1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2.向量之间的关系：向量之间的关系：:平行向量（共线向量）相等向量：一、向量的初步一、向量的初步:相反向量1.定义定义：既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量叫叫向向量量2.向量的表示：向量的表示：:ABa 向向量量的的几几何何表表示示 用用有有向向线线段段表表示示向向量量的的符符号号表表示示 或或 3.特殊向量：特殊向量：:零向量:单位向量|0aaa 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2abOBA)(baabOBAD)(baab)(ba5.向量的加法向量的加法：6.向量的减法向量的减法：ABOAOBO
2、BOABAOBOAOD上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-21 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac |bababa上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-27、实数与向量、实数与向量 的积的积定义定义：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2OxyijaA(x, y)a1.以原点以原点O为起点的为起点的 ,aOA jyi xa2已知已知 求求),(),(221
3、1yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyOAB),(1212yyxx),(yxa 二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示向量的正交分解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2a向量的模（长度）向量的模（长度）3. 设设 = ( x , y ),则则4. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，则，则 ABa22yx 221221yyxx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2向量的坐标运算向量的坐标运算设向量设向量），（），（2211yxbyxa则则ababa),(2121yyxx),(2121yyxx）（11,
4、 yx说明：两个向量和说明：两个向量和与差的坐标分别等与差的坐标分别等于这两个向量相应于这两个向量相应坐标的和与差。坐标的和与差。说明：实数与向量的积的坐标说明：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。相应坐标。2121yyxxba说明：两个向量的数量积等说明：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。于它们对应坐标的乘积的和。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2三三.向量的数量积向量的数量积1212x xy y设向量设向量 的夹角为的夹角为则则a b ，|cosaba b ,a b 成锐角的充要条件是0a bab 且 不
5、平行于0a bab 且 不平行于,a b 垂直的充要条件是0a b 成钝角的充要条件是,a b ,a b 平行的充要条件是| |a ba b 1221x yx y12120 x xy y上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2121222221122x xy yxyxy|cosa|a bb ,a b 的夹角公式ab在 方向上的投影|a ba b cos22|aa上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2向量垂直充要条件的两种形式向量垂直充要条件的两种形式:0)2(0)1 (2121yy
6、xxbabababa四、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:11221221(1) / / (0);(2) / / ( ,),(,),0)ab babab ax ybxybx yx y 向量相等的充要条件向量相等的充要条件2121yyxxba且上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2五、定比分点的坐标公式、五、定比分点的坐标公式、的坐标，则点且上一点是直线），）、（，的坐标分别是（、已知点PPPPPPPPyxyxPP2121221121,) 1(112121yyyxxx2212121yyyxxx特殊的中点坐标公式定比分点坐标
7、公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2六、平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果 是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有有且只有一对实数 使21, ee,21a2211eea上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2_12, 8,. 2)()()()()(/,. 1的最小值是，是的最大值则满足向量既不充分又不必要条件充要条件必要不充分条件充分不必要条件的是则均不为零babababaDCBAbabababaA420七七.应用举例应用举例上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2的坐标
8、。，求点且上，在直线点），（已知点CABCAABCBA3),5 , 4(,11. 3上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2BCABACABABC及求：为的正三角形，是边长已知) 1 (2. 4CABCABCABCAB)2(ACABABBCACABC求：，已知5, 4, 3. 5上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2212121,60 ?2,32?.oe eaeebeeab 例6、设为两个单位向量?且夹角为若求 与 的夹角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee
9、 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =120上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2），（），（、已知xba2217的值，求的夹角是、若xba45)1(的取值范围的夹角是锐角，求、若xba)2(上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2 8. , _.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 已知在中则 是的心 解解 ()0, 0,.OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCAOCAB OABCOABC 由得：即同理故 是的垂心上页上页下页下页返回返回上页上
10、页下页下页返回返回2022-4-2的值三点共线，求实数、）且，（），（），（已知例mCBAmOCmOBOA11312.10上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2.)(, 2, )2005( 的最小值的最小值求求若若上的一个动点上的一个动点是为中线是为中线中中在在年江苏卷年江苏卷OCOBOAAMAMOABC 例例1111OMOAOMOAOMOAOCOBOAOMOCOB2180cos22)(2 解析解析 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2. 2)(2)(.1)2(, 22 最小值为最小值为即即时取等号时取等号当且仅当当且仅当即即OCOBOAO
11、COBOAOMOAOMOAOMOAOMOA上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2解解：设点 B 的坐标为（x,y） ， 则)2, 5(),(yxAByxOB ABOB x（x-5）+y（y-2）=0 即 x2+y2 5x 2y=0 又 ABOB x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10 x+4y=29 由、解得：272323272211yxyx或 点 B 的坐标为)23,27(或)27,23( )27,23(AB或)23,27(AB 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-2123 21323abkkababkabab 13、已知（， ）
12、， （， ），当为何值时，（）与垂直？（ ）与平行？平行时它们是 同向还是反向？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-221121 )54,53(222）即（babbaabababa 120 180,0 21cosbaba3 32222babbaaba解：解：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-215、如图，E是正方形ABCD的边AB延长线上的一点，F在BC上，且BE=BF，用向量的坐标法证明：AFCEABECDF上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-23、已知三个力、已知三个力 作用于同一质点作用于同一质点,且且 (单
13、位单位:牛牛)若三个力在同一平面若三个力在同一平面内且两两的夹角都为内且两两的夹角都为1200,求合力的大小和方向求合力的大小和方向xy2f3f1foCBA321fff、,30|2f40|3f,20|1f上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022-4-233(cos,sin),(cos, sin),2222,:(1);(2)( )2,.xxxx ba babf xa bab 例2:已知向量a且x0,求及23若的最小值是-求 的值2 例3:平面向量OA=(1,7), OB=(5,1), OP=(2,1),点M为直线OP上的一个动点.(1)当MA MB取最小值时,求OM的坐标;(2)当点M满足(1)的条件和结论时,求 AMB的余弦值.
