1、第二十五章第二十五章 量子力学基础量子力学基础德布罗意德布罗意25.1 德布罗意假设德布罗意假设 实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性 德布罗意波在光的波粒二象性的启发下，德布罗意波在光的波粒二象性的启发下，提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波粒二象性的假设。粒二象性的假设。hmcE2hmvp德布罗意公式德布罗意公式与实物粒子相联系的波与实物粒子相联系的波 德布罗意波德布罗意波(物质波物质波)实验验证实验验证1. 1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊（汤姆逊19271927）2. 2. 电子的单缝、双缝、三
2、缝和四缝衍射实验。电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 （约恩逊（约恩逊1961)1961)3. 303. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。4. 4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。应用应用电子等实物粒子的波长比光波波长小的多电子等实物粒子的波长比光波波长小的多 利用高速电子束代替光束制成显微镜利用高速电子束代替光束制成显微镜电子显微镜电子显微镜25.2 不确定关系不确定关系一一. 不确定关系不确定关系经典力学经典力学质点质点 确定的位置和动量确定的位置和
3、动量微观粒子微观粒子具有波动性即不具有确定的位置和动量具有波动性即不具有确定的位置和动量 1927年德国物理学家海森伯年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学根据量子力学推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系 在某一方向在某一方向(如如x方向方向)粒子的位置不确定量粒子的位置不确定量 x和该方向上的动量的不确定量和该方向上的动量的不确定量 px有有2/xpxsJh341005.12电子的单缝衍射电子的单缝衍射二二. 简单推导简单推导 电子束电子束v xxxsinphx坐标的不坐标的不确定量确定量由于衍射由于衍射,电子的速度电
4、子的速度方向改变方向改变,电子可能出电子可能出现在现在- 到到+ 的范围内的范围内-xpppx/sinhpxxhpxx考虑次极大考虑次极大ppxpy经严格证明此式应改经严格证明此式应改写为：写为：2xpx讨论讨论:1. 不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确度值成反比；度值成反比； px 0 px确定确定 粒子位置完全不确定粒子位置完全不确定 平面波平面波2. 不确定关系不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写典力学来描写还是用量子力学来描写; ;
5、 3. 另一个不确定关系另一个不确定关系2tE能量的不确定量:E某能量状态的持续时间: t t 稳定状态稳定状态 能量确定能量确定25.3 波函数与薛定锷方程波函数与薛定锷方程一一. 概率波概率波物质波是一种概率波物质波是一种概率波, 反映粒子在空间分布的几率反映粒子在空间分布的几率电电子子的的双双缝缝衍衍射射28个电子通过双缝个电子通过双缝1000个电子通过双缝个电子通过双缝10000个电子通过双缝个电子通过双缝数百万个电子通过双缝数百万个电子通过双缝二二. 波函数波函数 描述物质波的数学表达式描述物质波的数学表达式一束沿一束沿x轴传播的单色平面波轴传播的单色平面波)/(2cos),(xvt
6、Atxy指数形式指数形式)/(2),(xvtiAetxy1. 波函数波函数 沿沿x轴运动的单能粒子束轴运动的单能粒子束)/(20),(xvtietxhphE,自由粒子的波函数自由粒子的波函数)(0),(pxEtietx2. 概率密度概率密度 在空间一很小区域在空间一很小区域( (以体积元以体积元dV=dxdydz表征表征) )出现粒子的出现粒子的概率为：概率为：dVdV*22概率密度概率密度表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。3. 波函数的归一化条件波函数的归一化条件粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于粒子在任意时刻在整个空间出现的
7、概率等于112dV波函数的归一化条件波函数的归一化条件4. 波函数的标准条件波函数的标准条件单值单值, 有限有限, 连续连续, 归一化归一化三三. 薛定锷方程薛定锷方程薛定锷薛定锷波函数与粒子所处条件的关系式波函数与粒子所处条件的关系式1. 薛定锷方程薛定锷方程一维非相对论形式一维非相对论形式Uxmti2222三维三维Umti2222222222zyx2. 定态薛定锷方程定态薛定锷方程势能与时间无关时的波函数势能与时间无关时的波函数Etiertr)(),(空间坐标空间坐标函数函数时间函数时间函数 (r)满足满足0)(222UEm求解某些特殊情况的波函数求解某些特殊情况的波函数注意注意: 薛定锷
8、方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛定锷方程适用于微观粒子。定锷方程适用于微观粒子。25.4 一一 维维 势势 阱阱一一. 一维势阱一维势阱 在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外在此区域外为无限大。为无限大。 x0aU(x)U= U= U=0二二. 由定态薛定锷方程求波
9、函数由定态薛定锷方程求波函数1. 根据具体问题写出势能函数根据具体问题写出势能函数势能函数势能函数)(xUax 0 ,0axx,0,势阱内势阱内 U=02. 根据条件写出定态薛定锷方程根据条件写出定态薛定锷方程定态薛定锷方程定态薛定锷方程axEmdxd0 ,02222k 20222kdxd通解通解kxBkxAxsincos)(0)()0(a3. 由边界条件及归一化条件求出由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值的值0,0kB, 3 ,2, 1,nank0)(sin,0)0(akaBA因粒子只能在势阱内因粒子只能在势阱内axxanBx0 ,sin)(121)(22aBdxxaB2由归一化条件由归
10、一化条件4. 写出波函数写出波函数axxanax0 ,sin2)(讨论讨论:1. 概率密度概率密度axxanax0 ,sin2)(22概率密度随概率密度随x变化变化,与与n有关有关0a=1=2=3=4nnnn)( x0a2)( x2. 粒子能量粒子能量222nmEk能量量子化能量量子化ank22222nmaEn不同能级不同能级,粒子的波函数不同粒子的波函数不同25.5 势垒与隧道效应势垒与隧道效应一一. 势垒势垒x0UU=0U=U0势能函数势能函数)(xU0,0 x0,0 xU二二. 波函数波函数能量能量E(EU0)的粒子从左边射入的粒子从左边射入0,02222xEmdxd定态薛定锷方程定态薛
11、定锷方程0,0)(20222xUEmdxd令令2022221)(2,2UEmkmEk0,)(111xBeAexxikxik0,)(22xCexxk入射粒子入射粒子反射粒子反射粒子)(三三. 隧道效应隧道效应经典力学经典力学能量能量E(E0的区域的区域量子力学量子力学(*)式说明粒子的波函数在式说明粒子的波函数在x0的区域逐渐衰减的区域逐渐衰减,但不为零但不为零量子力学中量子力学中,粒子能穿入势能大于其总能量的区域粒子能穿入势能大于其总能量的区域隧道效应隧道效应四四. 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜( (STM)STM)原理：利用电子的隧道效应。原理：利用电子的隧道效应。4848个个F Fe e原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。围栏中的电子形成驻波。25.6 谐谐 振振 子子分子和固体中原子的振动分子和固体中原子的振动势能函数势能函数2222121xmwkxU0)21(222222xmwEmdxd一维谐振子的定态薛定锷方程一维谐振子的定态薛定锷方程谐振子的定态能量谐振子的定态能量hnwnEn)21()21(能量量子化能量量子化 等间距等间距能级的间距能级的间距hwE最低能量最低能量(零点能零点能)hwE21210例例. P204页页 25-34eVhE121066.1eVhE1301028.821
