1、定义定义1在某一给定如果当变量和设有三个变量yxzyx,按照一定时，变量内任取一对值的二元有序实数对zyxD),(yxz,叫做变量它们对应，则变量总有唯一确实的数值和的规律),(yxfz 的二元函数，记作称为函变化的范围为因变量，为自变量，其中Dyxzyx),(,),(),(,),(0000yxyxfzDyx称为对应于则，数的定义域。设点的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。例例之间具有关系高和它的底半径正圆锥体体积hrv,hrv231在一定范围的变化而变化，当随着这里，hrhrv,取定的值就随之确定，即当内取定一队值时，vhr)0, 0(，这时底半便有确
2、定的值与之对应时，二元有序数组vhr),(时间不存在依赖关系，这是相互独立的，它们之和高径hr的二元函数。和高是半径体积hrv例例2 一个有火炉的房间内一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布在同一时刻的温度分布唯一的温度的一个三元是与之对应，这时温度zyxuu,),(zyxuu 函数，故可表为tzyxut,就是的温度分布，则温度若考虑房间不同时刻),(tzyxuu 的一个四元函数类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。处都有后，房间内每一点在选定空间直角坐标系),(zyx 一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。),(yxfz 设二元函数Dyx),(内每取一点在
3、定义域D值，空间中的得到相应的根据函数的关系式就可zyxp),(跑遍当点的坐标满足关系式（),(),(),(,yxpyxfzyxfyxM就在空间描绘出一个曲（时，相应的点定义域),(,yxfyxMD的图形。函数面，这个曲面就是二元),(yxfz （2） 二元函数二元函数 z=f (x,y) 的图形的图形空空间间点点集集 (x,y,f (x,y)| (x,y) D. 通常是一张曲面（通常是一张曲面（函数曲面函数曲面）.内有定义，在开区域（或闭区域）设函数Dyxf),(对于任意给定的正数的内点或边界点，如果是Dyxp),(000，使得对于适合不等式，总存在正数20200)()(0yyxxppAAy
4、xfDyxp成立，则称常数都有的一切点),(,),(时的极限，记作当为函数00,),(yyxxyxf0),0(),(),(lim00ppppAyxfAyxfyyxx这里或小结小结：（）（）的距离与点是指点趋于（),(),(),(00000yxpyxpyxyx函数相类似。趋于零。这一点与一元（2020)()yyxx （）（）为极限，是指以时，函数趋于（当（Ayxfyxyx),(),),00。时，函数都无限接近于以任何方式趋于Ayxpyxp),(),(000例例 求证求证22221sin)(),(yxyxyxf设22222222221sin01sin)(yxyxyxyxyx)0(22 yx0),(
5、lim00yxfyx证明证明，则当取可见，对任何 , 0时，总有220)()(0yyxx成立22221sinyxyx所以，0),(lim00yxfyx由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数,)(),000复杂的多趋于要比一元函数中时趋于中当（xxyxyx沿如果也可以沿任何曲线可以沿任何直线例如),(,yx那么二重所得的极限值不同时不同的路线趋于,),(00yx极限也就不存在的是内有定义或闭区域在开区域设函数DyxpDyxf),(,)(),(000如果且内点或边界点,0Dp ),(),(lim0021yxfyxfyx在点否则称函数连续在点则称函数),(;),(),(000yxfyxp
6、yxf则称它在区上每一点都连续在区域如果函数间断,),(.)(00Dyxfyx.,质二元连续函数有下列性和一元函数类似上连续域D性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）上有界闭区域若函数Dyxf),(.,和最大值各一次上一定至少取得最小值则它在连续D性质性质（零点定理）（零点定理）性质性质（有界性定理）（有界性定理）性质性质（介值定理）（介值定理）上连续在有界闭区域若函数Dyxf),(上取得介于这两个则它在值上取得两个不同的函数且它在DD,.次值之间的任何值至少一且上连续在有界闭区域若函数,),(Dyxf则至少数值数值和一个小于零的函它取得一个大于零的函,. 0),(,),(fD
7、使得有一点则上连续在有界闭区域若函数,),(Dyxf.上有界它必在D例例设设),(,23sin),(21limyxfxyeyxyxfyxxy求解解在其定义域内且点是初等函数由于)2 , 1 (,),(yxf,)2 , 1 (),(处连续在点故yxf因此232223sin)2 , 1 (),(22221limeefyxfyx小结：小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果要求它在点而处的极限,0p点的则极限值就是函数在该区域内该点又在此函数的定义,即函数值,)()(lim00pfPfpp上上 页页首首 页页下下 页页尾尾
8、 页页上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页固定当的某一邻域内有定义，在点（设函数yyxyxfz),),(00相应的函数有增量时处有增量在而在,00 xxxy),(),(0000yxfyxxfzx如果极限xyxfyxxfx),(),(lim 00000的偏处对在点则称此极限为函数存在xyxyxfz),(),(,00记作导数,上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或同理,如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000的偏处关于在（数存在，则称此极限为函yyxyxfz),),(00导数,记作),(,00000000yx
9、fzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页xyxDyxfz处对于内每一点在平面区域如果函数),(),()(),()yxDyxfy或内有对在函数的偏导数都存在，则称（或偏导函数,简称偏导数,记作记作 ,xz ,),(xyxf ,zx ),(yxfx ,yz ,),(yyxf ,yz ),(yxfy上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页解解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.的偏导数。求yxz2sin2求导，
10、得看作常数，对视为求xyxz,yxxz2sin2例例1上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例2求导，得看作常数，对视为求yxyz,yxyz2cos22)5 , 0(),4 , 3(,),(22yxffyxyxyxf求设解解22221221),(yxxyxxyxfx因为22221221),(yxyyxyyxfy所以52531)4 , 3( f011)5 , 0(yf上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页yzxzxzy,的偏导数求例例3解解1yyxxzxxyzyln上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页的偏导数有简单的几何在点（二元函数),),(00yxyxfz 意义.000000),(
11、),(,MyxfzyxfyxM上的一点，过为曲面（设则导数程为截曲面得一曲线，其方作平面),(,00yxfzyy,),(00 xxyxfdxdxxTMMyxf0000),(的切线就是曲线在点即偏导数 000),(xxyxfxy是曲面被平面数轴的斜率；同样，偏导对轴的斜率。对的切线所截成的曲线在点yTMMy00上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页)y,x(000 x0y如下图所示如下图所示上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页.)(0续可导，则它在该点必连在我们知道，一元函数xxfy ,),(),(00的两个偏导数都存在即使在点但对于二元函数yxyxfz 不一定连续。在点（函数),),(0
12、0yxyxf例如例如010),(22xyxyyxyxf0)(lim)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(200 xxxfxffxxx0)(lim)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(200yyyfyffyxy上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页而当）的两个偏导数都存在，在点（可见，函数,00),(yxf时，有趋向于点沿直线（动点)0 , 0(0),yyxM0lim)0 ,(lim200 xxfxx时，有趋向于点沿直线（当动点)0 , 0(),xyyxM11lim),(lim00 xxxxf不连续。点的极限不存在，当然在在点（可见，)0 , 0()0 , 0),(yxf上上
13、 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设内具有偏导数：在区域函数Dyxfz),(),(yxfxzx),(yxfyzy一般来说,这两个偏导数还是在对的函数，如果它们又存yx,我们的二阶偏导数函数的偏导数，我们就定义或对.),(yxfzyx可定义二元函数的二阶偏导数如下),()(22yxfxzxzxxx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页),()(2yxfxyzyzxyx),()(22yxfyzyzyyy.),(求偏导数先对自变量表示函数这里，xyxfzfxy数。通常称为二阶混合偏导和yxxyff),()(2yxfyxzxzyxy上上 页页首首 页
14、页下下 页页尾尾 页页例例 4 4解解的所有二阶导数求xyyxz1arctan22)1 ()()()1 ()1(11xyyyxxyxyyxxz222222211)1)(1 (1)()1 (1xxyyyxxyy22)1 ()()()1 ()1(11xyxyxxyxyyxyz222222211)1)(1 (1)()1 (1yxyxyxxyx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页)1 (2222xxxz)1 (2222yyyz02xyz02yxz二阶以上的偏导数称为高阶偏导数上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例5的所有二阶导数求)2sin(yxezx解解)2cos(2)2sin(yxeyx
15、exzxx)2cos(yxeyzx)2sin(4)2cos(2)2cos(2)2sin(22yxeyxeyxeyxexzxxxx)2sin(22yxeyzx)2sin(2)2cos(2yxeyxeyxzxx)2sin(2)2cos(2yxeyxexyzxx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的. 为此,给出下面的定理:定理定理6.1xyzyxzyxfz22,),(的两个二阶混合偏导数如果函数数必内这两个二阶混合偏导内连续，那么在该区域在区域D相等.例例6),2 , 0 , 1
16、(),1 , 0 , 0(,),(222xzxxffzxyzxyzyxf 求设) 1 , 0 , 2(),0 , 1, 0(zzxyzff 上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页解解 因为因为2222,2,2xyzfzxyfzxyfzyxzfxfzfyzxzxx2,2,2 0,2 zzxzzfyf所以所以2)2 , 0 , 1 (, 2) 1 , 0 , 0( ffxx0) 1 , 0 , 2(, 0)0 , 1, 0( zzxyzff 上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页的是变量函数，而是变量设函数yxvuvuvufz,),(yxyxyxfzy
17、xvyxu,),(),(),(),(是因而函数，的复合函数。定理定理6.5可微，都在点及如果函数),(),(),(yxyxvyxu可微，处函数的点在对应于函数),(),(),(),(vufzvuyxvufz可微在点则复合函数),(),(),(yxyxyxfz上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz证明证明, xx一个改变量，若给我们来证明第一个公式),(),(yxyxxu),(),(yxyxxvuv则相应有 及 的改变量（证明过程可作为了解部分）上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页可微，所以有由于),(vuf)()(22vuovvzuuzzxvuox
18、vvzxuuzxz)()(22关于自变量，所以存在，有因vuxvxvxuxuxvxuxx,lim,lim,00于是时，也有是连续的。因而，, 0, 00vuxxxvuvuvuoxvuoxx2222220220)()()()()()(lim)()(lim上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页xvuvuvuoxx22022220)()(lim)()()()(lim0所以有xvvzxuuzxz完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。则有而若),(),(),(tvtuvufz上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页dtdvvzdtduuzdtdz另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，
19、也有类似),(),(),(),(trswtrsvtrsuwvufz而结果。例如，设则则swwzsvvzsuuzszrwwzrvvzruuzrztwwztvvztuuztz上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 （1） 搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例例1yzxzyxvyxuvuz,22求设解解xvuvxuxvvzxuuzxzx42122）（yvuvyuyvvzyuuzyzx42) 1(22）（注意：注意：上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例2tzszstystxyezx,2,sin2求设解解syetyesyyzsxxz
20、szxx2cos2sin1cos2sinyesyetyyztxxztzxx)cossin(2ysytex)cossin2(2yysex上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页数的所确定的一元函数隐函我们已经学习了0),(yxF来导出由元复合函数的求导法则求导方法，下面根据多的偏导数公式。确定的二元函数),(0),(yxzzzyxF则有确定了设方程),(0),(yxzzzyxF0),(,(yxzyxF的偏导数，得两边同时求关于x001 xzFFFzyx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页时，有所以，当0zFzxFFxz同理可证zyFFyz定理定理6.6（隐函数存在定理）（隐函数存在定理）满足
21、下列条件设函数),(zyxF;,1000zyxFFFzyx具有连续偏导数）的某邻域内连续，且）在点（唯则方程）（0),(, 0),(, 0),(2000000zyxFzyxFzyxFx具有连续的某邻域的单值连续且一确定了一个定义在),(00yx),(),(000yxfzyxfz，它满足条件偏导数的二元函数上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页并有zxFFxzzyFFyz注意注意),(0),(zxyyzyxF 还可以确定函数由方程可以自己给出。相应的偏导数公式读者及),(zyxx 例例3的一阶所确定的隐函数求由方程),(lnyxfzyzzxyzxz,偏导数解解yzzxzyxFln),(设上上
22、页页首首 页页下下 页页尾尾 页页yyzzyFzFyx1)(,12221zzxyzyzxFz)(zxzFFxzzx)(2zxyzFFyzzy例例4则设,4),(222zzyxzyxF22222, 04xzzzyx求设解解上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页42,2zFxFzx应用上面公式，得zxxz2求偏导数，得再一次对x2222)2()2()2()2()2()(zzxxzzxzxzxxzxz322)2()2(zxz上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 1.空间曲线的切线与法平面的参数设空间曲线L方程为)()()(tztytxozyxMM 为零。
23、的导数存在，且不同时数对这里假定上式的三个函t000000),(ttzyxMttL它对应于参数的一点上取对应于在曲线上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页即即)()()(000000tztytx），的坐标为（上的点时，对应于曲线当zzyyxxMLttt0000,的方程为则割线MM0zzzyyyxxx000在的极限位置就是曲线时，割线趋近于沿曲线当MMMMLM00即令遍除割线方程的分母，的切线，因此，用点, 00ttM的切线方程得曲线在点0M)()()(000000tzztyytxx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页就是）（向量。向量的切切线方向向量称为曲线)(),(,000tttT处的
24、一个切向量。在点曲线ML000MLMM在点曲线处切线垂直的平面称为而与点通过点为法向量的平面，）而以（点处的法平面，它是通过LzyxM0000,因此这法平面的方程为0)()()(000000zztyytxxt例例1方程处的切线方程和法平面在求曲线1,032ttztytx解解1, 1, 110000zyxt时，当3) 1 (, 2) 1 (, 1) 1 (zyx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页于是，切线方程为312111zyx法平面方程为0) 1( 3) 1(2) 1(zyx2.曲面的切平面方程与法线方程是曲面给出，由方程设曲面),(0),(0000zyxMzyxF连续且不同时在点的偏导
25、数上的一点，并设函数0,),(MFFFzyxFzyx方程点的一条任意曲线，其为位于上述曲面上且过为零，设0ML为)()()(tzztyytxx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页在曲面上，故由于曲线L0)(),(),(tztytxF),(),(),(,0000000tzztyytxxtM即的参数值为若相应于点处有求导数，则在点式对将0)5 . 7(Mt0)(),()(),()(),(000000000000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx与曲上式表示),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx0000)(),(),(MtztytxT过点垂直，所以在曲面上通
26、线的切向量上。这个平面称为的切线都在同一个平面的一些曲线在点0M切平面的方程是曲面在点的切平面。这0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页为曲面在该点而垂直于平面的直线称通过点),(0000zyxM的法向量。向量切平面的向量称为曲面的法线。垂直于曲面上),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx处的一个法向量。就是曲面在点0M例例2程的切平面方程与法线方在点求曲面)4 , 1 , 2(122yxz解解2) 1 , 2(, 4) 1 , 2(,2,2yxyxzzyzxz的切平面方程
27、为所以曲面在点)4 , 1 , 2(0)4() 1(2)2(4zyx或024zyx法线方程为142142zyx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理定理6.7(极值存在必要条件极值存在必要条件)在点设函数),(yxfz ）处有极值，则它在该具有偏导数，且在点（00000,),(yxyxP点的偏导数必然为零0),(00yxfx0),(00yxfy使, 0),(00yxfx0),(00yxfy的驻点。称为函数同时成立的点),(),(00yxfyx上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页定理定理6.8（极值存在充分条件）（极值存在
28、充分条件）在点设函数),(yxfz 又阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续且有一),(000yxP0),(, 0),(0000yxfyxfyx令CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000如下处是否取得极值的条件在则),(),(00yxyxf0),(0) 1 (02APyxfACB处取得极值，且当在点时，函数时有极小值；时有极大值，当0A处没有极值；在点时，函数02),(0)2(PyxfACB论。没有极值，还需另作讨时可能有极值，也可能0) 3(2 ACB上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页的极值的求法总结如下第一步求出所有的驻点解方程组,0),(0),(yxfy
29、xfyx第二步求出二阶偏导数的值对于每一个驻点),(00yxCyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000第三步),(2002yxfACB的结论判定的符号，按定理定出还是极小值是否有极值、是极大值6.2,( , )zf x y利用定理我们把具有二阶连续偏导数的函数上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 例例3的极值求函数61065),(22yxyxyxf解解（1）求驻点1010),(, 62),(yyxfxyxfyx由于解方程组01010062yx），即得驻点（13 （2）判断驻点是否极值点， 若是，说明取得极值情况又由于0) 1, 3(, 02) 1, 3( xy
30、xxfBfA020,10) 1, 3(2 ACBfCyy. 8) 1, 3() 1, 3(),(fyxf取得极小值，极小值为在故上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法方法1使二元函数的再代入中解出从),(0),(yxfyyx数的无条件极值问题。条件极值转化为一元函例例4下的极值在条件求二元函数8222yxxyyxz解解zxyyx代入得由,8, 8上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页
31、页128404)8()8(2222xxxxxxz由一元函数极值存在的必要条件，得0408 xdxdz所以5xxyyxzyxdxzd22222)3 , 5( , 3585, 08为二元函数时，当因为288下极小值点，极小值为在条件 yx方法方法2 （拉格朗日数乘法）（拉格朗日数乘法）在附加条件要找函数),(yxfz 构成辅助函数下可能极值点，可以先0),(yx),(),(),(yxyxfyxF上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页的一阶偏导数，并使之与为一常数。求其对其中yx联立起来为零，然后与方程0),(yx0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx),(,yxfy
32、xyx就是函数，则其中及由这方程组解出。下的可能极值点的坐标在附加条件0),(yx这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例5而体积最大的长方体。求表面积为2a解解，则体积是分别为设长方体的长、宽、高zyx,0222),(,),(2azxyzxyzyxxyzzyxf附加条件为作辅助函数),(),(),(yxyxfzyxF)222(2azxyzxyxyz令0)(2zyyzFx0)(2xzzxFy0)(2yxxyFz上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页由前三式，得zyx代入第四式，得6azyx即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。
