1、2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法1 求解弹塑性力学问题求解弹塑性力学问题，就是：，就是：给定作用在物体边界或内部的给定作用在物体边界或内部的外界作用，求解物体内因此产生的应力场和位移场外界作用，求解物体内因此产生的应力场和位移场。在弹塑性力学问题中，未知量应包括在弹塑性力学问题中，未知量应包括6个应力分量个应力分量，6个应变个应变分量分量和和3个位移分量个位移分量，而方程包括，而方程包括3 3个平衡方程个平衡方程，6个几何方程个几何方程和和6个物理方程个物理方程，这样共有，这样共有15个方程个方程解解15个未知量个未知量，因此问题，因此问题是
2、可解的。再利用是可解的。再利用初始条件初始条件，边界条件边界条件（偏微分方程的初值问（偏微分方程的初值问2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法2题和边值问题）等又可使此解具有题和边值问题）等又可使此解具有唯一性唯一性。但真正要求解这。但真正要求解这样一组偏微分方程，在数学上是很困难的，因此就产生了一样一组偏微分方程，在数学上是很困难的，因此就产生了一些相应的解题方法，包括些相应的解题方法，包括解析解法解析解法和和数值解法数值解法两大类。本章两大类。本章介绍介绍解析解法解析解法。在解方程组中，一种通用的方法是在解方程组中，一种通用的方法是“消元法消元
3、法”。在处理弹。在处理弹性力学问题时也不例外。性力学问题时也不例外。以以位移为基本未知量位移为基本未知量进行求解，就是进行求解，就是“位移法位移法”。以以应力为基本未知量应力为基本未知量进行求解，就是进行求解，就是“应力法应力法”。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法3 以部分位移和部分应力为基本未知量求解，就是以部分位移和部分应力为基本未知量求解，就是“混合混合法法”。选用何种方法，视具体问题具体分析。选用何种方法，视具体问题具体分析。如：当边界条件给的是如：当边界条件给的是位移边界条件位移边界条件，则适用，则适用位移法位移法；当边界条件给的是
4、当边界条件给的是应力边界条件应力边界条件，则适用，则适用应力法应力法；当边界条件给的是当边界条件给的是混合边界条件混合边界条件，则适用，则适用混合法混合法。位移法位移法：以以u、v、w作为基本未知量，在物理方程（作为基本未知量，在物理方程（318式，式，P88）中，利用几何方程将应变用位移表示，可得用位）中，利用几何方程将应变用位移表示，可得用位移表示的应力分量：移表示的应力分量：因为：因为：zzyyxxGGG222，zxzxyzyzxyxyGGG，2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法4所以有：所以有：)(2)(2)(2zuxwGzwGzvywG
5、yvGyuxvGxuGzxzyzyxyx，(41)其中，其中，212)21)(1(Gzwyvxuzyx03为体积应变。为体积应变。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法5 将（将（41）式代入平衡方程（）式代入平衡方程（139式，式，P35）有）有拉梅位拉梅位移方程移方程（42）。）。0)(0)(0)(222zyxfwGzGfvGyGfuGxG（42）其中，其中，2222222zyx 拉普拉斯算子。拉普拉斯算子。kzjyixgrad 梯度算子（矢量算子）。梯度算子（矢量算子）。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力
6、学的解题方法6散度算子：设散度算子：设 为一矢量，则为一矢量，则 RkjpivzRyxpdivvvvdiv旋度算子：旋度算子：RQPzyxkjivvrot若设：若设：则有：则有：wkvjuiukfjfiffzyxuudiv2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法7方程（方程（42）可写成：）可写成：0)()()(2fuGuG又因为：又因为：式（式（42）可写为：）可写为：21GG0)(212fuGuG对边界条件：应力边条，则可把（对边界条件：应力边条，则可把（41）式代入边界条件）式代入边界条件 zzzyzxyyzyyxxxzxyxFnmlFnmlF
7、nml2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法8其中，其中，为该边界的外法线的三个方向余弦，得到用位为该边界的外法线的三个方向余弦，得到用位移表示的边界条件。移表示的边界条件。nml,zyxFzwGnGywzvmGxwzulGFzvywnGyvGmGxvyulGFzuxwnGyuxvmGxuGlG)2()()()()2()()()()2(（44）解题思路解题思路：在求解问题时，要使所求的位移函数：在求解问题时，要使所求的位移函数 在物体内部满足方程式（在物体内部满足方程式（42），在边界上满），在边界上满足边条（足边条（44）或满足直接给出的位移边条
8、；将所求问题的）或满足直接给出的位移边条；将所求问题的wvu，2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法9位移代入几何方程便可求出应变，利用式（位移代入几何方程便可求出应变，利用式（41）可求出应）可求出应力分量。力分量。按按位移法求解弹性力学问题位移法求解弹性力学问题时，未知函数个数比较少，时，未知函数个数比较少，仅只有三个未知量仅只有三个未知量 ，但必须求解三个联立的二阶，但必须求解三个联立的二阶偏微分方程，而不能像按应力求解问题时那样简化为求解一偏微分方程，而不能像按应力求解问题时那样简化为求解一个单独的微分方程（个单独的微分方程（缺点缺点）。w
9、vu，但是，但是，位移法是一种普适方法位移法是一种普适方法，特别是在数值解法中得，特别是在数值解法中得到了广泛应用，如：到了广泛应用，如：有限元法有限元法、差分法差分法等等数值计算方法数值计算方法。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法10例：设有半空间体，单位体积的质量为例：设有半空间体，单位体积的质量为 ，在水平边界面上，在水平边界面上受均布压力受均布压力 q 的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设并假设 处处 方向的位移方向的位移 。hz z0w 解；该问题是关于解；该问题是关于z 轴的轴的
10、轴对称问题轴对称问题。可以假设：可以假设：)(0,0zwwvu，2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法11所以体积应变所以体积应变 为：为：dzdw222dzwdw 而而只有一个变量可以用全微分只有一个变量可以用全微分代入拉梅方程得：代入拉梅方程得：0)2(22gdzwdGgGGgdzwd)1(221222积分得：积分得：)()1(4212zgzGw2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法12确定积分常数确定积分常数A、B：由边条：由边条：,0 ml,1n,1180cos,0yxFFqFz代入式（代入式（
11、44），前两式为恒等式，第三式为），前两式为恒等式，第三式为 qdzdwGdzdwz0)2(qGdzdwz)1(2210而由上述而由上述 的表达式有：的表达式有：wAgzGdzdw)1(221qGA)1(2212023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法13又由条件：又由条件：，得：得：hz 00zw2)1(421)1(221ghGqhGB将常数：将常数：A，B代入代入 的表达式，则有：的表达式，则有：w00)(2)()1(42122vuzhqzhgGw，利用式（利用式（41）求应力：）求应力：)(1)(2gzqgzqGyx)()2(gzqdzdwGz0
12、zxyzxy2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法14第二节第二节 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 解题思路解题思路：以六个应力分量作为基本未知量。从基本方以六个应力分量作为基本未知量。从基本方程中消去位移和应变，得到关于程中消去位移和应变，得到关于应力的偏微分方程组应力的偏微分方程组。首先。首先这六个应力分量应满足三个平衡方程这六个应力分量应满足三个平衡方程，但还，但还需补充方程需补充方程。在第二章中，我们推导了在第二章中，我们推导了应变协调方程应变协调方程（239）、（）、（240）如下：）如下：2023-9-21周书敬周书敬第四
13、章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法15zxxzzyzyyxyxxzzxzyyzxyxy222222222222222yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyxzyzxyxzyxyzx2222)(2)(2)(由广义胡克定律：由广义胡克定律：)1(1)1(1)1(1zzyyxxEEEGGGzxzxyzyzxyxy2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法16)21(,)1(2EEGzyx代入上式得应力表示的协调方程：代入上式得应力表示的协调方程：)(1)(1)(12)(12)(12)(1222222222222222222222
14、222222222222zxyzyxyxyxzyxzxzxzyxzyzyzxzxzxzyyzyzyxyxxyxyyzzxzzxyzxyyyzxyzxxzxxzyzzyxyyx(45)2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法17第一式由第一式由 yxyxxyxy22222yxGEyExxyxy222221)1(1)1(1yxGyyExxExyxy2222222221)1(1)1(1yxGEyxyxxyxy222222222)1()(1yxyxyxEGxyxy2222222222)(1)1(2(2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题
15、方法弹塑性力学的解题方法18 在（在（43）式中，利用平衡方程，将第一，三式相加，）式中，利用平衡方程，将第一，三式相加，可得出：可得出：)2(1)(222222222222zyxxzyzyxx)(22222zyxxzyxzxxyzxxyxfxfxxxxxx22)(222下面解释上式的推导：下面解释上式的推导：2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法19平衡方程：平衡方程：0 xxzxyxfzyxxxxxzxyfxzy0yyzyyxfzyx0zzzyzxfzyx可有（可有（46）式：）式：2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方
16、法弹塑性力学的解题方法20zfzyfyxfxzzyyxx211112111121111222222222222（46）将（将（46）式三式相加得出：）式三式相加得出：)(21)1(22zfyfxfzyx（47）将（将（47）式代入式（）式代入式（46）后，可得：）后，可得：)(1211222zfyfxfxfxzyxxx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法21 同理可建立起另外两个类似的方程。按书中同理可建立起另外两个类似的方程。按书中 将式（将式（45）中的第中的第4式改写，类似改写另外两式可得出书中式（式改写，类似改写另外两式可得出书中式（48
17、）135P推导（推导（46）式：）式：将（将（4 45 5）中第一式，第三式相加，有：）中第一式，第三式相加，有：)(1)(12222222222222222zxzxyxxyxzyxzxyxxzxy2222)(2zyxxzxyxfxfxxxxxx22)(222利用（利用（139）式）式2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法22进一步整理：进一步整理：xfxzxzxyxxyxxxzyx22)(1)(1222222222222222222xfzyxxzxxyxxxzyx2)2(1222222222222222222023-9-21周书敬周书敬第四章第四
18、章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法23xfzyxxxxxzyxxzxyxxx2)(1122222222222222222222得（得（4 46 6）式第一式）式第一式 xfxxx211122222222222222)(xxxxxzyxzyx 相关解释相关解释：2222zyx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法24推导（推导（47）式：）式：2222222211)11()1(xxxx将（将（46）式三式相加）式三式相加)(213)(112222222222zfyfxfzyxzyxzyx)(21311222zfyfxfzyx2023-9-2
19、1周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法25221)1(2)13111()(21)1(22zfyfxfzyx（47）将（将（4 47 7）式代入（）式代入（4 46 6）第一式有：）第一式有：xfzfyfxfxxzyxx2)(2112111222)(1211222zfyfxfxfxzyxxx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法26由（由（4 45 5）式第四式有：）式第四式有：)()()(122xxzxyxzyzyyzxyzxx22)()(xxzxyyzxyzx由平衡方程可得由平衡方程可得上下步的互换上下步的互换 22
20、)()(xfzyzfzyyyzyyzyzzyzzfyfzyyxzyxy)(222023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法27即有：即有：zfyfzyzyzyyzzyyzx)(12222zfyfzyzyyzyzzyx2221)(zfyfzyyzyz22)11(zfyfzyyzyz2211 由此可得出：以应力表示的变形协调条件（相容方程）由此可得出：以应力表示的变形协调条件（相容方程）为（为（48）式）式2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法28xfzfxzyfzfzyxfyfyxzfyfxfzfzzfyfxf
21、yfyzfyfxfxfxzxzxzyyzyxxyzyxzzzyxyyzyxxx222222222222222111111)(1211)(1211)(1211(48)式中，式中，zyx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法29 当当体积力为零体积力为零或或常数常数时，则（时，则（48）式可写为：）式可写为：0)1(0)1(0)1(0)1(0)1(0)1(222222222222222xzzyyxzyxzxyzxyzyx（49）2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法30此时，由（此时，由（47）得出：）得出
22、：02即应力第一不变量即应力第一不变量 是调和函数。是调和函数。01)1(2)(21)1(222，zfyfxfzyx 对（对（49）式两边作用拉普拉斯算子，得出式（）式两边作用拉普拉斯算子，得出式（410）即：即：000000222222222222zxyzxyzyx（410）则所有的应力分量都是则所有的应力分量都是双调和函数双调和函数。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法31两类两类平面问题：平面问题：平面应力问题平面应力问题和和平面应变问题平面应变问题。任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力
23、都是空间力系，因此，严格地说，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。因此，严格地说，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法32 如果所考察的弹性体具有某种如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状特殊的形状，并且承受的是，并且承受的是某种某种特殊的外力特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。这样处理，分析和计算的工作量将大大地减少，而所得的成果这样处理，分析和计算的工作量将大大地减少，而所得的成果都仍然能满足工程上对精度的要求。都仍然能满足工程上对精度的要求。1
24、1、平面应力问题、平面应力问题 设有设有很薄很薄的的等厚度薄板等厚度薄板，只在，只在板边上板边上受有受有平行于板面并且平行于板面并且不沿厚度变化不沿厚度变化的的面力面力，同时，同时体力也平行于板面并且不沿厚度体力也平行于板面并且不沿厚度变化变化。如图。如图2中的深梁，以及平板坝的平板支墩，都属于这中的深梁，以及平板坝的平板支墩，都属于这一类。一类。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法33oxyyz平面应力问题板受力平面应力问题板受力 设板的厚度为设板的厚度为 ，以板，以板的中面为的中面为xy面，以垂直于中面，以垂直于中面的任一直线为面的任一直线为
25、 z 轴。轴。t 因为板面上（因为板面上（）不受力，所以有：不受力，所以有：tz210)(21tzz0)(21tzzx0)(21tzzy 因为板很薄，外力又不沿厚度变化，所以，可以认为在因为板很薄，外力又不沿厚度变化，所以，可以认为在整个薄板的所以各点都有：整个薄板的所以各点都有：0,0,0zyzxz2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法34 注意到剪应力互等，所以注意到剪应力互等，所以 ，。这样，只剩。这样，只剩下平行于下平行于xy平面的三个应力分量，即：平面的三个应力分量，即：，故，故这种问题称为这种问题称为平面应力问题平面应力问题。0 xz0
26、yzyxxyyx，同时，也因为板很薄，以及分析问题时必须要考虑的形变同时，也因为板很薄，以及分析问题时必须要考虑的形变分量和位移分量，都可以是不沿厚度变化的，即：它们只是分量和位移分量，都可以是不沿厚度变化的，即：它们只是x和和y的函数，不随的函数，不随z 而变化。而变化。2、平面应变问题平面应变问题 与平面应力问题相反，设有很长的柱形体，它的横截面与平面应力问题相反，设有很长的柱形体，它的横截面如图所示，在柱上受有如图所示，在柱上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面平行于横截面而且不沿长度变化的面力力，同时，同时，体力也平行于横截面而且不沿长度变化体力也平行于横截面而且不沿长度变化，（内在，
27、（内在2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法35因素和外来作用都因素和外来作用都不沿长度变化不沿长度变化）。）。xyo平面应变问题平面应变问题 假想该柱形体为无限长，以任一假想该柱形体为无限长，以任一横截面为横截面为xy 面，任一纵线为面，任一纵线为z z 轴，轴，则所有一切应力分量，形变分量和位则所有一切应力分量，形变分量和位移分量都不沿移分量都不沿z z 轴方向变化，而只是轴方向变化，而只是x和和y的函数。的函数。此外，在这一情况下，由于对称（任一横截面都看作是对此外，在这一情况下，由于对称（任一横截面都看作是对称面），所以各点都只会沿称面），
28、所以各点都只会沿x和和y方向移动而不会有方向移动而不会有z z方向的位方向的位移，也就是移，也就是 。因为所有各点的位移分量都平行于。因为所有各点的位移分量都平行于xy面，面，所以这种问题称为所以这种问题称为“平面位移问题平面位移问题”，但在习惯上常称为，但在习惯上常称为“平平面应变问题面应变问题”。0w2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法36 又由对称条件可知，又由对称条件可知，。根据剪应力互等关。根据剪应力互等关系，系，。但是由于。但是由于z z方向的伸缩被阻止，所以，方向的伸缩被阻止，所以，一般一般 。00zyzx，00yzxz，0z 有些
29、问题，例如有些问题，例如挡土墙挡土墙、重力坝重力坝的问题等等，是很接近的问题等等，是很接近于于平面应变问题平面应变问题的。虽然由于这些结构不是无限长的，而且的。虽然由于这些结构不是无限长的，而且在靠近两端之处，横截面的形状也往往是变化的，并不符合在靠近两端之处，横截面的形状也往往是变化的，并不符合无限长柱形体的条件，但是实践证明，无限长柱形体的条件，但是实践证明，对于离开两端较远之对于离开两端较远之处，按平面应变问题进行分析计算，得出的结果是工程上可处，按平面应变问题进行分析计算，得出的结果是工程上可用的。用的。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方
30、法37000),(),(),(231zxzyzyxyxyxFyxFyxF（411）在平面应变问题在平面应变问题中，物体某一位移，中，物体某一位移，如如 在各处均为零，在各处均为零，而位移而位移 与坐标系与坐标系无关。这种情况可发无关。这种情况可发生在一个方向很长的生在一个方向很长的wvu,棱柱形成柱形的物体上，其轴线与棱柱形成柱形的物体上，其轴线与z 轴平行，而在侧面上承受轴平行，而在侧面上承受垂直于垂直于z 轴的荷载，荷载沿轴的荷载，荷载沿 z 轴不变，这样的问题属于平面应轴不变，这样的问题属于平面应2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法38问题
31、。问题。对于平面应变问题有：对于平面应变问题有：0),(),(21wyxvyxu，（412）由几何方程：由几何方程：00yzxzz，zvywzuxwzwyzxzz，利用应力应变关系可得出：利用应力应变关系可得出：)(0)(1yxzyxzzE2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法39则对于平面应变问题有：则对于平面应变问题有：0)(0),(),(),(231zxyxzyzyxyxyxFyxFyxF(413)由（由（411）和（）和（413）式知：平面应力和平面应变问）式知：平面应力和平面应变问题的差别在于关于题的差别在于关于 的一个条件。即：的一个条
32、件。即：对于平面应变问题，对于平面应变问题，应变是平面的，但应力却是空间的应变是平面的，但应力却是空间的。z （1）按位移求解平面问题按位移求解平面问题 对于平面应力问题有平衡微分方程为对于平面应力问题有平衡微分方程为:2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法400)2121(10)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxuyuxuE（414）用位移表示的应力边界条件为：用位移表示的应力边界条件为：yxFyuxvlxuyvmEFxvyumyvxulE)(21)(1)(21)(122（415）对于平面应变问题，只须在上面的各方程
33、中将对于平面应变问题，只须在上面的各方程中将E、v 换换为为 即可。即可。11，E2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法41 （2）按应力求解平面问题按应力求解平面问题 对于平面应力问题所有平衡微分方程为：对于平面应力问题所有平衡微分方程为：00yyyxxxyxfyxfyx（416）相容方程相容方程为：为：)(1()(2222yfxfyxyxyx（417）对于平面应变问题只须在上式中对于平面应变问题只须在上式中 将换为将换为 即可。即可。12023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法42 讨论讨论：当当体力为
34、常量体力为常量时有：平衡方程为（时有：平衡方程为（416），），相容方程为：相容方程为：0)(2yx（418）考察常体力平衡微分方程（考察常体力平衡微分方程（416）式，这是一个非齐次）式，这是一个非齐次微分方程组，它的微分方程组，它的解答应包含两部分解答应包含两部分，即任意一个，即任意一个特解特解及对及对应的齐次微分方程的应的齐次微分方程的通解通解。特解可取为：特解可取为：yxxyyxxfyf，00 下面来研究一下通解：通解对应的齐次方程为：下面来研究一下通解：通解对应的齐次方程为：00yxyxyyxxyx（419）（书：）（书：414）2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学
35、的解题方法弹塑性力学的解题方法43 其实，方程（其实，方程（419）就是体力为零时的平面问题的微分）就是体力为零时的平面问题的微分方程，所以，要求的通解就是要求解当体力为零时的平面问方程，所以，要求的通解就是要求解当体力为零时的平面问题。题。当体力为零时当体力为零时 由平衡方程可得：由平衡方程可得：)(xyxyx根据微分方程理论，这就一定存在某一个函数根据微分方程理论，这就一定存在某一个函数 ，使得，使得),(yxAxAyAxyx，同样，由于同样，由于 ，)(xyyxy2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法44因此，一定存在某一个函数因此，一定存在
36、某一个函数 使得使得),(yxByBxBxyy,yxAB因而又一定存在某一函数因而又一定存在某一函数 使得：使得：),(yxxByA,yxxyxyyx22222，（420）（书：（书：415）则平衡方程（则平衡方程（419），（），（414）自动满足，函数）自动满足，函数 称称为（为（）应力函数。应力函数。),(yxAiry2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法45将应力函数（将应力函数（420）代入相容方程（）代入相容方程（414）得）得 024422444yyxx（421）（书：）（书：420）即：即：022 因此，因此，当体力为零时的平面问题
37、就归结为解满足双调和方当体力为零时的平面问题就归结为解满足双调和方程和给定边界条件的函数程和给定边界条件的函数 问题问题。在此情况下，边界。在此情况下，边界条件为：条件为：),(yxyxFxmyxlFyxmyl222222（422）（书：）（书：421）2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法46例：如图例：如图4-3所示很长的矩形柱体，材料的比重为所示很长的矩形柱体，材料的比重为 ，将其放，将其放入形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数的形式入形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数的形式为为 ，试求各应力分量、应变，试求各应力分量、应变
38、分量以及上表面的位移值。分量以及上表面的位移值。2232DxCyByyAx由于应是双调和函数，所以有时可利用数学上成熟的有关双由于应是双调和函数，所以有时可利用数学上成熟的有关双调和函数的性质去解决有关问题。调和函数的性质去解决有关问题。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法47例例P142 解：这是一个平面应变问题。由给定的应力函数和艾里解：这是一个平面应变问题。由给定的应力函数和艾里函数函数 2233DxCyByyAx可得通解为：可得通解为：AxyxDAyxCByyxyyx2222622222 特解特解为：为：xxyyx，00),0(yxffy
39、xxyxfyf 2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法48所以全解为：所以全解为：,26CByx,22DAyyxAxxy 2下面来确定常数：下面来确定常数：A，B，C，D。在在 处的边条为：（由边界条件方程可得出）处的边条为：（由边界条件方程可得出）hy 0,0hyyhyxy1000mlmlmlyxyxyx，而此时有：，0hyxy2,02AxAx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法490hyy2022222hDDhDAy 刚性槽的条件为：刚性槽的条件为：aaxdx0而而 与与 无关，无关，xx0 x又
40、因：又因：0)1(1yxxEyx1而：而：hyyDAyy2221,61hCB2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法50所以有（应力与应变之间的关系）：所以有（应力与应变之间的关系）：)1)(1(1)(1)21)(1(1xyyEhyE下面求上表面的位移值：下面求上表面的位移值：00dxuxuxx（由物理意义确定）（由物理意义确定）khyyEdyhyEdyvy)2(1)21)(1(1)(1)21)(1(122023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法51由边条：由边条：0,00kvy所以上表面（所以上表面（y=h
41、）的位移为：的位移为：21)21)(1(12hEvhy2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法52第四节第四节 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 由于用由于用直接积分法直接积分法（正解法）解微分方程组很困难，所以（正解法）解微分方程组很困难，所以可用其它方法（逆解法）来解一些特殊问题。可用其它方法（逆解法）来解一些特殊问题。1、逆解法逆解法 所谓所谓逆解法逆解法：就是先假定各种形式的，满足相容方程的应就是先假定各种形式的，满足相容方程的应力函数力函数 ，再求出相应分量，然后根据应力边界条件来考察，再求出相应分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状
42、的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所假设的应力函数可以解决什么问题力，从而得知所假设的应力函数可以解决什么问题。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法53 设有一矩形平面板（弹性板），不计体力，现讨论如下几设有一矩形平面板（弹性板），不计体力，现讨论如下几种应力函数所对应的边界面力分布情况。种应力函数所对应的边界面力分布情况。BAC1hD2h1hOxy （1）cbyax （2）22cybxyax 显然，显然，满足双调和方程，满足双调和方程，可以求出：（书中图可以求出：（书中图44
43、a,b对应）对应）显然，显然，满足双调和方程，且对应的应力分量均为零，满足双调和方程，且对应的应力分量均为零，其边界上应无面力，由此可以看出一次项和常数项对应力无影其边界上应无面力，由此可以看出一次项和常数项对应力无影响。响。,2cx,2aybxy这一结果代表均匀应力状态。这一结果代表均匀应力状态。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法54边界条件为：边界条件为：yxyyxxyxFlmFml AB边，边，101mlhy，101mlhy，CD边：边：aFbFyyxyx2aFbFyyxyx22023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方
44、法弹塑性力学的解题方法55 AD边：边：010mlx，bFcFxyyxx2 BC边：边：012mlhx，bFcFxyyxx2 几种特解：几种特解：000cab，AB边边 020aFFyxCD边边 020aFFyx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法56AD边边 002yxFcFBC边边 002yxFcF （或）（或）000bca，0b AB边边 00yxFbFCD边边 00yxFbFAD边边 00bFFyxBC边边 00bFFyx表示表示双向均匀受拉双向均匀受拉。（书中图。（书中图44a对应）对应）表示表示纯剪受力状态纯剪受力状态。（书中图。（书
45、中图44b对应）对应）2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法57（3）3223dycxyybxax显然满足双调和方程：可得，显然满足双调和方程：可得，)(22662cybxbyaxdycxxyyx这是一个这是一个复杂应力状态复杂应力状态，其对应的边界条件为：，其对应的边界条件为：AB边：边：10mlhy，112622bhaxFchbxFyyxyx2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法58 CD边：边：10mlhy，112622bhaxFchbxFyyxyxAD边：边：010mlx，cyFdyFxyyxx
46、26BC边：边：012mlhx，cybhFdychFxyyxx226222显然，边界上的显然，边界上的面力是线性分布面力是线性分布。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法59 特例：特例：则有则有,00dcba，AB边边 00yxFFCD边边 00yxFFAD边边 06yxFdyFBC边边 06yxFdyF表示表示纯弯受力状态纯弯受力状态。（书中图。（书中图44c对应）对应）（4）432234eydxyxcxybxax若使若使 满足双调和方程，必有满足双调和方程，必有 则有：则有：),3(cae432234)3(ycadxyxcxybxax2023
47、-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法60可得：可得：若取若取 则有：则有：,00dcba，)343(2612)3(1262222222dycxybxcybxyaxycadxycxxyyx2306dydxyxyyx则边界条件为：则边界条件为：2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法61AB边边 0321yxFdhFCD边边 0321yxFdhF AD边边 230dyFFyxBC边边 230dyFFyx边界的边界的面力分布面力分布与书中图与书中图44d对应（对应（l 换为换为h2，h 换为换为h1）。）。2023-
48、9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法62（5）3Axy上式满足双调和方程上式满足双调和方程2306AyAxyxyyx边界条件：边界条件：AB边，边，101mlhy，033212yxyxFAhAyFCD边：边：101mlhy，033212yxyxFAhAyF2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法63 AD边：边：010mlx，2306AyFAxyFxyyxx BC边：边：012mlhx，22366AyFyAhAxyFxyyxx 边界的面力边界的面力分布与书中图分布与书中图44e对应（对应（l 换为换为h2，h 换
49、为换为h1）。）。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法642023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法65 如果以上各弹性体的边界上确实作用着如图所示分布的面如果以上各弹性体的边界上确实作用着如图所示分布的面力，则以上所得结果便是该问题的解。可以看出，在实际问题力，则以上所得结果便是该问题的解。可以看出，在实际问题中，只有简单的问题才较容易找到应力函数的型式。从以上各中，只有简单的问题才较容易找到应力函数的型式。从以上各例也可看到就同一个应力函数而言，对于不同形状的弹性体，例也可看到就同一个应力函数而言，对
50、于不同形状的弹性体，甚至对于同一形状的弹性体但选用不同的坐标系，都对应着不甚至对于同一形状的弹性体但选用不同的坐标系，都对应着不同的面力。同的面力。上述问题分析可以看出：因为在掌握了许多简单应力函数上述问题分析可以看出：因为在掌握了许多简单应力函数所对应的应力特点，可以用叠加原理去解决实际上比较复杂的所对应的应力特点，可以用叠加原理去解决实际上比较复杂的问题。问题。2023-9-21周书敬周书敬第四章第四章 弹塑性力学的解题方法弹塑性力学的解题方法662、半逆解法半逆解法 所谓所谓半逆解法半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据材料力就是针对所要求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和
