1、20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（参考答案）2022.03一、选择题：1C2B3D4B5A6D7C8D二、选择题：9BCD 10AD 11BC 12AB三、填空题：132 14 (0 ， 1 15 3 - 2 16-2 ， 2，52 2三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）10 2 5解：sin sin sinB + C = = A，由正弦定理9 3sin A sin B sinC = = ， a a c5可得b + c = a = 5 以下如所示310因为 cos B + cosC = ，由余弦定理得
2、9a2 c2 b2 a2 b2 c2 10+ - + + - = ，2ac 2ab 92 2 2 2 2 2 20所以b(a + c - b ) + c(a + b - c ) = abc ，92 2 2 20所以 (b + c)(a - b - c + 2bc) = abc ，其中 a2 - b2 - c2 = -2bccos A ，910所以 (b + c)(1- cos A) = a 4 分9 8 1若 A 为锐角，则 cos A = 1-sin2 A = 1- = ，则b + c = 5 9 3b2 + c2 - a2 (b + c)2 - a2 8cos A = = -1= -1，
3、由余弦定理2bc 2bc bc所以bc = 6 ，又b + c = 5 ，解得b = 2， c = 3 或b = 3， c = 2 所以 ABC 的面积为 1 sin 1 6 2 2 2 2bc A = = 8 分2 2 3高三数学第 1 页（共 6 页）若 A 为钝角，则 cos 1 sin2 1 8 1A = - - A = - - = - ，则b + c = a = S ，21 1 134n 4(n -1) 1 1当 n 2 时，b - b = - = = a2，n n-1 n2 +1 2( -1) 1n n + - n1 2n24 a2 b ， a - ，2 b2 b an b -b
4、- 2 2所以1 1 1 n n 1 10 分S = a + a + a +L+ a b + b -b +L+ b -b - = b 所以1 2 ( ) ( n n 1) n2 2 2 2n 3 n 1 2 14nS 所以 12 分n +2n 120（12 分）1 BD 1C Et = 时， = 1 = t = ，即点 D，E 分别为 BC，解：（1）当2 BC C B 21 1B C 的中点，1 1在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AA P BB ，1 1AA = BB ，平面 BB C C 为平行四边形，1 1 1 1连接 DE，则 DE P BB1 ，DE = BB ，所以 DE
5、 = AA ，DE P AA ，1 1 1所以四边形 DEAA1 是平行四边形，所以 AD P A1E 3 分高三数学第 3 页（共 6 页）又因为 AD 平面A EB ，1A E 平面1A EB ，1所以 AD P 平面A EB 5 分1（2）方法一：在平面 ABC 内，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，连结C H ，则1 为二面角C - AD - C 的平面角，即 = ，C HC C HC1 1 13CHD在直角三角形C1HC 中，C1C = 3 ，所以CH = 3 在直角三角形CHA 中，CH = 3 ， AC = 3 ，A BCH 3 2 = = ，又因为 CAH 为锐角，所以s
6、in CAHAC 3 26所以 cosCAH = 且 03 CAH ， 4所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 6 + 2 3 CHCDA中， CDH = + CAH = ， = = 6 - 3 2sin sin( ) CDsin CDH4 6，BD 3 2 - (6 -3 2)所以 = = = 2 - 2 12 分tBC 3 2u uur uuur uuur方法二： A A1 平面 ABC ，又 BAC = 90o ，以A B，A C，AA 为正交基底建立如图所1示的空间直角坐标系 A - xyz ，则点 A(0，0，0) ， B(3，0，0) ， D(0，3，0) ， C ，1(0
7、 3 3)uuur ， ，Bu uCur = ( - 3 ， 3 ， 0) ，BuuDur = t Bu uCur = ( - 3t， 3t，0) ，所 以 uAuDur = (3 - 3t 3t 0) AC =从而 1 (0 3 3)， ， ur uuur设平面 AC1D 的一个法向量为 1 ( ) +nur = x y z， ， ，由 ， t x ty ，n AC1=0 31(-)3+ =0 u1r uuur3y 3z =0 = n AD 0 1取 1 ( 1 1 )nur = t t - - t nuur = ， ， ，又平面 ADC 的一个法向量为 2 (0，0，1) ，因为二面角C1
8、 - AD - C 的大小为3ur u urn n 1，所以 1 2ur u ur = cos = 9 分3 2n n1 2即1- = 1t3t 4t 22 - +2，得t2 - 4t + 2 = 0 ，又因为 0 t 16m 12(2m 6) 0，由y - y y - y1 0 + 2 0 =x - x x - x1 0 2 00，得 2x1x2 + (m - x0 - y0 )(x1 + x2 ) - 2x0 (m - y0 ) = 0 2m 6 4 2 - + - - - - - = ，整理得，所以 2 (m x y )( m) 2x (m y ) 00 0 0 03 323 2y -
9、x = 0 ，(2 ) 2 4 0 - = 10 分y - x m + x y - = ，所以 0 00 0 0 0 2x y 4 0，0 0因为点 A 在第一象限，所以x = 2 ，0 = y 1，0所以点 A 的坐标为 A(2 ， 1) 12 分高三数学第 5 页（共 6 页）22（12 分）解：（1）当 a = e 时，f x = x - x + x - ，( ) e ln ( e)2则e 2x + (1- 2e)x - e (2x +1)(x - e)2 = - + - = ，（ x 0 ）f (x) 1 2(x e) =x x x令 f (x) 0 ，得 x e ；令 f (x) 0
10、 ，得 x 0 ，所以方程 2x2 + (lna - 2e)x - a = 0 ，有两个不相等的实根x， x （1 2x x ），1 2又因为ax x = - ，所以1 2 02x x ，令1 0 2x = x ，列表如下0 2x(0， x )0x0(x ， + )0f x 0 +( )f (x) 减 极小值 增所以 f (x) 存在极值点x 7 分0因为 22x + (lna - 2e)x - a = 0，所以 2x 2 - 2ex = a - x lna ，0 0 0 0 0x记u(t) = t - x lnt ， ( ) =1- 0 ，u t 0t当0 t x 时，u(t) x 时， u
11、(t) 0 ，u(t) 单调递增0 0所以当t = x 时，u(t) = t - x lnt 的最小值为u(x ) = x - x ln x 0 0 0 0 0 0所以 22x - 2ex = a - x lnax - x ln x ，0 0 0 0 0 0即 2x 2 - (2e +1)x + x ln x 0， 10 分0 0 0 0因为x ，所以0 02x + ln x - (2e +1)0 ，0 0因为 v(t) = 2t + lnt - (2e +1) 在 (0， + ) 上单调递增，且 v(x )v(e) = 0 ，0所以 x0 e ，则 x0 的最小值是 e 12 分高三数学第 6 页（共 6 页）
