1、投影与视图教材分析投影与视图教材分析 一、2018中考说明的要求 考试内容 考试要求 A B C 图形与几何 图形的变化 图形的投影 了解中心投影和平行投影的概念；会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图；了解展开图的概念；了解直棱柱、圆柱、圆锥等几何体的展开图。 能判断简单物体的视图，并根据视图描述简单的几何体；能根据展开图判断出实物模型；能根据视图和展开图解决一些简单的实际问题。 在中考考试说明的要求下，落实每一个考点 二、本章的地位及作用二、本章的地位及作用 图形是描述物体形状及大小的最好语言，视图具有广泛的应用，投影原理是绘制视图的基础。本章在学生已有有关投影和视图的初步感性
2、认识的基础上，通过对一些典型问题的讨论，适当引入基本概念，归纳基本规律，使学生对投影和视图的认识水平再一次提升，并结合具体问题进一步培养运用几何知识分析和解决实际问题的能力。本章内容的主要目的是在介绍投影和视图知识的基础上，发展学生的空间观念 ，为高中的进一步学习打下基础。 二、本章的地位及作用二、本章的地位及作用 空间观念是课标（ 2011年版）提到的十大核心概念之一。本章对于 培养空间观念有明显作用。立体图形与平面图形的相互转化问题， 是本章中的核心问题。这包括：从立体图形到平面图形的转化；从平面图形到立体图形的转化。因此，需要从两方面双向的认识平面图形和立体图形的转化。掌握立体图形与相应
3、平面图形的联系是认识上述转化的关键。“由物画图”和“由图想物”是本章中相互联系的两类问题。 投影规律在两类问题中都是主要的依据。 三、本章的学习目标 1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影。 2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单事物的视图，并会根据视图描述简单的几何体。 3.通过实例，了解直棱柱、圆柱、圆锥的视图与展开图在现实生活中的应用。 四、本章知识结构框图四、本章知识结构框图 五、课时安排 本章教学时间约需10课时（仅供参考）： 291 投影 2课时 292 三视图 4课时 293 课题学习 制作立体模型 2课时 数学活动 小结 2课时 六、教学建议六、
4、教学建议 1.重视借助直观模型，帮助学生克服立体几何知识的不足。 2.重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律。 3.重视平面图形与立体图形的联系，从不同角度综合培养空间观念。综合培养空间观念。 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 五上 观察物体 ? 小学基础（初步感性认识）小学基础（初步感性认识） 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 ? 小学基础（初步感性认识）小学基础（初步感性认识） 五上 观察物体（从不同角度） 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 ? 小学基础（初步感性认识） 五下 长方体和立方体的认识（展开图） 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 ? 小学基础（初步感性认识）小
5、学基础（初步感性认识） 六下 圆柱与圆锥（展开图）、图形的认识与测量 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 29.1 投影 （1）首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念。 1观察图片，引入概念观察图片，引入概念 物体在日光或灯光的照射下会形成影子 ， 形成影子的因素除这个物体本身外，还需要 照射光线和形成影子的地方。 让学生能说明实例中的投影、投影线、投影面 分别是什么？ 2按投影线的不同位置关系按投影线的不同位置关系，揭示投影的分类，揭示投影的分类 在下面的投影中，投影线有什么不同位置关系？ 由平行光线形成的投影是平行投影 由同一点（点光源）发出的光线形成
6、的投影叫做中 心投影 3交流讨论，剖析正投影概念 （1） （2） （3） 图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？ 图中的三幅图表示的投影中哪些是平行投影？哪些是中心投影？ 图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么不同？ （1） （2） （3） 注：图（1）是我们学过的位似。 适当引申高中所学知识：直线与平面垂直的定义。 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 29.1 投影投影 （2）探讨、归纳得出正投影的规律： ? 以铁丝为例，讨论线段（一维图形）在与投影面的三种不同位置下（平行、倾斜、垂直），面的三种不同位置下（平行、倾斜、垂直），形成的正投影的形状和大小； ? 以正方形纸板的为例，
7、讨论平面图形（二维图形）在与投影面的三种不同位置下（平行、倾斜、垂直），形成的正投影的形状和大小； （3）最后以正方体为例，讨论立体图形（三维图形）与投影面具有不同位置关系时的正投影。 （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面 1一维图形的正投影规律探究一维图形的正投影规律探究 问题1 如图，把一根直的细铁丝（记为线段 AB）放在三个不同位置： 三种情形下铁丝的正投影的形状、大小如何？ A B A B A B A1 B1 A2 B2 P A3 B3 （ ） 问题2 如图，把一块正方形硬纸板 P（例如正方形ABCD ）放在三个不同位置 : （1）纸板平行于投影面
8、；（ 2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面 . 三种情形下纸板的正投影的形状、大小如何？ （1） （2） （3） （ ） Q 2二维图形的正投影规律探究二维图形的正投影规律探究 A B C D A B C D A B C D A D C B A D C B D A B （C） A B C P B C E F G P 问题3 画出如下图摆放的正方体在投影面上的正投影 （1）正方体的一个面 ABCD 平行于投影面； （2）正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面ADEF 垂直于投影面，并且对角线 AE 垂直于投影面 3探讨三维图形的正投影（应用正投影规律） A H E F G B C
9、 D A F D C B G D H A D 注：投影要突出物体轮廓线，不等同于影子。 七、教材内容剖析七、教材内容剖析 29.2 三视图 （1）三视图的成像原理； （2）三视图的位置和度量规定； （3）一些基本几何体的三视图； （4）简单立体图形（包括相应的展开图）与它的三视图的相互转化. 注：这一节是全章的 重点内容，反映了立体图形和平面图形的联系与转化，与培养空间观念有直接的关系。 七、教材内容剖析 293节 课题学习 制作立体模型 把这个课题学习看作对前面学习的内容的一次联系实际的检验，考查学生是否切实理解掌握本章主要内容，以及能否灵活运用它们。 八、常见题型八、常见题型 ? 类型1.
10、 三视图问题 （1）“由物想图” 例例1. （2018?常德）把图常德）把图1中的正方体的中的正方体的 一角切下后摆在图一角切下后摆在图2所示的位置，所示的位置， 则图则图2中的几何体的主视图为（中的几何体的主视图为（ D ） A B C D 注：看得见的物体轮廓线画实线，被遮挡看不见的物体轮廓线画虚线。 ? 类型1. 三视图问题 （2）“由图想物” 例5. 如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ D ） A15cm2 B51cm2 C66cm2 D24cm2 长对正 宽相等 俯视图主视图1或2 1或2或3 1 2 3 例7. 如图所示的是以一个由一些相同的小正方体组成的简单几何体的主视图
11、和俯视图。设组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的所有可能的值。 n为8，9，10，11 ? 类型1. 三视图问题 （2）“由图想物” 注：主视图画法：看列，取大数，左右相对应；左视图画法：看行，取大数，上对左，下对右。 ? 类型类型1. 三视图问题三视图问题 （2）“由图想物由图想物” 例8.（2018?青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 10 种 如下图所示： ? 类型类型1. 三视图问题三视图问题 （3）“由图想物再想图由图想物再想图” 例9（2018?包头）如图，是由几个大小相同
12、的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ C ） A B C D 注：注：解答这类问题，要充分利用视图给出的信息，尤其是应将几个视图与立体图形结合起来分析。 ? 类型类型1. 三视图问题三视图问题 （3）“由图想物再想图由图想物再想图” 例10（2018?齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知EFG中，EF=8cm，EG=12cm，EFG=45则AB的长为 cm 4 2注：根据三视图的对应情况可得出，EFG 中FG上的高即为AB的长。 例11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ A ） A B C D ? 类型
13、类型2. 展开图问题展开图问题 例12. 如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（ ） A B C D 252 210? 类型类型2. 展开图问题展开图问题 正方体展开图：（ 11种不同的平面图形） 第一种类型：“ 一四一” 型，有六种图形； 第二种类型：“ 二三一” 型，有三种图形； 第三种类型：“ 二二二” 型，有一种图形； 第四种类型：“ 三三” 型，有一种图形. ? 类型类型2. 展开图问题展开图问题 一” 字形； “7”字形 ； “ 田” 字形； “ 凹” 字形. ? 类型类型2. 展开图问题展开图问题 正方体展开图：正方
14、体展开图：(出现下列情形之一者，必不是正方出现下列情形之一者，必不是正方体的表面展开图，同时也必不能围成正方体体的表面展开图，同时也必不能围成正方体 ) 注：对三视图本质的认识注：对三视图本质的认识对应思想 例13. 如下图，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的 A点沿棱柱侧面到点C处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？cm412? 类型类型2. 展开图问题展开图问题 注：把空间转化为平面的转化方法是处理这类问题的基本方法。同样，圆柱、圆锥等，解题思路都一样。 问题1. 如图3，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 为4 cm，一只蚂蚁从A点 出发
15、沿着圆柱体的表面沿着圆柱体的表面爬行到 C点的最短路程是？ 221114 10LACABBC?22244LABBC?21LL? 类型类型2. 展开图问题展开图问题 2222111484 5LACABBC?22164LABBC?21LL? ?2222111LACABBChr?222LABBChr?12LL?12LL?12LL?分三种情况讨论： 问题2.一圆柱体的底面周长为16 cm，高 为4 cm。 问题3.一圆柱体的底面周长为 cm，高为 h cm。 分别求最短路程？ 2 r? 类型2. 展开图问题 ? ?2222ADABBDhr?222222cos22cos2 cos2CDrrrrrr? ?2222 cos2SADCDhrr?3L的长度： ? 类型2. 展开图问题 ? 类型类型3. 投影有关问题投影有关问题 例14. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB的长. 注：将实际问题转化为数学问题，运用解直角三角形、相似的知识解决。
