1、专题06 半角模型综合应用（专项训练）1如图，在ABC中，C90，ACBC，M、N是斜边AB上的两点，且MCN45，AM3，BN5，则MN 【答案】【解答】解：将CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM则CRACNB全等，RAM是直角三角形ARBN5，MNRM故答案是：2如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC15，点M、N在边BC上，且MAN45，CN5，MN【答案】13【解答】解：等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC15，ABCC45，BCAB30，把ACN绕点A顺时针旋转90得到ABD，连接MD，如图所示：则ABDC45，BDCN5，DAN90，ADAN，D
2、BM45+4590，MAN45，MAD904545，MADMAN，在AMD和AMN中，AMDAMN（SAS），MDMN，设MDMNx，则BMBCMNCN25x，在RtDBM中，由勾股定理得：BD2+BM2MD2，即52+（25x）2x2，解得：x13，MN13；故答案为：133如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E是BC边上的任意两点，且DAE45（1）将ABD绕点A逆时针旋转90，得到ACF，请在图（1）中画出ACF（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM
3、+DNMN，试求MAN的大小【解答】解：（1）完成图形，（2）连接EF，由旋转可知，AFAD，CFBD，DAF90，DAE45，DAEFAE45，在DAE和FAE中，DAEFAE（SAS），EFDE，ABAC，BAC90，BACB45，ACF45，ECFACB+ACF90，EF2EC2+FC2，DE2EC2+BD2；（3）将ADN绕点A逆时针旋转，得到ABE，如图：由旋转得：NAE90，ANAE，ABED90，E，B，M三点共线，BM+DNMN，MEMN，在AEM和ANM中，AEMANM（SSS），MAEMAN454（1）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，EAF45，延长C
4、D到点C，使DGBE，连接EF、AG，求证：EFFG；（2）如图，在ABC中，BAC90，点M、N在边BC上，且MAN45，若BM2，ABAC，CN3，求MN的长【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ABEADG，ADAB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAEDAG，AEAG，EAG90，在FAE和GAF中，FAEFAG（SAS），EFFG；（2）解：如图，过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CEBM连接AE、ENABAC，BAC90，BACB45CEBC，ACEB45在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AMAE，BAMCAEBAC90，MAN45，BAM+CAN4
5、5于是，由BAMCAE，得MANEAN45在MAN和EAN中，MANEAN（SAS）MNEN在RtENC中，由勾股定理，得EN2EC2+NC2MN2BM2+NC2BM2，CN3，MN222+32，MN5已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N（1）当MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DNMN；（2）当MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想（不需要证明）【解答】解：（1）猜想：BM+DNMN，证明如下：如图1，在MB的延长线上，截取BEDN，连接AE，
6、在ABE和ADN中，ABEADN（SAS），AEAN，EABNAD，BAD90，MAN45，BAM+DAN45，EAB+BAM45，EAMNAM，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），MEMN，又MEBE+BMBM+DN，BM+DNMN；（2）DNBMMN证明如下：如图2，在DC上截取DFBM，连接AF，ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，BAM+BAFBAF+DAF90，即MAFBAD90，MAN45，MANFAN45，在MAN和FAN中，MANFAN（SAS），MNNF，MNDNDFDNBM，DNBMMN6把一个含45的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的
7、顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MNBM+DN（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明【解答】（1）证明：延长MB到H，使BHDN，连接AH，如图（1），四边形ABCD为正方形，DABC90，ADAB，在ABH和ADN中，ABHADN（SAS），AHAN，HABNAD，MAN45，DAN+BAM45，HAB+BAM45，HAMNAM，在AMH和AMN中，AMHAMN（SAS），MHMN，即HB+MBMN，MNBM+DN
8、；（2）解：MNDNBM理由如下：在DN上截取DHBM，如图（2），与（1）一样可证明ADHABM，AHAM，DAHBAM，MAN45，DAH+BAN45，HAN45，HANNAM，在ANH和AMN中，ANHAMN（SAS），NHMN，而DNDH+HN，BM+MNDN，即MNDNBM7如图，在ABC中，BAC120，ABAC，点M、N在边BC上，且MAN60若BM2，CN3，则MN的长为 【答案】【解答】解：如图，ABM绕点A逆时针旋转120至APC，连接PN，过点P作BC的垂线，垂足为D，BAC120，ABAC，BACB30ABMAPC，BACP30，PCBM2，BAMCAP，NCP60，M
9、AN60，BAM+NACNAC+CAP60MAN，又AMAP，ANAN，MAN和PAN中，MANPAN（SAS），MNPN，PDCN，NCP60，CDPC1，PDCDDNCNCD312，PN故答案为：8ABC中，BAC，ABAC，点D、E在直线BC上（1）如图1，D、E在BC边上，若120，且AD2+AC2DC2，求证：BDAD；（2）如图2，D、E在BC边上，若150，DAE75，且ED2+BD2CE2，求BAD的度数（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若BAC，DAE180，ADB15，BE4，BD2，则CD的值为 【解答】（1）证明：AD2+AC2DC2，DAC90，BAC1
10、20，BADDAC30，ABAC，BC30，BADB30，BDAD（2）解：如图（2），将AEC绕着点A顺时针旋转150，得到AEB，AEAE，ABEC，BECE，EACEAB，BAC150，DAE75，BAD+EAC75，BAD+EAB75，即EAD75，EADEAD，又ADAD，AEAE，AEDAED（SAS），DEDE，EDAEDA，ED2+BD2CE2，ED2+BD2BE2，BDE90，EDAEDA45，BAC150，ABAC，BADADCABC451530，故BAD30（3）解：如图（3），作E关于AD的对称点F，连接DF，AF，CF，作FGBC，F，E关于AD对称，AFAE，DFDE，ADAD，ADFADE（SSS），ADEADF15，FDC30，EAF360DAFDAEBAC，BAECAF，又ABAC，AEAF，ABEACF（SAS），CFBE4，在RtDFG中，FDG30，DFDEBD+BE6，FCBE4，FG3，故答案为：
