1、Saturday, April 02, 20221第四节 开环系统频率特性的绘制Saturday, April 02, 20222q开环系统极坐标频率特性的绘制（奈氏图）q开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图）q非最小相位系统的频率特性本节主要内容Saturday, April 02, 20223一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。q 使用MATLAB工具绘制。q 将开环系统的频率特性写成 或 的形式，根据不同的 算出 或 可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。)
2、()(jQP)()(jeA)(),(QP)(),(A绘制方法：Saturday, April 02, 20224例5-1设开环系统的频率特性为： 试列出实频和虚频特性的表达式。当 绘制奈氏图。)1)(1 ()(21jTjTkjG5, 1, 121TTk解：)()()1)(1 ()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()1)(1 ()(2222212122222122122222121jQPTTTTkjTTTTkTTjTjTkjG当 时，5, 1, 121TTk)251)(1 (6)(,)251)(1 (51)(22222QP 找出几个特殊点（比如 ，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为
3、了相对准确，可以再算几个点。 , 0Saturday, April 02, 20225 0-1.72-5.770 0-0.79 03.8510.80.20)(P)(Q5165相角：5)(11tgtg -180-114.62 -90-56.3100.80.20)(51用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。Saturday, April 02, 20226)51)(1 (1)(sssG下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。Saturday, April 02, 20227例5-2设开环系统的频率特性为：)1)(1 ()(21jTjTjkjG试绘制极坐标特性曲线。解：)()()1)(1 ()1 ()1)
4、(1 ()()(22222122122222121jQPTTTTkjTTTTkjG21112)(TtgTtg分析1、当 时，02)0(,)0(),()0(21QTTkP显然，当 时， 的渐进线是一条通过实轴 点，且平行于虚轴的直线。0)(jG)(21TTk2111TT2、与实轴的交点。令： ，解得： ，这时：0)(Q21211)(TTTkTP3、当 时， ，渐进线方向向下。23)(, 0)(, 0)(QPSaturday, April 02, 202285, 1, 121TTk5, 1, 121TTk0)51)(1 (1)(ssssG5, 1,1021TTk0)51)(1 (10)(ssssG
5、Saturday, April 02, 20229具有积分环节的系统的频率特性的特点：njjmiisTsjjG11)1 ()1 ()(1)(频率特性可表示为：其相角为：njjmiiTtgtg11112)(当 时，00|)(1)0(,2)0(jG当 时，)( , 0| )(,2)(2)(22)(mnjGmnnm若 显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。Saturday, April 02, 202210下图为0型、型和型系统在低频和高频段频率特性示意图：0（0型）（型）0（型）0低频段频率特性| )0(| ,)0(2| )0(| ,2)0(11| )0(| , 0)
6、0(0GGG型：型：型：n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性23)(3)(22)(1时，时，时，mnmnmn至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。Saturday, April 02, 202211二、增加零极点对极坐标图形状的影响设1)(11sTKsG0T1K2211)(TKA2211)(TKP11)(Ttg22111)(TKTQ0)()(0)()(0QKPKA，时当0)(0)(2)(0)(QPA，时当Saturday, April 02, 202212 增加有限极点设) 1)(1()(212sTsTKsG22222111)(TTKA)1)(1 ()1 ()(22
7、2221221TTTTKP2111)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121TTTTKQ0)()(0)()(0QKPKA，时当212121)(10)(TTTTKQTTP，此时，解得令0)(0)()(0)(QPA，时当Saturday, April 02, 202213设)1)(1)(1()(3213sTsTsTKsG223222221111)(TTTKA)1)(1)(1(1)(2232222213231212TTTTTTTTTKP）（312111)(TtgTtgTtg)1)(1)(1()()(2232222213213212TTTTTTTTTKQ0)()(0)()(0QKPKA，时
8、当，此时与虚轴相交；，解得令32312110)(TTTTTTP0)(0)(23)(0)(QPA，时当，此时与实轴相交；和，解得令32132100)(TTTTTTQSaturday, April 02, 202214Saturday, April 02, 202215结论：假如G(s)增加n个有限负极点(时间常数形式)，则G(j)的极坐标图在=0时幅值不变；在时顺时针转过n/2(弧度)。Saturday, April 02, 202216 增加在原点处的极点设) 1()(14sTsKsG2211)(TKA22111)(TKTP1190)(Ttg)1 ()(221TKQ)()(90)()(01QK
9、TPA，时当0)(0)()(0)(QPA，时当在取有限值时与坐标轴无交点。Saturday, April 02, 202217设) 1()(125sTsKsG22121)(TKA)1 ()(2212TKP11180)(Ttg)1 ()(2211TKTQ)()(180)()(0QPA，时当0)(0)(23)(0)(QPA，时当在取有限值时与坐标轴无交点。Saturday, April 02, 202218结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在=0的幅值为无穷大。Saturday, April 02, 202219 增
10、加有限零点设) 1)(1()(215sTsTsKsG22222111)(TTKA)1)(1 ()1 ()(222221221TTTTKQ211190)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121TTTTKP)()()(90)()(021QTTKPA，时当212121)(10)(TTTKTPTTQ，交点，解得与实轴交点令0)(0)(270)(0)(QPA，时当Saturday, April 02, 202220设) 1)(1() 1()(215sTsTssTKsGd22222122111)(TTTKAd)1)(1 ()(1 )(22222121212TTTTTTTTKQdd2111190
11、)(TtgTtgTtgd)1)(1 ()()(22222121221TTTTTTTTKPdd)()()(90)()(021QTTTKPAd，时当0)(0)(180)(0)(QPA，时当Saturday, April 02, 202221ddTTTTTTQ2121210)(，解得与实轴交点令02121ddTTTTTT的条件为：注意与实轴交点有交点21212121)(TTTTTTTTTTdd12121aaTTTT，可令设22222221211111)1 (TTaaaaTaaTaaTTTTT点为时，与实轴有交点，交即满足dTTT21)()(2121dTTTTTKP与没有零点的极坐标图比较知：交点更靠
12、近原点，且当时，极坐标图趋于原点时的相角为-180。Saturday, April 02, 202222交点。，则极坐标图与实轴无若2121TTTTTdddTTTTTTP21212)(0)(，解得与虚轴交点另外令交。时极坐标图将与虚轴相即当)(21TTTdSaturday, April 02, 202223二、开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）2221111122222122)2()1 ()(1(mkjtgkkkmijtgijkkkieeek222111122222122)2()1 (111nlTTjlllTjtgnpplllpeTTeT开环系统频率特性为：121211221122)
13、21 ()1 ()21 ()1 ()()(npnllllpmimkkkkiTjTjTjjjkjGSaturday, April 02, 202224幅频特性：21211222212212222122)2()1 (log201log20log20)2()1 (log201log20log20)(nllllnppmkkkkmiiTTTkL相频特性：212112211112211112212)(nllllnppmkkkkmiiTTtgTtgtgtg且有：21212,22)()(,2)0(mmmnnnmn。 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
14、Saturday, April 02, 202225例：开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。2121,)1)(1 ()(TTsTsTsksG解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。204060然后，在图上相加。11T21T20406080111T21T4590135180)(270Saturday, April 02, 202226 实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。q 确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；,klljjkkiiTT11,1,1l
15、og20log20)(kL20)( jq 确定低频渐进线： ，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。具体步骤如下：Saturday, April 02, 202227q 高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;jjT1遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;llT1q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：ii1遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;kk1遇到 （二阶微分）时，斜率增
16、加+40dB/Dec;Saturday, April 02, 202228例5-3系统开环特性为：) 14 . 025. 0)(125. 0(10)(2ssssGk试画出波德图。解：1、该系统是0型系统，所以5 . 0,25. 0,10, 021TTk则，dBkTT20log20, 21, 4122112、低频渐进线：斜率为 ，过点（1，20）dB020 3、波德图如下：1012420log)(A4060Saturday, April 02, 202229244060红线为渐进线，兰线为实际曲线。Saturday, April 02, 202230例5-4已知)05. 01)(125. 01)
17、(101 ()1001 (10)(223ssssssG，试画波德图。解：1、,2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;60log20,1043213kk2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-60）点。dB40204、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为 ：60)(20mnSaturday, April 02, 202231)60, 1 ( 2123红线为渐进线，兰线为实际曲线。2005. 018125. 011 . 010101. 010014321)05. 01)(125. 01)(101 ()1001 (10)(223ssssssGSaturday
18、, April 02, 202232例5-5具有延迟环节的开环频率特性为： ，试画出波德图。jejGjk13)(5 . 0解：5 . 125 . 021313)(jjjkeeejG 可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。3log20100101)(L100101)(1tg5 . 0)(4590作业：5-3(b),(c) ;5-5(a),(c)Saturday, April 02, 202233例：已知 ，画出其对数坐标图。)40014)(5 . 0() 1(2000)(2ssssssG解：将传函写成时间常数形式) 1035. 00025. 0)(12() 1(10)(2ss
19、ssssG这可以看作是由五个典型环节构成的10)(1sGssG1)(2121)(3ssG1)(4 ssG1035. 00025. 01)(25sssG1)20135. 02()201(122ss求 20lgK=20dBSaturday, April 02, 202234序号环节转折频率转折频率后斜率累积斜率1K2(j)-1202030.5204041+j1+20205204060211j注意转折频率是时间常数的倒数035. 0)0025. 01 (12j列表Saturday, April 02, 202235L()()200Saturday, April 02, 202236相频特性21110
20、025. 01035. 0290)(tgtgtg0.10.20.512()-95.8-104.5 -109.4 -110.4 -106.6 5102050100()-106.2 -117.9 -181.4 -252.1 -262 Saturday, April 02, 202237三、非最小相位系统的频率特性 在前面所讨论的例子中，当 时，对数幅频特性的高频渐进线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相频都趋于 。具有这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小，如上表示的 。相角变化大于最小值的系统称为非最小相位系统。0)(2
21、mn)(2mn结论：在s右半平面上没有零、极点的系统为最小相位系统，相应的传递函数为最小相位传递函数；反之为非最小相位系统。Saturday, April 02, 202238定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具有内在的关系。 对最小相位系统：=0时 ()90积分环节个数 ； =时 ()90(n-m)
22、 。 不满足上述条件一定不是最小相位系统。 满足上述条件却不一定是最小相位系统。Saturday, April 02, 20223911)(121sTsTsG11)(122sTsTsGsTsTsG12311)(sTsTsG12411)(sesTsTsG11)(125例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。212254321)(1)(1)()()()()(TTAAAAA11211)(TtgTtg11212)(TtgTtg11213)(TtgTtg11214)(TtgTtg3 .57)(11215TtgTtgSaturday, April 02, 202240设 ， 可计算出下表，其中
23、为对数坐标中 与 的几何中点。2110TT 2T1/10 T11T21T1/10T11/T11/T210/T21()-5.1 -39.3 -54.9-39.3-5.12()-6.3 -50.7-90 -129.3 -173.73()6.3 50.790 129.3173.74()5.139.354.939.35.15()-5.7-45-73-96.6 -578.11/10 TSaturday, April 02, 202241由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如 1() )。最小相位系统和非最小相
24、位系统最小相位系统和非最小相位系统而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如2()、3()、5()；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如 4() )。Saturday, April 02, 202242最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统 在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。 伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：duuctghdudA2ln1
25、)(0式中 (0)为系统相频特性在观察频率0处的数值，单位为弧度；u=ln(/0)为标准化频率；A=ln|G(j)|；dA/du为系统相频特性的斜率，当L()的斜率等于20dB/dec时，dA/du =1；函数2222ln2lnuuuueeeeuctgh为加权函数，曲线如图Saturday, April 02, 202243最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特性与相频特性紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在
26、进行分析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。在u=0(=0)时 ；2lnuctgh在u=2.3，即在0上下十倍频程处， ；2 . 02lnuctgh偏离此点，函数衰减很快。即相频特性在0处的数值主要决定于在0附近的对数幅频特性的斜率。在u=0.69（在0上下倍频程处， ；1 . 12lnuctghSaturday, April 02, 202244最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解：由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；在=1处，L()=15dB，可得
27、20lgK=15，K=5.6在=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)在=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1) 121() 171(6 . 5)(ssssG2790)(11tgtg)21 ()71 (6 . 5)(jsjjGSaturday, April 02, 202245最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。解：由于低频段斜率为-40dB/dec所以有两个积分环节；在=0.8处，斜率由-40dB/dec变为-20d
28、B/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1) 在=30处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/30+1)在=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有惯性环节(s/50+1) 1501)(1301() 18 . 01()(2ssssKsG2222)50(1lg20)30(1lg20lg20)8 . 0(1lg20lg20)(KLSaturday, April 02, 202246最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统在=4时，L()=0，这时可以不考虑转折频率在=4以上的环节的影响424lg208 . 0lg20lg20)
29、()4(KLL048 . 04lg204lg208 . 04lg20lg2022KK148 . 0K2 . 3K) 1501)(1301() 18 . 01(2 . 3)(2sssssGSaturday, April 02, 202247例有两个系统，频率特性分别为：TjTjjGjTjjG0 ,11)(,11)(21转折频率都是：1,121T幅频特性相同，均为：22221log201log20)(TL相频特性不同，分别为：0)(, 0)(, 0)0(,)(111111Ttgtg)(,)(, 0)0(,)(222112Ttgtg显然， 满足 的条件，是最小相位系统；而 不满足 的条件，是非最小相
30、位系统。可以发现：在右半平面有一个零点。)(1)(20)(2)(1mn0)(2)(2mnSaturday, April 02, 202248sssG1011)(1最小相位系统sssG1011)(1非最小相位系统 该两个系统的波德图如下所示：Saturday, April 02, 202249奈氏图为：sssG1011)(1最小相位系统10, 1T11 . 0sssG1011)(1非最小相位系统10, 1T11 . 0Saturday, April 02, 202250 对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相
31、角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这个结论对于非最小相位系统不成立。 非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发生在系统存在不稳定的内部小回路。 一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相位环节。Saturday, April 02, 202251小结开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）手工绘制和使用Matlab绘制具有积分环节的系统的频率特性的特点，低频和高频特性开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）手工绘制波德图的步骤和使用Matlab绘制最小相位系统和非最小相位系统
