1、单因素优化实验设计单因素优化实验设计 指标和因素指标和因素 试验需要考虑的结果称为试验需要考虑的结果称为试验指标试验指标（简称（简称指标指标） 试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简称为试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简称为因素因素每个因素可能出的状态称为因素的水平（简称每个因素可能出的状态称为因素的水平（简称水平水平） 优选法优选法(optimum seeking method)： 根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理安根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学
2、方法。科学方法。 优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表达，或虽有表达式但很复杂的问题。达，或虽有表达式但很复杂的问题。1）单峰函数单峰函数（实验中指标函（实验中指标函数）数）注：单峰函数不一定是光滑注：单峰函数不一定是光滑的，甚至也不一定是连续的，的，甚至也不一定是连续的，它只要求在定义区间内只有它只要求在定义区间内只有一个一个“峰峰”。函数的单峰性使我们可以根函数的单峰性使我们可以根据消去法原理逐步地缩小搜据消去法原理逐步地缩小搜索区间，已知其中包括了极索区间，已知其中包括了极小点的区间，称为小点的区间，称为搜索区间搜索区间。单
3、因素优化实验设计单因素优化实验设计单因素优化实验设计单因素优化实验设计一、定义一、定义 实验中只有一个影响因素，或虽有多个影实验中只有一个影响因素，或虽有多个影响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验，响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验，即为即为单因素实验单因素实验。二二、步骤、步骤 1）确定试验因素的取值范围）确定试验因素的取值范围 x：实验点：实验点 axb 2）确定指标）确定指标 3）根据实际情况及实验要求，选择实验方法，）根据实际情况及实验要求，选择实验方法，科学安排实验点科学安排实验点 例例1 某厂
4、在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初步实验，结果是：步实验，结果是： X： 电解温度 （）： 电解温度 （） 65 74 80 ：电解率（）：电解率（） 94.3 98.9 81.5 其中，其中，74效果最好，但是最佳温度是不是就在效果最好，但是最佳温度是不是就在 74？还有没有改？还有没有改进的余地？这就要在进的余地？这就要在 74附近安排实验。附近安排实验。第一种方案是在第一种方案是在 70、71、72、73、75、76逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这批数据进行分
5、析，找出科学的设计方法。批数据进行分析，找出科学的设计方法。 分析这三个数据，可以看出，分析这三个数据，可以看出，y 值中间高两边低，形成一条抛物线。值中间高两边低，形成一条抛物线。可以用求出抛物线方程，再求导数找出极大值的方法寻可以用求出抛物线方程，再求导数找出极大值的方法寻找最佳温度，抛找最佳温度，抛物线方程式是：物线方程式是： y=ax2+bx+c 有了这三组数据，就可以解出有了这三组数据，就可以解出 a、b、c 三个数据，然后找出极大点，从三个数据，然后找出极大点，从而得到对应的温度是：而得到对应的温度是： 70.5。再用这个温度作实验再用这个温度作实验,电解率高达电解率高达 99.5
6、,一次成功！一次成功！ 三、单因素优化实验设计方法三、单因素优化实验设计方法 1、均分法、均分法 2、对分法、对分法 3、黄金分割法（、黄金分割法（0.618法）法） 4、分数法、分数法1均分法均分法 1） 作法作法 2） 优点：优点：只要把实验放在等分点上，实验点安排简单。只要把实验放在等分点上，实验点安排简单。n次实验可同时做，节约时间，也可一个接一个做，灵活次实验可同时做，节约时间，也可一个接一个做，灵活性强。性强。3）缺点）缺点：实验次数较多，代价较大，不经济：实验次数较多，代价较大，不经济.2对分法（中间取点）对分法（中间取点） 1）作法）作法 每次实验点都取在实验范围的中点，即中点
7、取点法。每次实验点都取在实验范围的中点，即中点取点法。 2）优点：）优点：每做一个实验就可去掉试验范围的一半，每做一个实验就可去掉试验范围的一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效果较好。且取点方便，试验次数大大减小，故效果较好。 3）适用情况）适用情况：适用于适用于预先已了解所考察因素对指标预先已了解所考察因素对指标的影响规律的影响规律，能从一个试验的结果直接分析出该因素，能从一个试验的结果直接分析出该因素的值是取大了或取小了的情况，即每做一次实验，根的值是取大了或取小了的情况，即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验方向的情况，这无疑使对分据结果就可确定下次实验方向的情况，这无疑使对分法应
8、用受到限制。法应用受到限制。对分法举例对分法举例 例例1：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲灰管以前，必须加碱调整灰管以前，必须加碱调整pH=78，加碱量范围，加碱量范围a，b，试确，试确定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后pH。采用对分。采用对分法安排实验。法安排实验。第一次加药量第一次加药量 i）若加药后水样）若加药后水样pH7，加药范围中小于，加药范围中小于x1的范围可舍弃，新的实验范围的范围可舍弃，新的实验范围x1，b ，第二次加药量第二次加药量 。实验后再测加药后水样实验后再测
9、加药后水样pH。根据。根据pH大小再次取舍，直到得到满意结果。大小再次取舍，直到得到满意结果。 ii）若加药后水样）若加药后水样pH8，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药范围中大于范围中大于x1的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。 21bax212bxx对分法举例 例例2：称量质量为：称量质量为2060g某种样品时，某种样品时，第一次砝码的质量为第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏，如果砝码偏轻，则可判断样品的质量为轻，则可判断样品的质量为4060g，于是，第二次砝码的质量为于是，第二次砝码的质量为50g，如果
10、，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量为砝码又偏轻，则可判断样品的质量为5060g，接下来砝码的质量为，接下来砝码的质量为55g，如，如此称下去，直到天平平衡为准。此称下去，直到天平平衡为准。20604050553. 0.618法（黄金分割法）的构思法（黄金分割法）的构思 设指标函数是一个单峰函数，即在某区设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极大点，为最佳实验点间内只有一极大点，为最佳实验点 黄金分割法(gold cut method)，将第一个试验点d安排在试验范围内的0.618处（距左端点a），即d=a+(b-a)0.618，得到试验结果f(d)；再在d的对称点c，即c=a+(b-a
11、) 0.382,得到试验结果f(c)，比较f(d)和f(c)，如果f(c)大，就就去掉(d,b)段，然后在留下的(a,d)用以上的方法做下去，直到达到要求为止。0.618法一般步骤法一般步骤确定实验范围确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了实验范围确定了实验范围a，b ）；）；选实验点选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、0.382的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点x1,x2的实验结果）；的实验结果）；根据根据“留好去坏
12、留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处将实验范围去掉，从而缩小了实验范围；坏点处将实验范围去掉，从而缩小了实验范围；在在新实验范围内新实验范围内按按0.618、0.382的特殊位置的特殊位置再次安排实验点再次安排实验点，重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。0.618法具体作法法具体作法黄金分割法举例例例2：为了达到某种产品质量标准，需要加入一种材料。已知：为了达到某种产品质量标准，需要加入一种材料。已知其最佳加入量在其最佳加入量在1000g2000g之间的某一点，现在要通过之间的某一点，现
13、在要通过做实验的办法找到最佳加入量。做实验的办法找到最佳加入量。解：首先在实验范围的解：首先在实验范围的0.618处做第一个实验，这一点的加处做第一个实验，这一点的加入量为：入量为：x1=1000+(2000-1000) 0.618=1618g在这一点的对称点，即在这一点的对称点，即0.382处做第二个试验，这一点加入处做第二个试验，这一点加入量为：量为：x2=1000+(2000-1000) 0.382=1382g比较两次试验结果，如果第二点较第一点好，则去掉比较两次试验结果，如果第二点较第一点好，则去掉1618g以上部分，然后在以上部分，然后在(1000,1618)之间，找之间，找x2的对
14、称点：的对称点：X3=1000+(1618-1000) 0.382=1236g如果仍然是第二点好，则去掉如果仍然是第二点好，则去掉1236g以下的一段，在留下的以下的一段，在留下的部分部分(12361618)，继续找第二点的对称点，做第四次试验。，继续找第二点的对称点，做第四次试验。如果这一点比第如果这一点比第2点好，则去掉点好，则去掉12361382这一段，在留下这一段，在留下的部分按同样方法继续做下去，直到找到最佳点。的部分按同样方法继续做下去，直到找到最佳点。4、分数法、分数法（Fibonacci Search） 分数法又称费波那契搜索（分数法又称费波那契搜索（Fibonacci Sea
15、rch），基本思想和），基本思想和0.618法是一致法是一致的，的，主要不同点是主要不同点是：0.618法每次都按法每次都按同一比例常数同一比例常数0.618来缩短区间，而分来缩短区间，而分数法每次都是按不同的比例来缩短区间数法每次都是按不同的比例来缩短区间的，它是按菲波那契数列的，它是按菲波那契数列Fn产生的分产生的分数序列为比例来缩短区间数序列为比例来缩短区间 。3）分数法具体作法）分数法具体作法 分两种情况分两种情况X34）分数法的特点）分数法的特点 1)具体搜索步骤与前述具体搜索步骤与前述0.618法基本一致，所不法基本一致，所不同之处仅仅是选的实验点位置是分同之处仅仅是选的实验点位置
16、是分数数 ， ，且要求预先给出实验，且要求预先给出实验总次数。总次数。 2)在实验点能取在实验点能取整数整数时，或由于某种条件限制只时，或由于某种条件限制只能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由一些一些不连续的不连续的、间隔不等的点间隔不等的点组成或组成或实验点只能实验点只能取某些特定值时取某些特定值时，利用分数法安排实验更为有利、，利用分数法安排实验更为有利、方便。方便。 3)适合于单峰函数。适合于单峰函数。111nnFF21nnFF 通过数学计算可知，经过同样次数的分割通过数学计算可知，经过同样次数的分割 后，后，分数法的缩减速度比分数法的缩减
17、速度比0.618法快法快，当，当N很大时，分数法比很大时，分数法比0.618法法效率高效率高17%，对于这种对于这种两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精度，度，适用于单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为适用于单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为适用。适用。第三节第三节 双因素实验设计双因素实验设计 1、从好点出发法（旋升法）、从好点出发法（旋升法） 特点：对某一因素进行实验选择最佳点特点：对某一因素进行实验选择最佳点 时，另一因时，另一因素都是固定在上次实验结果的好点上（除第一次以素都是固定在上次实验结果的好点上（除第一次以外）。外）。 举例例：阿托
18、品是一种抗胆碱药。为了提高例：阿托品是一种抗胆碱药。为了提高产量降低成本，利用优选法选择合适的产量降低成本，利用优选法选择合适的酯化工艺条件。根据分析，主要影响因酯化工艺条件。根据分析，主要影响因素为温度与时间，其试验范围为：温度：素为温度与时间，其试验范围为：温度：5575，时间：，时间：30310min。解：解：1）先固定温度为）先固定温度为65，用单因素优选时间，用单因素优选时间，得最优时间为得最优时间为150min，其收率为，其收率为41.6%。2）固定时间为）固定时间为150min，用单因素优选法优选温度，用单因素优选法优选温度，得最优温度为得最优温度为67，其收率为，其收率为51.
19、6%（去掉小于（去掉小于65部分）部分）3）固定温度为）固定温度为67，对时间进行单因素优选，得，对时间进行单因素优选，得最优时间为最优时间为80min，其收率为，其收率为56.9%（去掉（去掉150上上半部）。半部）。4）再固定时间为）再固定时间为80min，又对温度进行优选，这，又对温度进行优选，这时温度的优选范围为时温度的优选范围为6575。优选结果还是。优选结果还是67。到此试验结束，可以认为最好的工艺条件。到此试验结束，可以认为最好的工艺条件为温度：为温度：67，时间，时间80min，收率，收率56.9%。2、平行线法、平行线法适用情况：两个因素中，一个（例如适用情况：两个因素中，一
20、个（例如x）易于调整，另一个（例如易于调整，另一个（例如y）不易调整。）不易调整。 因素因素y的取点方法还可以为的取点方法还可以为0.618法法或其他合适的方法。或其他合适的方法。0.6180.3823、对开法 每次可去掉实验范围的一半。若两点实验结果相等每次可去掉实验范围的一半。若两点实验结果相等（或无法辨认好坏），可将图上的下半块和左半块都（或无法辨认好坏），可将图上的下半块和左半块都去掉，仅留下第一象限。所以，当两点试验数据的可去掉，仅留下第一象限。所以，当两点试验数据的可辨性十分接近时，可直接丢掉试验范围的辨性十分接近时，可直接丢掉试验范围的3/4。对开法举例某化工厂试制硫磺钡，其原料
21、硫磺是磺化油经乙醇水溶液萃取出某化工厂试制硫磺钡，其原料硫磺是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的。试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出来的。试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的硫磺最多。根据经验，乙醇水溶液的浓度变化范围为的硫磺最多。根据经验，乙醇水溶液的浓度变化范围为5090（体积百分数），用量变化范围为（体积百分数），用量变化范围为3070（质量百分数）。（质量百分数）。关于优选法中主次因素的确定关于优选法中主次因素的确定 主、次因素的确定，对于优选法是很重要的。如果限主、次因素的确定，对于优选法是很重要的。如果限于认识水平确定不了哪一个是主要因素，可以通过实于认识
22、水平确定不了哪一个是主要因素，可以通过实验来解决，具体做法验来解决，具体做法: 先在因素的试验范围内做两个试验（一般可选先在因素的试验范围内做两个试验（一般可选0.618和和0.382两点），如果这两点的效果差别明显，则为两点），如果这两点的效果差别明显，则为主要因素；主要因素； 如果这两点效果差别不大，则在（如果这两点效果差别不大，则在（0.3820.618）、）、（00.382）和（）和（0.6181）三段的中点分别再做）三段的中点分别再做一次试验，如果仍然差别不大，则此因素为非主要因一次试验，如果仍然差别不大，则此因素为非主要因素，在试验过程中可将该因素固定在素，在试验过程中可将该因素固
23、定在0.3820.618间的任一点。间的任一点。 结论：当对某因素做了五点以上试验后，如果各点效结论：当对某因素做了五点以上试验后，如果各点效果差别不明显，则该因素为次要因素，不要在该因素果差别不明显，则该因素为次要因素，不要在该因素上继续试验，而应按同样的方法从其他因素中找到主上继续试验，而应按同样的方法从其他因素中找到主要因素再做优选试验。要因素再做优选试验。单、双因素优选法作业 1、已知某合成试验的反应温度范围为、已知某合成试验的反应温度范围为340420，通过单因素优选法得到：温度为通过单因素优选法得到：温度为400时，产品的合时，产品的合成率最高，如果使用的是成率最高，如果使用的是0
24、.618法，问优选过程是如法，问优选过程是如何进行的，共需做多少次试验。假设在试验范围内合何进行的，共需做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数。成率是温度的单峰函数。 2、某厂在制作某饮料时，需要加入白砂糖，为了工、某厂在制作某饮料时，需要加入白砂糖，为了工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位，经人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位，经初步摸索，加入量在初步摸索，加入量在38桶范围内优选。由于桶数只桶范围内优选。由于桶数只宜取整数，采用分数法进行单因素优选，优选结果为宜取整数，采用分数法进行单因素优选，优选结果为6桶，试问优选过程是如何进行的。假设在试验范围桶，试问优选过程是如何进行的。假设在试验范围内试验指标是白砂糖桶数的单峰函数。内试验指标是白砂糖桶数的单峰函数。
