1、湍流湍流平板边界层的流速分布与分区结构平板边界层的流速分布与分区结构湍流湍流平板边界层的紊动特性平板边界层的紊动特性湍流湍流平板边界层的能量平衡平板边界层的能量平衡湍流湍流平板边界层厚度和阻力平板边界层厚度和阻力 粗糙平板紊流边界层粗糙平板紊流边界层 平板边界层流动中，势流流速和压强在整个平板边界层流动中，势流流速和压强在整个流场中均为常数。当边界层雷诺数流场中均为常数。当边界层雷诺数 达到临界值后达到临界值后，边界层流动将可能由层流转变为湍流。湍流边，边界层流动将可能由层流转变为湍流。湍流边界层中的流速分布、阻力规律、边界层厚度的沿界层中的流速分布、阻力规律、边界层厚度的沿程发展等均与层流边
2、界层不同。而且在湍流边界程发展等均与层流边界层不同。而且在湍流边界层流动中又因固体壁面的光滑或粗糙而使得流动层流动中又因固体壁面的光滑或粗糙而使得流动情况发生变化。情况发生变化。湍流平板边界层流动是一种基本的流动现象湍流平板边界层流动是一种基本的流动现象，对于航空、造船、化工、水力机械和水工建筑，对于航空、造船、化工、水力机械和水工建筑物的设计都有重要的意义。物的设计都有重要的意义。 像圆管湍流一样，湍流平板边界层流动也像圆管湍流一样，湍流平板边界层流动也是壁面湍流的一种，只不过固体边界的特征不是壁面湍流的一种，只不过固体边界的特征不同。圆管湍流是流动发生在由固体边界所包围同。圆管湍流是流动发
3、生在由固体边界所包围的空间内，因而固体边界限制了湍流的发展。的空间内，因而固体边界限制了湍流的发展。而平板边界层流动则是流动发生在某一固体壁而平板边界层流动则是流动发生在某一固体壁面上，在固体壁面上的湍流边界层可以沿程发面上，在固体壁面上的湍流边界层可以沿程发展而其上边界不受固体边界的限制。但是湍流展而其上边界不受固体边界的限制。但是湍流边界层与圆管湍流在流动特点方面也有很多共边界层与圆管湍流在流动特点方面也有很多共同之处。同之处。湍流平板边界层的流速分布与分区结构湍流平板边界层的流速分布与分区结构 湍流边界层微分方程式可由雷诺方程出发：考虑边界湍流边界层微分方程式可由雷诺方程出发：考虑边界层
4、近似，而得到二维湍流边界层方程。层近似，而得到二维湍流边界层方程。 定常，二维雷诺方程：定常，二维雷诺方程： 表示沿固体壁面的边界层坐标， 为壁面外法线方向坐标。2221111112122212112121uupuuuu uuuxxxxxxx 22222222 12212212212121uupuuu uuuuxxxxxxx 12120uuxx1x2x由经验，在湍流中三个方向的湍流强度 ， ， 基本上具有同一量级，因此引入一个共同的脉动流速的尺度 。对于湍流切应力 ， 则需引入相关函数 假定 ， ， 大致具有1的量级。在边界层流动中，顺流方向的长度尺度与垂直方向尺度相比甚大 ， 的量级小于 的
5、量级，保留 。又在湍流边界层中，粘性切应力与湍流切应力均应保留： 21u22u23uviju uijijR22221232ijijuuuvuuR v ,ij12R13R23R12LL22111uvxL2121222u uR vxL122u ux211112122121221uupuu uuuxxxxx 流向动量湍流边界层方程： 上式如无量纲化，则除 项外，其余各项量级均为1，因此要保留 项，则必须：所以：即无量纲雷诺应力的量级为 的量级， 为当地势流流速。21111 2122121221 uupuuuuuxxxxx1220u uU 212020 1u uUx122u ux122u uxU法向动
6、量湍流边界层方程：与层流边界层中结论相同，即在湍流边界层中同样压强沿y轴是均匀分布的，与边界层外边缘处势流压强相同。边界条件： 20px0210px212010u uUx 222020 1uUx 21221000 x;u,ux;uU x固定壁面上，边界层外边缘，所有脉动分量在固体壁面处均应消失，而在很靠近壁面处，脉动分量的数值很小。由此可知在固体壁面处所有雷诺应力均为零，只有粘性切应力存在。由此可以想见在紧靠壁面处存在一个极薄的流层，在这层流动里湍流切应力和流速的脉动均很微弱，由于这里流速很小，粘性力大于惯性力，这一流层即为粘性底层。紧靠粘性底层上部，存在一层过渡区。过渡区中湍动剧烈，湍流切应
7、力显著增加。过渡区以外则湍流切应力占主导地位，是为湍流层或称对数层。紊流边界层的流速分布在其不同的分区中具有不同的规律，与圆管紊流相似。图11-1为紊流边界层中流速分布分区结构的典型示意图。在紊流边界层中除粘性底层、过渡区及紊流区（对数区）以外，还存在一个尾流区或称为外区（outer layer）。而粘性底层、过渡区和对数区则统称为内区（inner layer）。在紊流边界层中，对于分区界限各家试验略有出入。一般用y 表示x2 ，认为：粘性底层： 过渡区： 对数区： 以上三个区域统称内区。尾流区（外区）：30700 2yy ,.0510y5103070y0 21 0y.平板紊流边界层各个分区中
8、的流速分布为： 粘性底层： 或写为 （11-7）对数区： （11-8）尾流区： （11-9） （11-10） 称为尾流函数（law of the wake）， 为尾流强度。uyuu uy 5 855 56u.lg y.1yuln yCW222yyWsinyW科尔斯（D.Coles）发现对于零压梯度的紊流边界层，当 时 。图 11-2 尾流强度11-1 紊流平板边界层的流速分布与分区结构紊流平板边界层的流速分布与分区结构225000URe0 55.下图给出由斯坦福大学的伦斯塔德勒（P.W.Runstandler）2等人制作的一组表示湍流边界层各分区中流动特性的照片。这组照片是使用氢气泡技术以显示
9、不同流区的某一高度上边界层内流动状况，同时还给出在该高度测量的瞬时流速过程线。图11-3给出由斯坦福大学的伦斯塔德勒（P.W.Runstandler）2等人制作的一组表示紊流边界层各分区中流动特性的照片。 这组照片是使用氢气泡技术以显示不同流区的某一高度上边界层内流动状况，同时还给出在该高度测量的瞬时流速过程线。图11-3（a）表示 处平面上流动显示，此处位于粘性底层上部或过渡区下部。由照片可见此处流速具有大小相间的流速带，紊动剧烈，但紊动的三维性不明显。 图11-3（b）表示 处的流动。此时位于紊流对数区，紊流具有明显的三维性，但从瞬时流速的时间过程线看出此处脉动比 处要弱。图11-3（c）
10、表示 处的流动，而图11-3（d）表示 处的流动。这两个位置均已处于尾流区中，紊动明显减弱，当时从瞬时流速时间过程线还可看出紊动已开始具有间歇性质。82y8y407y8y531y图图 11 3（a）流动显示图）流动显示图 ， 图图 11 3（a）流动显示图）流动显示图 ， 图图 11 3（c）流动显示图）流动显示图 ， 图图 11 3（d）流动显示图）流动显示图 ， 82y8y407y531y图11-3（a）表示 处平面上流动显示，此处位于粘性底层上部或过渡区下部。由照片可见此处流速具有大小相间的流速带，湍动剧烈，但湍动的三维性不明显。8y图11-3（b）表示 处的流动。此时位于湍流对数区，湍
11、流具有明显的三维性，但从瞬时流速的时间过程线看出此处脉动比 处要弱。82y8y早期对湍流平板边界层的量测主要是量测其时均流速和压强的分布。随着科学技术的发展，使得对湍动特性：例如湍流度，湍流能量及能谱，湍流切应力等的量测变得既有需要，也有可能。而且只有通过对湍动特性的直接量测才使人们对湍流的机理获得进一步深入的理解。1954年克莱巴诺夫3对零压梯度湍流平板边界层进行了量测，得到丰富的成果。试验是在一个4.5英尺的风洞中进行，光滑平板长12英尺，宽 4.5英尺。风洞的湍流度在风速30英尺/秒时为0.02%，在风速100英尺/秒时为0.04%。近壁区的量测使用热线风速计。量测断面距平板前缘为10.
12、5英尺，为充分发展湍流边界层。试验中自由流速（边界层外的势流流速)为50英尺/秒。图图 11 4 紊流平板边界层紊流度沿断面分布紊流平板边界层紊流度沿断面分布32uU2uU2wU图11-4分别表示出顺流方向x, 垂直平板方向y及展向z的紊流度 ， ， 。图中还特别表示了在紧靠壁面处的情况。由图可以看出各个方向的紊流度均在紧靠固体壁面附近达到其最大值，而固体壁面处由于壁面对脉动的限制，紊流度均为零。顺流方向的紊流度 最大值约为0.12，表示 约为自由流速 的12%。垂直紊流度则为0.04.图11-4中的 分布曲线表明在 紊流平板边界层中,展向的脉动值不容忽视。2wU图11-4中还示出了紊流切应力
13、 在平板紊流边界层内的分布，图中无量纲量采用 表示单位质量切应力的无量纲量。在紧靠壁面处未能量测到有关数据。 图图 11 5 紊流平板边界层间歇系数紊流平板边界层间歇系数3在边界层的外边界，即紊流边界层与上部势流的交界面处紊流具有间歇性质。克莱巴诺夫3测得的资料显示，在 处，平板紊流边界层即具有明显的间歇性质，而当 时则流速基本上不再呈现脉动。平板紊流边界层中间歇系数 的分布规律如图11-5所示并可用下式表示：u v 2u v U0 8y.1 2y.11507 82ye r f.（11-11）边界层内紊流与边界层外势流的交界面有时称为边界层的自由（freeboundary）。图11-6为自由边
14、界的示意图。自由边界随时间而变动，具有随机的性质。光滑壁面平板紊流边界层自由边界的平均位置为 ，标准差为 。粗糙壁面时自由边界平均位置在 而标准差为 。 0 78.0 14.0 82.0 15.图图 11 6 紊流边界层自由边界示意图紊流边界层自由边界示意图为了深入理解边界层中的紊流结构，常对紊流中两个相邻测点同时进行脉动流速的量测，以分析紊流的空间特性。空间相关函数（space correlation function）:122212u u Ru u 图11-7为西蒙斯.（L.F.G.Simmons）4在圆管中测得的顺流方向脉动流速 和 的典型的相关函数曲线。其中一个热线风速计置于圆管的中心
15、处，另一风速计则置于与中心相距 处。当 ，表明两个风速计均在中心处，这时两个脉动流速 和 相同，从而其相关函数 。当 逐渐增大，相关函数值迅速减小。图中横坐标用圆管半径 进行无量纲化。相关函数的积分: 20dLRrdr （11-13）图图 11 7 空间相关函数分布空间相关函数分布4表示紊流结构中一个特征长度，称为紊流长度比尺（length scale of turbulence）。紊流长度比尺 表示在紊流中旋涡的平均尺度，流体中某一范围内的流体质点作为一个旋涡而运动。图11-7所表示的流动可得1u 2u r01R2u1ur0r0 142dL.如果相关函数中的 不是在与1不同的位置而是在相同的
16、位置，但是在不同的时间所量测的脉动流速，例如 是 时的脉动流速而 是 时量测的脉动流速。这样得到的相关函数则称为自相关函数（autocorrelation function）。同样地，如果 和 表示同一位置处两个不同方向的脉动流速，其相关系数也可用（11-12）式表示。 ， 随 成比例下降,当 k（或 n值相当大时， 下降更快，与 成比例如图中线。紊流的谱分析说明在紊流中包含了各种不同尺度的旋涡。在雷诺数很大时，这些旋涡的尺度可以有量级上的差别。脉动动能由大的旋涡带入并逐级传递给小尺度的旋涡，通过很小尺度的旋涡由于粘性而将动能转变为热能，耗散在流动中。克莱巴诺夫3也量测了平板紊流边界层的谱分布
17、函数（spectrum function）如图11-8所示。谱分布函数 的最大值常出现在低频区域。当频率k或波数n增加，频谱（或波数谱）曲线的坡度有如图中线图图 11 8 紊流平板边界层频谱图紊流平板边界层频谱图32u 1u 1t2u 21ttt 1u 2u Ek5 3Ekk E k E k7k图11-7为西蒙斯.（L.F.G.Simmons）4在圆管中测得的顺流方向脉动流速 和 的典型的相关函数曲线。其中一个热线风速计置于圆管的中心处，另一风速计则置于与中心相距 处。当 ，表明两个风速计均在中心处，这时两个脉动流速 和 相同，从而其相关函数 。当 逐渐增大，相关函数值迅速减小。图中横坐标用圆
18、管半径 进行无量纲化。相关函数的积分: 20dLRrdr （11-13）图图 11 7 空间相关函数分布空间相关函数分布4表示紊流结构中一个特征长度，称为紊流长度比尺（length scale of turbulence）。紊流长度比尺 表示在紊流中旋涡的平均尺度，流体中某一范围内的流体质点作为一个旋涡而运动。图11-7所表示的流动可得1u 2u r01R2u1ur0r0 142dL.如果相关函数中的 不是在与1不同的位置而是在相同的位置，但是在不同的时间所量测的脉动流速，例如 是 时的脉动流速而 是 时量测的脉动流速。这样得到的相关函数则称为自相关函数（autocorrelation fun
19、ction）。同样地，如果 和 表示同一位置处两个不同方向的脉动流速，其相关系数也可用（11-12）式表示。 ， 随 成比例下降,当 k（或 n值相当大时， 下降更快，与 成比例如图中线。紊流的谱分析说明在紊流中包含了各种不同尺度的旋涡。在雷诺数很大时，这些旋涡的尺度可以有量级上的差别。脉动动能由大的旋涡带入并逐级传递给小尺度的旋涡，通过很小尺度的旋涡由于粘性而将动能转变为热能，耗散在流动中。克莱巴诺夫3也量测了平板紊流边界层的谱分布函数（spectrum function）如图11-8所示。谱分布函数 的最大值常出现在低频区域。当频率k或波数n增加，频谱（或波数谱）曲线的坡度有如图中线图图
20、11 8 紊流平板边界层频谱图紊流平板边界层频谱图32u 1u 1t2u 21ttt 1u 2u Ek5 3Ekk E k E k7k恒定二维紊流平板边界层流动的时均流动部分的能量方程可从式（7-13）进行边界层近似得到。式（7-13）为132467522jiiijiiiijijjijiiiiijijjijjjuuu uuu uu phutxxxxxuuuuuu u u u xxxxx由于流动是恒定的，1项可消掉。在平板边界层中3项为零。在紊流边界层中，除紧靠壁面的粘性底层内，紊流切应力 均较粘性切应力 大得多，因此4项的粘性扩散项与6项的紊流扩散项相比可以忽略。5项的粘性耗散项与7项的紊流产
21、生项相比可以忽略。最后得到二维紊流平板边界层的时均流动部分能量方程为： 111 121 111212122222uuuuuuuuuuuuxxxx （11-14）iju u jijiuuxx即只有时均流速场不均匀而引起的迁移变化，亦称传递项，紊流切应力引起的扩散项或理解为紊流切应力作功及紊流产生项。汤森5绘制的紊流平板边界层内时均流动的能量平衡图如图11-9所示。图中各项均以剪切流速 作为速度尺度，边界层厚度 作为长度尺度进行了无量纲化， ， 。由图可见，对于时均流动，产生项在整个断面内均为损失。产生项在边界层内区最大，随着 的增加而减小。说明紊动主要在近壁区产生。时均流动的能量在这里损失一部分
22、变为脉动的能量。对于时均流动来说，它的能量将主要来自于传递项，即由上游传递来的能量。在边界层的中部， 之间传递能量最大。紊流扩散项在边界层的上部为损失而在边界层的内区为增长，说明紊流切应力作功使得时均流动损失了部分能量，同时也将上部由传递项得到的能量扩散到内区，以供给产生项。在断面中的每一高程处，能量的增长与损失都是平衡的，但在不同高程的流层中能量增长与损失的机制不同，而且流层之间通过紊流扩散有能量的相互交换。图图 11 9 平板紊流边界层时均能量断面平衡图平板紊流边界层时均能量断面平衡图5u11x22x20407x.2x恒定二维紊流平板边界层流动的脉动流动部分的能量方程可以从（7-14）式进
23、行边界层近似得到。 式（7-14）为：1212VVLL123456222iiijiiijjiijjjjjiiiijjijijuu u uu u u u u pu u txxxu u u u u u xxxxxx （7-14）流动的恒定使1项消失。在二维边界层流动中，设流动的恒定使1项消失。在二维边界层流动中，设 方向的长度尺度为 ，速度尺度为 ； 方向长度尺度为 ，速度尺度为 。由连续方程可知：1x1L1V2x2L2V2211VLVL（11-15）又因边界层中211LL 22111VLVL由（11-4）式已知 ，因此脉动动能 。222123u u u 2v2q2v322211212221222
24、222221121221222222222VvRvV vV vLLLLjiiiiijijvvL llqqupquuu u u xxxxu u u u u u xxxxxx 在由（7-14）式写出二维边界层能量方程的过程中，首先 得：（11-16）每一项下均注明其尺度。式中 表示脉动速度在空间变化的一个长度尺度，除了极靠近壁面的流层以外， 远比 为小，最多达到 的量级。上式左侧两项具有相同的量级。现规定 和 的量级为1，则右侧各项量级相应为： ， ， ， l2L211V vL222V vL12LL112v LV L112LVl L11LVl l其中第一项量级 ，显然这一项比左侧两项的量级为大。第
25、二项中，虽小于1，但因 ，总的量级仍大于1。第三项中 相当一个雷诺数，由于它所采用的长度尺度为 ，所以它不是一个大数。特别是在粘性底层和过渡区中，它的量级小于 的量级。第四项显然大于第三项。由此，方程式右侧四项的量级均大于左侧两项，故在平板边界层中靠近固体壁面的粘性底层及过渡区中有：121LL121LL1V l12LLl21122222222jiiiiijijupqu u u xxu u u u u u xxxxxx （11-17）在不可压缩流体的情况下， ，所以20jiiju u x x 222122jjiiiijjijijjjiiiiiijijjjjijjijju u u u u u xx
26、xxxxu u u u u qu u u qxxxxxxxxxxxx 方程式（11-17）于是可写为：2221122222222iijjupqqu u u u u xxxxx（11-18）对于距壁面稍远的对数区， 可达到 的量级，脉动迁移项的量级将小于产生项的量级，因而可忽略迁移项。另外耗散项将大于脉动扩散项。因此得到在对数区产生项与耗散项应互相平衡，即：221vV21LL11220jiijiju uu u u u xxxx（11-19）对于边界层的外区，由于时均流速变大，时均迁移项 与脉动迁移项 均应保留。只有脉动粘性应力作功的一项 可以忽略。脉动部分能量方程即可写为：22jjqux22jj
27、pqu x222iiiu u u xxx2221121221222222jiijiju qqupqu u uuu u u xxxxxxx （11-20）当接近边界层的外边界时，相关函数 变得很小，而且 也变得很小，因此产生项将可以忽略。耗散项也将变得很小，可以想见只有时均流动的迁移项和脉动迁移项互相平衡。12R12ux由于量测了紊流脉动动能，紊流切应力和耗散从而可以由（11-16）式或（11-20）式得到紊流平板边界层中脉动能量的平衡图，如图11-10所示。图11-10同样为汤森5所绘制。由图可见，对于脉动动能而言，产生项和耗散项最重要。对于脉动动能，产生项为正值，即增长。图图 11 10 平
28、板紊流边界层脉动能量断面平衡图平板紊流边界层脉动能量断面平衡图5统观图11-9及图11-10可以对边界层中各种能量的转换，增长和损失得到清晰的物理图案，同时对紊流边界层中各个流层的不同特点得到更深入的理解。而耗散项为负值，即损失。在近壁区，产生项和耗散项均有最大数值，而且两项数值基本相同，说明紊流自时均流动取得能量然后通过耗散转变为热能而损失。时均流动对能量的传递，外区比内区稍大，但在整个断面上数值均较小。脉动迁移项在边界层下部为损失而在边界层上部为增长，说明脉动能量通过脉动由边界层下部向边界层上部传递。紊流平板边界层中，如采用 坐标系流速为 ， 基本方程式可由（11-5）式中 得到x , y
29、uv0dpdx22uuuu v uvxyyy0uvxy （11-3）但由于方程仍为非线性，求精确解仍十分困难。特别是由于紊流边界层中存在分区结构，因而紊流边界层更难于完全从理论上得到解答，只能采用近似和经验的方法。紊流平板边界层的计算具有重要的实用意义，例如在流体机械的转轮叶片流场与阻力的计算中，船舶摩擦阻力的计算，飞机机翼和机身的绕流流场和阻力计算等都以紊流平板边界层的计算为基础。首先考虑光滑平板紊流边界层。计算时假定自平板的前缘（ x=0）开始即为紊流边界层。仍采用边界层坐标，顺流方向为x，垂直壁面的法线方向为y。令b为板宽。普朗特的一个基本假设是平板边界层中的流速分布与圆管内的流速分布相
30、同。这里只要把圆管中心最大流速换成边界层外自由流速 ，圆管半径 以边界层厚度 代替即可。当然这样做并不是十分准确，因为在平板边界层中存在尾流区，另外圆管紊流中流速分布主要决定于压强梯度而平板边界层中压强梯度为零。不过流速分布的微小差别对阻力计算影响不大。这些都已为实验所证实。紊流平板边界层的动量积分方程：U0r202ddxU（11-21）将此式积分，得： 202dxUx平板阻力： 2020 xD xbx dxb Ux （11-22）切应力： 2201 d DdxUbd xd x （11-23）由圆管中流速分布的 次方律（1015）得到光滑壁面平板边界层内的流速分 布为：171 7uyU（11-
31、24）平板边界层的壁面切应力 也可从圆管紊流的式（10-30）导出， 1 4020 0225.UU（11-25）0用（11-24）的流速分布公式，可由（3-28）式及（3-30）推出边界层位移厚度 及动量厚度 与边界层厚度 的关系： （11-26）121018udyU207172uudyUU （11-27）02277 2ddUd xd x （11-28）比较（11-25）与（11-28），得1 470 0 2 2 57 2d.d xU为边界层厚度 的微分方程式。假定自平板前缘即为紊流边界层，当 ， ，积分此式得： x0 x 0 1 50 37xxx.Re （11-29）xUxR e即紊流平板边
32、界层厚度沿 x方向的计算公式。式（4-27）的层流边界层厚度公式比 较，可见在紊流边界层中边界层厚度与x的 次方成正比，而层流边界层 。紊流边界层 中厚度沿流动方向增长比层流边界层更为迅速。边界层动量厚度 的计算公式为:45 1 2xx2 21 570 03672xxx.Re （11-30）平板摩擦阻力由（11-22）式可知：1 520 0 3 6UlD.Ub l（11-31）式中 为平板长度，l为平板宽度。b可见在紊流中，平板阻力与 成比例，并与 成比例。而在层流中平板阻力则与 和 成比例。切应力系数：9 5U4 5l3 2U12l1 502220 0 5 7 612fdUxc.d xU （
33、11-32）阻力系数：1 520 07212DDUlc.Ubl （11-33）式中的系数可根据试验数据稍加修正，得出：1 50 074Dlc.Re575 1010lU lRe（11-34）图11-11为光滑平板紊流边界层阻力系数各家公式与实测数据的比较。图中为层流边界层的布拉休斯公式， 为普朗特紊流边界层公式（11-34）。本节开始曾假设自平板前缘x=0 即为紊流边界层，但事实上，不管雷诺数多大，平板首部总有一部分层流边界层。因此对上述阻力计算须作修正。修正的方法是假定流态在某一断面处由层流转变为紊流，从全部的紊流阻力中减去转捩断面以前部分的紊流阻力而代以这部分的层流阻力。1 21 328Dl
34、c.Re图图 11 11 平板阻力系平板阻力系（4）图 11 11 平板阻力系（4）转捩断面前紊流阻力与层流阻力的差值为： 为转捩断面的位置， 为自 x=0 至 这一段平板的紊流阻力系数， 为这一段平板的层流阻力系数.22critDtDlDUbxCCcritxDtCcritxx212critcritDD tD lxD tD lllDxCCClUblR eCCR eAR e阻力系数的差值为:则： （11-35）critxDtDlAReCC平板的实际的阻力系数为： ， （ 11-36）1 50 0 7 4Dll.ACR eR e5751010lRe （11-37）表11-1中列出了各种不同的 值时
35、相应的 A值。在计算A值时采用critxRe1500 7 4c r i tD tx.CR e1 21 328critD lx.CRe在工程实践中，平板雷诺数 往往大于 ，因此式（11-36）不敷应用，需要找到一个适用于更大雷诺数范围的阻力公式。为此只要用流速的对数分布公式替代流速的 次方指数分布公式，沿用前述方法即可得出大雷诺数情况下平板阻力系数的公式。由流速的对数分布公式直接推导阻力公式将十分复杂，因此施利希廷根据计算结果给出一个紊流阻力的经验公式：lRe710172 580 455D.l.Clg Re此外还有一些其他的平板阻力公式，此处不一一列举。 图11-11中还给出了假定 时流态由层流
36、转变为湍流的情况下阻力系数的情况，曲线 ，此时 。图11-11中的曲线为舒尔茨-格鲁诺（F.Schultz-Grunow）6的阻力公式： 5510critxR e1700A2 640 4270 407.DlC.lg Re.工程实践中粗糙平板比光滑平板更为普遍。粗糙的定义仍如圆管紊流中对粗糙的定义，即当粗糙雷诺数 时，由于粗糙高度 掩没在粘性底层以内而对紊流流动不产生影响而称之为水力光滑。只有当 时才称得上为水力粗糙。在水力光滑与水力粗糙之间存在过渡区。但在粗糙平板的紊流边界层中有一点与粗糙圆管紊流有着重要的区别，即在圆管中，沿程的相对粗糙度 和边界层厚度 ，保持常数，粘性底层的厚度 也保持不变
37、。在紊流粗糙平板边界层中，由于边界层厚度 沿程增长，相对粗糙度 将沿程减小。而粘性底层厚度 ，由于 沿程增长 沿程减小，故 沿程增长。这样，对于粗糙高度 一定的粗糙平板，在平板的前部可能是完全粗糙的情形，随着流程 x 的增加，经历一段过渡段，在距前缘相当距离后，平板可能变为水力光滑的情形。5sk usk70sk u0skr5uu粗糙平板紊流边界层的流速分布与粗糙圆管中的流速分布一样，与光滑平板流速分布只差一个常数 ，即：uuu1uln yCu （11-40）参见图10-10。卡门常数在粗糙平板中与光滑平板可取相同的数值，一般情况下。0 4 .1suln kC （11-41） 为粗糙雷诺数。由（
38、11-40）及（11-41）也可导出粗糙平板紊流边界层的流速分布公式为：ssk uk1syulnBk （11-42）常数B 决定于粗糙的高度、形状及分布。图11-12为克劳泽（F.H.Clauser）7给出的 与 关系的一组试验资料。由图可以看出， 时 趋近于零。说明对于粗糙平板紊流边界层中的水力光滑区，粗糙对流速分布并无影响，与光滑平板紊流边界层相同。在 的水力粗糙区, 与 成正比，一般说来u=0的位置应该在y=0与 之间。第十二章中将对这一问题进行详细的讨论。科尔辛和基斯特勒8曾对粗糙平板紊流边界层流动的紊流度分布进行了量测。量测只是在近壁区以外进行的，其结果表示在图11-13中。对比图1
39、1-13与图11-4中克莱巴诺夫在光滑平板紊流边界层中量测的结果可以看出，粗糙平板紊流边界层中紊流度的数值较高。但是粗糙与光滑平板紊流边界层紊流度的比值大体上与二者的壁面切应力之比值相同，因此如果用 对二者进行无量纲化，可得到大体相同的紊流度在断面内的分布。图图 11 12 与与 关系试验结果关系试验结果7usk5sk u70sk 目前还找不到一个明确的规律。粗糙平板紊流边界层的流速分布还存在一个理论零点，即相当于u=0点的位置问题。usln ksyk普朗特和施利希廷9根据尼古拉兹人工砂粒粗糙的实验结果进图图 11 13 粗糙平板近壁区外紊流度分布图粗糙平板近壁区外紊流度分布图8 保持不变,则
40、阻力系数 沿曲线变化。同样地，图11-15表示粗糙平板的切应力系数 与 的关系。通过两组曲线可以给出平板上各点的切应力 系数 。这两张图均是在假设从平板首端x=0即为紊流边界层的情况。图中的虚线表示水力粗糙区的界限。对于某一相对光滑度 或 ，在水力粗糙区 与 的值与雷诺数 或 无关。sUkconst.fcU xslksxkDCU lU x图 11 14 粗糙平板阻力系数4图图 11 15 粗糙平板切应力系数粗糙平板切应力系数4在水力粗糙区也可用下列经验公式计算切应力系数与阻力系数：2 52 871 58.fsxc.lgk2 51 891 62.DslC.lgk （11-43） （11-44）此
41、式适用于 。如果对于实用粗糙情况进行阻力计算，则需参考表10-1确定当量粗糙度 。251010sl ksk参考文献1Coles D. The law of the wake in the turbulent boundary layer. JFM 1,191,19562Runstadler P W. Kline S J. and Reynolds W C. An experimental investigation of the flow structure of the turbulent boundary layer. Rep. MD-8, Stanford Univ., Mech. En
42、g. Dept., Stanford, California, 19633Klebanoff P S. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient, TN 3178 NACA, 19544Taylor G I. Correlation measurements in turbulent flow through a pipe. Proc. Roy. Soc. A 157, 19365Townsend A A. The structure of turbulent shear flow
43、. Cambridge University Press, 19566Schultz-Grunow F. Neues Widerstandsgesetz fur glatte platen. Luftfahrtforschung 17, 239, 1940. also NACA TM 986, 19417Clauser F H. The turbulent boundary layer. Advan. Appl. Mech. 4,1,19568Corrsin S. and Kistler A L. The free stream boundaries of turbulent flows, NACA Tech. Note No. 3133, 19549Prandtl L. and Schlichting H. Das widerstandsgesetz rauher platen. Werft, Reederei, Hafen 14, 1934
