1、第十一章第十一章 立体几何初步立体几何初步第二节第二节 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理课前自主学案课前自主学案 知识梳理知识梳理 1.平面平面是空间重要的元素,它是一个抽象的概念.平面的两个特征：无限延展 .平面的画法：通常画 平的（没有厚度） 来表示平面.平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；或用表示的平行四边形 两个相对顶点的字母表示，如平面AC. 2.平面的基本性质（公理及其推论）公理1.若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上 所有的点都在这个平面内.用符号表示为：Al,Bl,A,Bl (如图(1). 公理公理2: 如果两个不重合的平面有一个公共
2、点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用符号表示为：P，且P, 则=l,且Pl (如图(2). 公理公理3：过 不在同一直线上 的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）.用符号表示为：点A、B、C不共线 确定平面ABC(如图(3). 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线 ，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线 ，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 . 用符号表示为：ab,bc ac 3.空间图形的基本关系(1)空间直线与直线的位置关系:相交,平行,异面 .相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没
3、有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线(2)空间直线与平面位置关系:直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行. 直线在平面内无数个公共点（如图（1）；直线和平面相交有且只有一个公共点（如图（2）；直线和平面平行没有公共点（如图（3）.符号分别可表示为a，a=A，a.（1） （2） （3）(3)空间平面与平面位置关系:平面与平面平行, 平面与平面相交. 两平面平行没有公共点； 两平面相交有一条公共直线. 符号分别可表示为，=l. 4.空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角（1）定义：已知两条
4、异面直线a,b,经过空间任一点O，如下图所示，作直线aa,bb，把 a与b所成的锐角（或直角） 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成的角的范围是：（0， . 2基础自测基础自测 1. 若A表示点，a表示直线，、表示平面，则下列各项中，表述错误的是（ ）A.a ,Aa AB.a,Aa AC.A,A,=aAaD.Aa,Aa解析：由公理一知.答案：B解析：选项B。是一个存在性命题，反设“四点中任意三点共线”，则四点共线与已知矛盾.答案：B。2.空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是（ ）A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C.AB、BC、CD、DA四条
5、直线中总有两条直线平行D.直线AB与CD必相交3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，表面的对角线与AD1成60角的共有 8 条.4.设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面其中真命题的个数是 0 .课堂互动探究课堂互动探究 空间图形的基本关系的判断 判断下列命题的真假：如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点；过一条直线的平面有无数多个；两个平面的交线可能是一条线段；两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点；经过空
6、间任意三点有且仅有一个平面；如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面.其中真命题序号是（把你认为正确的命题序号都填上）.解析：根据公理可知，和为真命题,其余皆为假命题.答案： 变式探究变式探究 1.已知E,F,G,H是空间中的四个点,设命题M:点E,F,G,H不共面;命题N:直线EF和GH不相交. 那么（ A ）A.M是N的充分不必要条件B.M是N的必要不充分条件C.M是N的充分必要条件D.M不是N的充分条件,也不是N的必要条件 解析：若E,F,G,H不共面,显然有直线EF和GH不相交(否则,若EF与GH相交,则EF,GH可确定一个平面,因而E,F,G,H共面,与已知条
7、件矛盾).反之,若EF,GH不相交,则EF,GH可能异面也可能平行,当EFGH时,也有E,F,G,H共面.所以M是N的充分不必要条件.答案：A 如右图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.与空间四边形有关的问题与空间四边形有关的问题 分析：由三角形的边的中点联想到中位线平行底边的性质.再考虑到证明平行四边形的方法四边形中有一组对边平行且相等、两组对边平行等方法.证明：证明：连结BD，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH= BD.同理，FGBD且FG= BD.因为EHFG且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四
8、边形.点评：点评：空间四边形是立体几何中重要的一类模型.要注意它的图形的画法以及图形的特征如对角线的概念等.若补齐两条对角线，再将其看成封闭的空间图形，实际上，已经变成三棱锥了. 1212变式探究变式探究 2.如右图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断分别满足下列条件时四边形EFGH的形状：（1）AC=BD；（2）ACBD；（3）AC=BD且ACBD. 答案：（1）菱形；（2）矩形；（3）正方形 点、线、面的有关问题点、线、面的有关问题 如右图所示，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD中点，F、G分别在BC、CD上，且（1）判断四边形E
9、FGH的形状；（2）求证：EF和GH的交点在直线AC上.分析分析：（1）由题设易证EHFG,且EHFG，故四边形EFGH为梯形；（2）欲证三线共点,可先证其中两条直线有交点,再证交点也在第三条直线上.解析解析：（1）E,H分别是边AB,AD的中点EHBD,且EH= BD，又FGBD且FG= BD，四边形EFGH为梯形.1223CFCG2=CBCD3（2）证明：由（1）知，四边形EFGH为梯形，从而两腰EF,GH相交,设交点为P,P直线EF,直线EF平面ABC,P平面ABCP直线GH,直线GH平面ACD,P平面ACDP是平面ACD与平面ABC的公共点,又平面ACD平面ABC=直线AC，P直线AC
10、.直线EF,GH,AC交于一点.点评：欲证明若干点共线，先证明这些点都是某两个平面的公共点，再运用公理2，得出这些点都在这两个平面的交线上的结论变式探究变式探究 3.（2009年湖南卷）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）A.3 B.4 C.5 D.6 解析：如右图，用列举法知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，故选C.答案：C 求异面直线所成角的大小求异面直线所成角的大小 如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1, B1C1的中点求EF与AD1所成角的大小分析：平移线段EF，也就是寻找一条EF的
11、平行线且恰与AD1相交，即可转化为两条相交直线所成的平面角来求解. 解析：如右图所示，分别连结A1C1，AC.E，F分别是A1B1，B1C1的中点EFA1C1又在正方体AC1中,A1A B1B C1C，/=/=变式探究变式探究 A1C1ACD1AC的大小即为所求连结CD1，ACD1为正三角形D1AC=60.故EF与AD1所成的角为60.点评点评：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法. 4. 在棱长都相等的四面体A-BCD中（如右图），E，F分别为棱AD，BC的中点连结AF，CE求异面直线AF，CE所成角的余弦值 4.解析：连结DF，取DF的中点G，连结EG，EGAFGEC是异面直线AF，CE
12、所成的角设四面体的棱长为a，连结CG.则AF= a，EG= a.3234在RtFCG中，2222317CG= FG +FC =a+a=a.424在 EGC中，CE= ，EG= ，CG= 。由余弦定理，得 222222337a +a -aEC +EG -CG241616cosGEC=.2EC EG3332aa24即异面直线AF，CE所成角的余弦值是 233a23a47a4温馨提示温馨提示 1.立体几何中的公理、定理及推论都有三种表达形式：文字语言、图形语言、符号语言.注意三种语言准确表达与互译.空间图形都是由点、线、面三种基本元素组成.对空间图形要会画图和识图.图形对于分析空间元素的位置关系，展
13、开想象，探索解题思路是至关重要的.要注意点、线、面的符号表示，并能正确的用集合语言描述它们之间的位置关系.一般说来，点用大写字母表示，如点A，点P等；直线（或线段）用小写字母或直线上两个点来表示，如直线l，直线AB等.点、线、面间关系表示如下：点点A直线直线l，点，点A直直线线l，点，点A平面平面，点，点A平面平面，直线，直线l平面平面，直线，直线l平平面面，相交关系用，相交关系用“”表示并指明交点（或交线），垂直关表示并指明交点（或交线），垂直关系用系用“”表示，平行关系用表示，平行关系用“”表示表示.2.公理的作用：公理的作用：公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2的作用是如何寻找
14、两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理3及其3个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.（注：在将初中的一些平面几何的结论推广到立体几何时，并非所有命题都成立，读者应注意命题成立的条件.）空间等角定理是转化和求解空间角，如异面直线所成角、线面角、二面角的理论依据，要注意它的结论是相等或互补. 3.正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.4.异面直线所成角的求法求异面直线所成角的方法主要有：平移线段法：中点平移与顶点平移；补形法：把空间图形补成熟悉的或
15、完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角,进而通过解三角形来实现.5.两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，而后者常被人忽略.线面垂直是线面相交的一种特殊情形，面面垂直是面面相交的一种特殊情形.而这两类垂直常被误以为是线面（或面面）位置关系中的一种. 题型展示台题型展示台 （2009年全国卷）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（ ） 1013 103A. B. C. D.105105解析：本题考查异面直线夹角求法：利用平移，CD1BA1,因此求EBA
16、1中A1BE即可，易知EB= , A1E=1,A1B= ,故由余弦定理求cosA1BE= ；向量法. 答案：C253 1010 如下图所示，已知几何体的三视图(单位:cm) （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）设异面直线A1Q、PD所成角为，求cos （2）这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体由PQ/CD，且PQ=CD，可知PD/QC，故A1QC为异面直线A1Q、PD所成的角（或其补角）由题设知A1Q2=A1B12+B1Q2=22+ 2=6，A1C= 2=2 ，取BC中点E，则QEBC，且QE=3，QC2=QE2+EC2=32+12=10由余
17、弦定理，得cos=cosA1QC=222111A Q +QC -A C6101215=2A Q QC152 6 10解析: (1)这个几何体的直观图如右图所示 323题型训练题型训练 1.如右图，ABCD为正方形，PAD=PAB =90，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.解析：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM/BD，EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角. 221Rt MAE,EM= EA +AM = 6, EG= 6GM=BD= 22在中同理，又，222EG +GM -ME3Rt MGEcosEGM=.2EG GM6在中，3EGBD6故异面直线与所成角的余弦值为2.如右图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为 ，底面边长为 ，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（ ）A90 B60C45 D3023解析：平移SC到SB，运用余弦定理可算得BE=SE=SB= 。2答案：B 祝祝您您
