 221tto - -222o若角加速
7、度若角加速度 =c(恒量恒量)，则有，则有10 例例3 31 1 一飞轮转过角度和时间关系为一飞轮转过角度和时间关系为43ctbtat-式中式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。均为常量。求它的角加速度。解：飞轮角速度表达式解：飞轮角速度表达式3243ddctbtat-角加速度是角速度对时间的导数表达式角加速度是角速度对时间的导数表达式23212643ddddctbtctbtatt-可见飞轮在作变速转动。可见飞轮在作变速转动。11 决定这个系统在空间的位置所需要决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目，叫做这个系统的自的独立坐标的数目，叫做这个系统的自由度数由度数 。三三. 自由度自由
8、度 意义：物体有几个自由度，它的运意义：物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。动定律就可归结为几个独立的方程式。 例如：例如： 一个质点在三维空间自由运一个质点在三维空间自由运动时，决定其空间位置需三个独立坐标，动时，决定其空间位置需三个独立坐标，如直角坐标系的如直角坐标系的x，y，z，因此，自由，因此，自由质点的自由度为质点的自由度为3，这三个自由度叫平，这三个自由度叫平动自由度动自由度12 对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这需要三个平动自
9、由度；然后取通过刚体质心的某一需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角、，但，但、之间存在关系式之间存在关系式cos2+cos2+cos2=1，即即、三者中只有两个是独立的，因而，决定三者中只有两个是独立的，因而，决定刚体转轴所需自由度为刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕；最后，还需知道刚体绕转轴转过的角度转轴转过的角度，故自由刚体的转动自由度为，故自由刚体的转动自由度为3，总自由度为总自由度为6 问题：问题： 定轴转
10、动刚体的定轴转动刚体的自由度是多少？自由度是多少？答案：答案：113 3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定理定轴转动定理一一. .力矩力矩力的作用线通过转轴或是力的作用线通过转轴或是平行于转轴，无法使物体平行于转轴，无法使物体转动。转动。力的大小、方向和力的作力的大小、方向和力的作用点相对于转轴位置，是用点相对于转轴位置，是决定转动效果的几个重要决定转动效果的几个重要因素。因素。FFF14力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示表示sinFrdFMzPMFrd在转动平面内在转动平面内FzPMFr/FF不在转动平面内不在转动平面内F只考虑垂直
11、于转轴的作用力只考虑垂直于转轴的作用力15力矩有大小和方向力矩有大小和方向, ,是矢量是矢量力矩矢量力矩矢量M M可用矢径可用矢径r r和力和力F F的矢积表示。的矢积表示。FrMM M方向垂至于方向垂至于r r和和 F F 所构成平面。由右所构成平面。由右手螺旋法则确定。手螺旋法则确定。16对各质点求和，并注意到对各质点求和，并注意到按质点角动量定理，有按质点角动量定理，有 )ji( jijf 设有一质点系设有一质点系, 第第i个质点的个质点的 位矢为位矢为 ri , 外力为外力为 Fi , 内力为内力为 , dt)mr(dfrFriii)ji( jijiii mi：0)()( jijiji
12、ifr)mr(dtdFriiiiiii 得得二二 定轴转动定律定轴转动定律17)mr(dtdFriiiiiii iiiFr = =M质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩)mr(iiii = =L L质点系的质点系的总角动量总角动量于是得于是得(3-2)dtLdM 式式(3-2)的意义是的意义是:质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩等于质点系的等于质点系的总角动量对时间的变化率总角动量对时间的变化率。这个结论叫。这个结论叫质点系角动量质点系角动量定理定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。18上式称为物体上式称为物体定轴转动方程定轴转动方程
13、。 对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体, J为常量为常量, d /dt= , 故式故式(4-7)又可写成又可写成 dtdLMzz 上式是一矢量式上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴它沿通过定点的固定轴z方方向上的分量式为向上的分量式为这就是刚体这就是刚体定轴转动定律，定轴转动定律，它是刚体它是刚体定轴转动定轴转动的动力学方程的动力学方程 。 M=J (3-5)(3-4)dt)J(d (3-3)dtLdM (Lz=J )192 当当 一定时，一定时，MJ1J是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度JM注意：注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是改变刚体转动状态，产生角加速度的
14、原因是力矩，力矩，而不是力而不是力！ 如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速度一定大，则错。度一定大，则错。20JM 2 为瞬间作用规律。为瞬间作用规律。JM一旦一旦 ，立刻，立刻 ，匀角速度转动。，匀角速度转动。0M03 和和 ，均对同一转轴而言。，均对同一转轴而言。 MJM4 代表作用于刚体的合外力矩，代表作用于刚体的合外力矩，外MM特别强调：特别强调：系统所受合外力为零，系统所受合外力为零，不一定外M0一对力偶产生的力矩不为零。一对力偶产生的力矩不为零。 以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求
15、解动定律及用隔离体法求解(刚体刚体+质点质点)系统问系统问题的方法。题的方法。21 质量质量m物体物体平动惯性平动惯性大小的量度。大小的量度。 转动惯量转动惯量J物体物体转动惯性转动惯性大小的量度。大小的量度。 三三 转动惯量转动惯量 动量动量: p=m 角动量角动量: L=J 1.转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义22 J= mi ri2 (3-6) 即：即：刚体的刚体的转动惯量转动惯量等于刚体上各质点的等于刚体上各质点的质量质量乘乘以它以它到转轴距离的平方到转轴距离的平方的总和。的总和。 (2)质量连续分布刚体质量连续分布刚体 dmrJ2(3-7)式中式中: r为刚体上的质元为刚体上的质
16、元dm到转轴的距离。到转轴的距离。 (1)质量离散分布刚体质量离散分布刚体2.转动惯量的计算转动惯量的计算23 3.平行轴定理平行轴定理Jo=Jc+Md2 (3-8)Jc 通过刚体质心的轴的转动通过刚体质心的轴的转动 惯量惯量;M 刚体系统的总质量刚体系统的总质量; d 两平行轴两平行轴(o,c)间的距离。间的距离。JoJcdCMo图3-224o 通过通过o点且垂直于三角形平点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为面的轴的转动惯量为 JO= (1)正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计，用质量不计的细杆连接的细杆连接,如图如图3-3。系统对通过质心。系统对通过质心C且垂
17、直于三且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为角形平面的轴的转动惯量为)33(lr ,ml2 cJ2mr3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例题例题3-2 质量离散分布刚体质量离散分布刚体: J= mi ri2 ml2lllcr图3-3mmm25 (2)用质量不计的细杆连接的五个质点用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图如图3-4所示。转轴垂直于质点所在平面且通过所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点点, 转动转动惯量为惯量为 JO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll图3-426 dmrJ2 - -22ll记住！
18、 (1)质量为质量为m、长度为、长度为l的细直棒，可绕通过质心的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。 例题例题3-3 质量连续分布刚体质量连续分布刚体: cJdxlm2x2121ml 若棒绕一端若棒绕一端o转动，由平行转动，由平行轴定理，轴定理， 则转动惯量为则转动惯量为 2121mlJo 图3-5Cdxdmxxo 解解 方法：将细棒分为若干微元方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后然后积分得积分得om 231ml 22)l(272mR R R0 (3)均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干
19、个动时，可将圆盘划分为若干个半径半径r、宽、宽dr的圆环积分的圆环积分 ： (2)均质细圆环均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动绕中心轴转动时，其转动惯量为惯量为 dm图3-6rdr cJ2r2Rm rdr 2221mR dmRJc 环环228v确定转动惯量的三个要素确定转动惯量的三个要素: :v(1)(1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量越大。越大。 v(2)(2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转转动惯量越大。动惯量越大。 v(3)(3)与与转轴的位置转轴的位置有关。有关。29 解解
20、 由由 M=J , = o+ t 有外力矩时有外力矩时, 例题例题3-4 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩。此时撤去该力矩,转轮经转轮经100s而停止。而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。试推算此转轮对该轴的转动惯量。 撤去外力矩时撤去外力矩时, -Mr=J 2 , 2= /t2 (2)代入代入t1=10s , t2=100s , =(1002 )/60=10.5rad/s, 解式解式(1)、(2)得得 J=17.3kg.m2 。20=J 1，
21、1= /t1 (因因 o=0) 20-Mr=J 1， 1= /t1 (因因 o=0) (1)30 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=J 有有 mg.R=J 这式子对吗？这式子对吗？ 错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。 正确的解法是用隔离体法。正确的解法是用隔离体法。 例题例题3-5 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力体，如图所示。
22、求柱体的角加速度及绳中的张力。mg T图3-7mMR对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=J a=R 解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。31 m: mg-T2= ma a=R 1=r 2 , 2=2ah求解联立方程，代入数据，可得求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。 m1: T1R= m1R2 1 2121m2: T2r-T1r = m2r2 2 例题例题3-6 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端上，另一端通过盘
23、通过盘m2后挂有后挂有m=10kg的物体。求物体的物体。求物体m由静止开由静止开始下落始下落h=0.5m时，物体时，物体m的速度及的速度及 绳中的张力。绳中的张力。 解解 各物体受力情况如图所示。各物体受力情况如图所示。T1T1图3-8m1R 1m2 2rT2mgm32小结小结:若一个系统的运动包含若一个系统的运动包含物体平动物体平动和和刚体的转动刚体的转动处理办法：处理办法：对平动的物体对平动的物体，分析受力，按照，分析受力，按照 列方程。列方程。amF对转动的刚体对转动的刚体，分析力矩，按照，分析力矩，按照 列方程。列方程。 JM补加转动与平动的关联方程补加转动与平动的关联方程联立求解各方
24、程。联立求解各方程。33 例题例题3-7 匀质圆盘：质量匀质圆盘：质量m、半径、半径R，以以 o的角速的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ R0mgR 32- - 221mRJ 解解 将圆盘分为无限多个半径为将圆盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr的圆环，的圆环，用积分计算出摩擦力矩。用积分计算出摩擦力矩。 MrdrRm 22g r- -o图3-9水平桌面水平桌面rdr34RgJM34 - - 于是得于是得由由 = o+ t = 0得得gRtOo 43 - -
25、又由又由 2- o2=2 ，所以停下来前转过的圈数为所以停下来前转过的圈数为gRNoo 1632222 - - 221mRJ ,mgR 32- - Mo图3-9水平桌面水平桌面rdr353-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 21 MdA(3-10) 力矩的功率是力矩的功率是一一 力矩的功力矩的功 MdtdMdtdAP (3-11)ZF图3-10dsd opr即：力矩的元功等于力矩即：力矩的元功等于力矩M和角位移和角位移d 的乘积。的乘积。 设物体在力设物体在力F作用下作用下，绕定轴绕定轴oz转动，则力转动，则力F的元的元功是功是 dA=Fdscos(90o- )=Frsin d =
26、Md (3-9)36刚体的刚体的转动动能为转动动能为 iiikrmE2221 刚体的刚体的转动动能转动动能 =刚体上各质点动能之和。刚体上各质点动能之和。 设刚体绕一定轴以角速度设刚体绕一定轴以角速度 转动转动，第第i个质点个质点 mi到转轴的距离为到转轴的距离为ri , mi的线速度的线速度 i=ri , (各质点的角速度各质点的角速度 相同相同)； 相应的动能相应的动能质点的平动动能为质点的平动动能为221 mEk 对比！对比！(3-12)二二.刚体的转动动能刚体的转动动能221 J 2222121 iiiirmm37 上式说明：上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增合外力矩的功等于刚
27、体转动动能的增量。量。这便是定轴转动的动能定理。这便是定轴转动的动能定理。 dtdJJM ddtdJMdA 21212122212121 JJMdA- - (3-13)三三 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 dJ 2121222121 mmrdFA- - 对比对比:质点动能定理：质点动能定理：（J=恒量）恒量）38刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力场中刚体就具有一定重力势能。场中刚体就具有一定重力势能。根据质心定义，该刚体质心高度为根据质心定义，该刚体质心高度为iiiiphmgghmEmhmhiic重力势能可以表示为重力势能可以表示为四四 刚体
28、的重力势能刚体的重力势能cpmghE(3-14)39 一个包括有刚体在内的系统一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内如果只有保守内力作功力作功,则这系统的机械能也同样守恒。则这系统的机械能也同样守恒。221 JmghEc (3-15)式中式中, hc为刚体质心到零势面的高度。为刚体质心到零势面的高度。 五五 机械能守恒定律在刚体系统中的应用机械能守恒定律在刚体系统中的应用 在计算刚体的重力势能时，可将它的在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中全部质量集中在在质心质心。刚体的机械能为刚体的机械能为40 例题例题3-8 均匀细直棒：质量均匀细直棒：质量m、长为、长为l，可绕水平，可绕水平光
29、滑固定轴光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成棒转到与水平面成 角时的角速度和角加速度。角时的角速度和角加速度。Chco图3-112lmg222312121mllmmlJ 解解 棒在转动的过程中，只有保守力棒在转动的过程中，只有保守力(重力重力)作功，作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有由上得由上得)1(3 sinlg- - sinlmg2 221 J 41dtd 讨论：讨论： 本题也可先由本题也可先由M=J 求出求出 ，再用再用 =d /dt积分求出积分求出 。Chco图3-11角加速度：
30、角加速度：)1(3 sinlg- - coslg23 dtddd dd- - 42 例题例题3-9 如图如图3-12所示，有一由弹簧、匀质滑轮所示，有一由弹簧、匀质滑轮和重物和重物M组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求:(1)重物重物M下落下落h时的速度；时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。弹簧的最大伸长量。 Mgh221mrJ ， = rmMkhMgh2122 - - 解解 (1)系统机械能守恒：系统机械能守恒：h零势面mrMk图3-12221kh 221 M 221 J 43h零势
31、面mrMk图3-12(2)求弹簧的最大伸长量。求弹簧的最大伸长量。 令令 =0，得弹簧的最大伸，得弹簧的最大伸长量为：长量为： hmax=2Mg/k。mMkhMgh2122 - - 44 一一.刚体的角动量刚体的角动量 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。 图3-13Z L mi irio式中式中: J= mi ri2称为刚体对称为刚体对z轴的轴的转动惯量转动惯量。 Li=mi iri=mi ri2 刚体刚体对对z轴轴的角动量的角动量就是就是 Lz=( mi ri2) 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕固定轴z转动转动(见图见图3-13),质
32、量质量为为mi的质点对的质点对o点的角动量为点的角动量为 =J 3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律45 问题：问题：为何动量的概念对刚体为何动量的概念对刚体已失去意义？已失去意义？P=0图3-13Z L mi irio刚体刚体对对z轴轴的角动量：的角动量： Lz= J (3-16) 显然，刚体的角动量的方向显然，刚体的角动量的方向与角速度与角速度 的方向相同，沿的方向相同，沿z轴轴方向方向(见图见图3-13),故也称为刚体故也称为刚体对固定轴对固定轴z的角动量。的角动量。46dtJddtdLM)(1122212211-JJ)J(dMdttt
33、JJ(3-17) 上式的物理意义是上式的物理意义是：合外力矩的冲量合外力矩的冲量(冲量矩冲量矩)等于物等于物体角动量的增量体角动量的增量。这就是这就是定轴转动刚体的角动量定理。定轴转动刚体的角动量定理。由定轴转动方程由定轴转动方程:若物体所受的若物体所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)时，则时，则J =常量常量(3-18)这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律。 二二 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理47 当系统所受的当系统所受的合外力力矩为零时，合外力
34、力矩为零时，系统的系统的总角动量总角动量的矢量和就保持不变。的矢量和就保持不变。 对比：对比： 系统系统角动量守恒角动量守恒是是： 系统系统动量守恒动量守恒是是： 在日常生活中在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。利用角动量守恒的例子也是很多的。 系统角动量守恒定律：系统角动量守恒定律： 0外外当当M时时, 0外外当当F时时,常常矢矢量量 iiim 常常矢矢量量 iiiJ (3-19) 三三 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律48图3-1449 角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零
35、如直升飞机在未发动前总角动量为零,发动以后旋翼在发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况免这种情况,人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼尾翼,由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似动。与此类似,鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进的螺旋浆来推动鱼雷前进,也是为了避免鱼雷前进中的也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转自旋。安装在轮船、飞机、
36、导弹或宇宙飞船上的回转仪仪(也叫也叫“陀螺陀螺”)的导航作用，也是角动量守恒应用的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。的最好例证。 以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。及用角动量守恒定律求解问题的方法。50 例题例题3-10 一匀质细棒：长度为一匀质细棒：长度为l、质量为、质量为m，可，可绕水平光滑固定轴绕水平光滑固定轴o转动。棒自水平位置静止摆下，转动。棒自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体在竖直位置处与物体m相碰，碰后物体沿地面滑行距相碰，碰后物体沿地面滑行距离离S后停止，设物体与地面间的摩擦系数为后停止，
37、设物体与地面间的摩擦系数为 ，求刚，求刚碰后棒的角碰后棒的角速度。速度。 解解 (1)棒的转动，机械能守恒：棒的转动，机械能守恒：图3-15om22)31(212omllmg (2)碰撞过程，角动量守恒：碰撞过程，角动量守恒：oml 231lm 231ml 5122)31(212omllmg oml 231lm 231ml (3)物体的滑行，由功能原理物体的滑行，由功能原理：2210 mmgS- - - -lgSgl 233- - 解得解得讨论：当讨论：当l 6 S时，时， 0, 表示碰后棒向右摆；表示碰后棒向右摆； 当当l 6 S时，时， 0, 表示碰后棒向左摆。表示碰后棒向左摆。图3-15
38、om52 解解 (1)杆杆+子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力(轴轴o处的力和处的力和重力重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： )32(313222lmMllmo解得解得)43(6mMlmo 例题例题3-11 匀质杆：长为匀质杆：长为l、质量质量M，可绕水平光可绕水平光滑固定轴滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子的子弹以水平速度弹以水平速度 o射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度子弹射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能杆能转过的最大角
39、度转过的最大角度 。m ooA图3-16 32l53222)32(3121 lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo - - 由此得：由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒：m ooA图3-16 32l2lMg- -)mMlmo43(6 由前由前221 JEk 转动动能转动动能 cos32-cos2lmglMg- - 零势面零势面平动动能平动动能221 mEk 32-lmg54 解解 (1)碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒: 例题例题3-12 长为长为2L、质量为、质量为m的匀质细杆，静止在的匀质细杆，静止在粗糙
40、的水平桌面上，杆与桌面间的摩擦系数为粗糙的水平桌面上，杆与桌面间的摩擦系数为。两个。两个质量、速率均为质量、速率均为m和和 的小球的小球在水平面内与杆的两端同在水平面内与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短设碰撞时间极短), 如图如图3-17所所示。求示。求: (1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？杆经多少时间停止转动？(不计两小球的质量）不计两小球的质量）图3-17m m.o2 Lm )2(2mLJ 2231)2(121mLLmJ 55解得解得L76 (2)摩擦力矩为摩擦力矩为 M
41、LgJM23 - - 由由 = o+ t得：得：gt 74 2 Lm )2(2mLJ 图3-17m m.o2231)2(121mLLmJ dmdxfr.xodxLmg2 x - - L022Lmg - - 56 例题例题3-13 匀质园盘匀质园盘(M、R)与人与人( m ,视为质视为质 点点)一一起以角速度起以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如图如图3-18所示所示。当此人从。当此人从盘的盘的边缘走到边缘走到盘心时，盘心时，圆盘圆盘的角速度是多少？的角速度是多少？ 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？ 系统角动量守恒：系统
42、角动量守恒： omRMR )21(22 221MR oMm )21( o图3-1857 例题例题3-14 两个同样的子弹对称地同时射入转盘两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的角速度将中，则盘的角速度将 。(填：增大、减小或不变填：增大、减小或不变)减小减小.oo图3-19m m rrJ o=(J+2mr2) 58 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？ 系统角动量守恒：系统角动量守恒： 盘盘J上式正确吗？上式正确吗？ 例题例题3-15 匀质圆盘匀质圆盘(m、R)与一人与一人( ,视为质视为质 点点)一起以角速度一起以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴绕通过其盘
43、心的竖直光滑固定轴转动转动,如图如图3-20所示所示。如果此人相对于盘以速率。如果此人相对于盘以速率 、沿、沿半径为半径为 的的圆圆周运动周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反), 求求: 2R10m (1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度; (2)欲使欲使圆圆盘对地静止，人相对盘对地静止，人相对圆圆盘的速度大小和方向？盘的速度大小和方向？ oJJ )(人人盘盘 o图3-202 / R 2Rm - -59 错！因为错！因为角动量守恒定律角动量守恒定律只适用于惯性系。只适用于惯性系。 盘盘J oJJ )(人人盘盘2Rm - - 人对地人对地= 人对盘人对盘 + 盘对地盘对地 人对地人对
44、地= o图3-202 / R R 2- -+ 盘盘J oJJ )(人人盘盘人人对对地地人人 J 正确的角动量守恒式子是：正确的角动量守恒式子是：所以应代入人相对于惯性系所以应代入人相对于惯性系(地面地面)的角动量。的角动量。60oRmmR )21(102122 )2()2(102RRm - - 解出：解出：Ro212 221mR o图3-202 / R 盘盘J oJJ )(人人盘盘人人对对地地人人 J 人对地人对地= R 2- -+ 61(2) 欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212 Ro 得得oR 221- - 式中负号表示人的运动方式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动向与盘的初始转动(
45、 o)方方向一致。向一致。 o图3-202 / R Ro212 623-5 进动进动dtdLM 由角动量定理：由角动量定理：分析可得：分析可得：dL=Lsind=Jsind =Mdt sinJMdtdp所以：所以：进动：如图所示，进动：如图所示，刚体在绕本身对称轴刚体在绕本身对称轴线转动的同时，其对线转动的同时，其对称轴绕竖直轴称轴绕竖直轴oz回转。回转。求进动角速度求进动角速度poz633-6 理想流体模型理想流体模型 定常流动定常流动 伯努利方程伯努利方程一一. 理想流体模型理想流体模型二二 . 定常流动定常流动三三. 伯努利方程伯努利方程64本章小结本章小结: M=J dmrJ2 J=
46、mi ri2 称为刚体对称为刚体对z轴的轴的转动惯量转动惯量。2 定轴转动定理定轴转动定理1 转动惯量转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量65若物体所受的若物体所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)时，则时，则J =常量常量2122212121 JJMdA- - 一个包括有刚体在内的系统一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内如果只有保守内力作功力作功,则这系统的机械能也同样守恒。则这系统的机械能也同样守恒。221 JmghEc 刚体的机械能为刚体的机械能为5 物体系的角动量守恒物体系的角动量守恒3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理4 物体系的机械能守恒物体系的机械能守恒66证明：质点系的一对内力的力矩之和为零。证明：质点系的一对内力的力矩之和为零。irjrijrijFjiFijijiijFrMjijFrijjiF)rr(-ijijFr0质点系中的一对内力的力矩之和为零。质点系中的一对内力的力矩之和为零。质点系内力的力矩之和为零。质点系内力的力矩之和为零。67平行轴定理的证明平行轴定理的证明imirirddrrii-2iiirmJiiirmir)dr()dr(miiii-2iiirm2Mdiiirmd- 2CiiirMrm0Cr2MdJJCo2MdJCMC
