1、四、渐开线与摆线四、渐开线与摆线讲授新课讲授新课 1. 渐开线渐开线探探 究：究： 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线条曲线.这条曲线的形状这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨怎样？能否求出它的轨迹方程？迹方程？讲授新课讲授新课我们先分析动点我们先分析动点(笔尖笔尖)所满足的几何条件所满足的几何条件. 如图，设开始时绳子外端如图，设开始时绳子外端(笔尖笔尖)位于点位于点 A，当，当 外端展开到点
2、外端展开到点 M 时，因为绳子对圆心角时，因为绳子对圆心角 (单单 位是弧度位是弧度)的一段弧的一段弧AB，展开后成为切线，展开后成为切线 BM， 所以切线所以切线 BM 的长就是的长就是AB的长，这是动点的长，这是动点(笔笔 尖尖)满足的几何条件满足的几何条件. 我们把笔尖画出的曲我们把笔尖画出的曲 线叫做圆的线叫做圆的渐开线渐开线， 相应的定圆叫做渐开相应的定圆叫做渐开 线的线的基圆基圆. OABM几何画板几何画板讲授新课讲授新课 根据动点满足的根据动点满足的几何条件几何条件:我们以基圆圆心我们以基圆圆心O为原点，直线为原点，直线OA为为x轴，轴，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系(图图
3、).设基圆的半径为设基圆的半径为r，绳子外端绳子外端M的坐标的坐标为为(x,y).显然，点显然，点M由角由角 惟一确定惟一确定.ABBM ()( cossin )(cossin )|.OOAxrMx yMBrrBMxryrBMr 我我们们以以基基圆圆圆圆心心 为为原原点点，直直线线为为 轴轴，建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系. .设设基基圆圆的的半半径径为为 ，绳绳子子外外端端的的坐坐标标为为， ，显显然然，点点由由角角 唯唯一一确确定定. .取取 为为参参数数，则则点点 的的坐坐标标为为，从从而而， 122(cossin )(sincos )()(cossin )()(sincos ).
4、(cossin )()(sincos )eOBeBMBMrexryrrxryr 由由于于向向量量，是是与与同同方方向向的的单单位位向向量量，因因而而向向量量，是是与与向向量量同同方方向向的的单单位位向向量量，所所以以，解解得得: :为为参参数数这这就就是是圆圆的的渐渐开开线线的的参参数数方方程程. .讲授新课讲授新课)()cos(sin)sin(cos是参数是参数 ryrx:圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程渐开线的应用：渐开线的应用： 由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。
5、轮采用这种齿形。 设计加工这种设计加工这种齿轮齿轮，需要借助，需要借助圆的渐开线方程。圆的渐开线方程。在在机械工业机械工业中中,广泛地使用齿轮传递动力广泛地使用齿轮传递动力.2(sincos )eBM 在在探探究究圆圆的的渐渐开开线线的的参参数数方方程程的的过过程程中中用用到到“向向量量，与与向向量量有有相相同同方方向向”这这一一结结论论 ，你你能能说说明明这这个个结结论论为为什什 思思 考考：么么成成立立吗吗? ?12122(cossin ) (sincos )cossinsin ( cos )0./.eeeeBMe ，即即: :讲授新课讲授新课 2. 摆线摆线思考：思考： 如果在自行车的轮
6、子上喷一个白色如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？驶时，白色印记会画出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问题就是：当上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？圆周上一个定点的轨迹是什么？讲授新课讲授新课如图，假设如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于开始时位于 O 处处.圆在直线上滚动时，点圆在直线上滚动时，点 M 绕圆绕圆 心作圆周运动，转过心作圆周运动，转过 (弧度弧度
7、)角后，圆与直线相角后，圆与直线相 切于切于 A，线段线段 OA 的长等于的长等于MA的长的长，即，即 OA=r . 这就是圆周长上的定点这就是圆周长上的定点 M 在圆在圆 B 沿直线滚动过沿直线滚动过程中满足的几何条件程中满足的几何条件.我们把点我们把点 M 的轨迹叫做的轨迹叫做平平摆线摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线旋轮线. BDACMxyO 摆线在它与定摆线在它与定直线的两个相邻直线的两个相邻交点之间的部分交点之间的部分叫做叫做一个拱一个拱。几何画板几何画板E()sincos .(sinxMrMxABMABxCDMx yMxODOADAOAMCrryDMACABCBrrxr 我
8、我们们取取定定直直线线为为 轴轴，定定点点滚滚动动在在定定直直线线上上的的一一个个位位置置为为原原点点，建建立立直直角角坐坐标标系系，设设圆圆的的半半径径为为 ，设设开开始始时时定定点点在在原原点点，圆圆滚滚动动了了 角角后后与与轴轴相相切切于于点点 ，圆圆心心在在点点 ，从从点点分分别别作作，轴轴的的垂垂线线，垂垂足足分分别别为为 ， ，设设点点的的坐坐标标为为， 取取 为为参参数数，根根据据点点满满足足的的几几何何条条件件，所所以以，摆摆线线的的参参数数方方程程为为： )().(1cos )yr 为为参参数数讲授新课讲授新课摆线的参数方程是摆线的参数方程是因此因此,(sin ),()(1
9、cos )xryr是参数(1) 在在摆摆线线的的参参数数方方程程中中，参参数数 的的取取值值范范 思思 考考：围围是是什什么么？一一个个拱拱的的宽宽度度与与高高度度各各是是多多少少？0);22().rrr 参参数数 的的取取值值范范围围是是 ，一一个个拱拱的的宽宽度度是是，高高度度是是其其中中是是滚滚动动圆圆的的半半径径2011江西理数江西理数10 如图，一个直径为如图，一个直径为1的小圆沿着直径的小圆沿着直径为为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和和N是小圆的一条是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁
10、的一周点的一周点M，N在大圆内所绘出的图形大致是在大圆内所绘出的图形大致是() A几何画板几何画板分析：分析：根据小圆与大圆半径根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半，的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周若小圆转半圈，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一NMyxNM半圈半圈一圈一圈一圈半一圈半两圈两圈MN22:1时时 一个点的一个点的 内摆线内摆线 4:1时时一个点的一个点的内摆线内摆线（星形线）（星形线）
11、 P44课堂练习课堂练习1.如图，有一标准的渐开线齿如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是径是225mm，求齿廓线，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程所在的渐开线的参数方程.P422.当当 时，求出渐开线时，求出渐开线上的对应点上的对应点A,B,并求出并求出A，B的距离的距离.,cossin()sincosxy是参数3,223.有一个半径是有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一在轮辐上有一 点点M，与轮子中心的距离是，与轮子中心的距离是b(ba),求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.yxDAOBMCBM.一个半径是一个半径是4r的定圆的定圆O和一个半径是和一个半径是r的动圆的动圆C相内切相内切. 当圆当圆C沿圆沿圆O无滑动地滚动时无滑动地滚动时,探求圆探求圆C上定点上定点M(开始开始 时在点时在点A)的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.AMCOP44 内摆线内摆线（星形线）（星形线） 4:1 BxyD小小 结：结：1.圆的渐开线，渐开线的参数方程；圆的渐开线，渐开线的参数方程；2. 平摆线、摆线的参数方程平摆线、摆线的参数方程.)()cos(sin)sin(cos是参数是参数 ryrx(sin ),()(1 cos )xryr是参数
