1、课题: 3.4基本不等式基本不等式 2abab主讲人:陈菁菁第一课时如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和T = =ab2、S与与T有什么有什么样的不等关系？样的
2、不等关系？ 探究：探究：ST问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba22ab猜想：猜想： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22ba ab222ba ab2(ab)(ab)思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 证明：（作差法）证明：（作差法） 2)(ba222.abab所以重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于
3、任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,bR0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？222.abab所以0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：) 0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？证明：要证证明：要证 只要证只要证要证，只要证要证，只要证要证，只要证要证
4、，只要证显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作： ( (a a00，b b0)0)当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几
5、何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b02abab2abab 2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_ab2ab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你
6、能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_abOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab2ab2abab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于
7、它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 已知已知 并指出等号并指出等号 成立的条件成立的条件.10,2,xxx求证练习：练习：已知已知 与与2的大小关系的大小关系, 并说明理由并说明理由.abbaab寻找, 0 三三 、例题讲解例题讲解 例例1 利用基本不等式判断代数式的大小关系利用基本不等式判断代数式的大小关系1.重要不等式：重要不等式： a+b 2ab 四、课堂小结四、课堂小结（a、bR）(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)基本
8、不等式：基本不等式：（a0,b0）(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)2.证明不等式的三种基本方法：综合法，分析法，比较法证明不等式的三种基本方法：综合法，分析法，比较法3.基本不等式在几何、代数两方面的意义基本不等式在几何、代数两方面的意义 2abab五五、布置作业布置作业课本第课本第100页习题页习题A组第组第1题题 l有关的数学名言有关的数学名言l数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
