1、第六节第六节极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一一 极限存在的两个准则极限存在的两个准则二二 两个重要极限两个重要极限准则准则I. I.数列的数列的夹逼准则夹逼准则一 极限存在准则 如果数列如果数列xn、yn及及zn满足下列条件满足下列条件 )3 , 2 , 1() 1 (nzxynnnaxnnlim则则,lim,lim)2(azaynnnn,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同时成立,恒有恒有时时当当,Nn nya ,成立成立即即 axn.limaxnn 证证0 ,limaznn 使使得得, 01 Naynn lim时有时有当当1Nn , ayn, ayan即即使使
2、得得, 02 N时有时有当当2Nn , azn, azan即即, azn nx00(, )xU x Mx 如果当如果当) )时有时有( (或或准则准则I. .函数的函数的夹逼准则夹逼准则),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2()()(00AxhAxgxxxxxx Axfxxx )(lim)(0则则准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. .II利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限。利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限。方法是：方法是： 使得使得)(| )(|xgxf ,)(lim)(limAxhxg 将将 适当缩小为适当缩小为 ，再适当放大为，再适当放大为
3、 ，)(xg)(xf)(xh（极限要容易求得）（极限要容易求得）Axf )(lim则则0)(lim xg0)(lim xf常见形式：常见形式： 例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnn证明)0(2212 xxxx)0(222 xxxx2)2(lim0 xx=2lim0 x 由夹逼准则，得.22lim0 xxx练习练习2.2lim0 xxx证明证明?2lim0 xxx收敛数列一定有界数列，收敛数
4、列一定有界数列，但有界数列不一定收敛。但有界数列不一定收敛。有界的单调数列一定收敛有界的单调数列一定收敛. .单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则(单调有界准则)= =最小上界值最小上界值单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则(单调有界准则)= =最小上界值最小上界值单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则(单调有界准则)= =最小下界值最小下界值例例2 2证明数列证明数列 的极限存在的极限存在 解解: :1n当当时时221x2kx, ,设设，则，则 22221kkxx112222xxkkxx111222kkkkxxxxnnnnxx2limlim1AA22A
5、又又设设， 则则 nx 单增有上界，从而必有极限。单增有上界，从而必有极限。 Axnnlim设设02 A，则，则 由由得得 222 nx并求此极限；并求此极限； 1、1sinlim0 xxx二、二、 两个重要极限两个重要极限 圆扇形AOB的面积证证 xsin21x21xtan21 是偶函数，是偶函数，xxsin故只需证AOB 的面积的面积AOC 的面积的面积( 利用利用准则准则 )因为1sinlim0 xxxAC 121 h121CxoDBA)20(tansin xxxx)20( x取倒数得去乘不等式得去乘不等式得用用xsin1, 1sincos xxx, 1coslim0 xx, 11lim
6、0 x10 xxxsinlimxxxcos1sin1 1sinlim0 xxx该极限的特点该极限的特点: :;00)1(型未定式型未定式.sin)2(形形式式一一致致与与分分数数线线另另一一侧侧的的变变量量1sinlim0 xxx 一般有)(x )(x 0)(x sinlim. 1第一个重要极限第一个重要极限1sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非0 正确 xxxsinlim 20cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例3 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsin
7、lim00 xxxxx 解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 例4 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxx
8、xxxx 例例5 5. 1arcsinlim0 xxx求求解解,arcsin xy 设xxxarcsinlim0, 0,0yx时当,sin yx 则1sinlim0yyy思考:2limsin?nnn 2limsinnnn 1.公式计算2 . 2sini2l mnnn 观察：数列是单调增加并且有界观察：数列是单调增加并且有界e e 是个无理数，它的值是是个无理数，它的值是e=e=2.718281828459045 2.718281828459045 根据准则根据准则IIII，数列，数列 x x n n 必有极限必有极限可以证明数列可以证明数列 x x n n 是单调增加并且有界是单调增加并且有界
9、这个极限我们用这个极限我们用e e 来表示来表示nn11 设x n ，ennn )11(lim第二个重要极限第二个重要极限exxx )11(limxxx10)1(lim 例例e)1(lim10 xxxexxx )11(lim2424 “以以1 1加非零无穷小为底加非零无穷小为底, , 该极限的特点该极限的特点: :;1 型型 这个重要极限应灵活的记为这个重要极限应灵活的记为: :一般有一般有e11 lim 倒数倒数, , 指数是无穷小的指数是无穷小的其极限为数其极限为数e ”e ”. .)(x )(x )(x e1 lim )(x 0)(x )(1x e)1(lim10 xxxexxx )11
10、(lim例6.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式e1 1 e例例7 7exxx )11(lim1)11(lim exxx2)21(limexxx ?)1(lim xxxk问：问：一般有一下重要公式：一般有一下重要公式：kxxexk )1(limkllxxexk )1(limkxxekx 10)1(limklxlxekx )1(lim0例8xxxx 21lim xlim2ee xx 11xx 21.e3 )1( 解：xxxx 21limxxbxax limbaee ba ennn211lim .e2 练习12 n nn11lim)1( nnn211lim 解:xxx 321lim xx321lim.e32 x2332)1( xxx 321lim练习2解:xxx20)sin1(lim .e2 xxxsin10sin1limxxsin2)1( xxx20)sin1(lim 练习3解:
