1、第一节 导数的概念 一、两个引例 二、导数的定义 三、求导举例 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系 本节内容提要本节重点导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函数可导与连续的关系。本节难点导数概念的理解；可导的充要条件；利用导数几何意义求切线（法线）方程；判断函数在一点处是否可导和连续；利用导数定义求导；教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时 3课时返回一、两个引例 1、变速直线运动的速度设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s= s (t) 确定。我们要求在某一t0时刻的瞬时速度v（t0）。 在时间段t0,t0+ 内，
2、动点经过的路程为 于是 即为该时间段内动点的平均速度。它并不是t0时刻的瞬时速度v（t0），但是如果时间间隔 较短，则有 。显然，时间间隔 越短，平均速度 与瞬时速度v（t0）的近似程度就越好。也就是说，当 st00()( )ss tts t t0()sv tttsttt无限缩短时，平均速度 就会无限接近于瞬时速度v（t0），而运用我们第一章所学的极限概念，就有这样，该极限值就是t0时刻的瞬时速度v（t0）。 st00000()()()limlimtts tts tsv ttt 2、曲线的切线 设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限
3、位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。 设割线MN与X轴的夹角为 切线MT与X轴的夹角为 。曲线方程为y=f (x),点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为 。于是，割线MN的斜率为： 。当点N沿曲线C趋向点M时，就有 ，割线的斜率 就会无限接近切线的斜率 ,又由极限的定义， 00(,)xx yy 00()(tanfxxfxyxx ）0,x tantan有即为切线的斜率。 0000()(tanlimlimxxfxxfxykxx ）返回二、导数的定义 上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一
4、个极限 ：即因变量的改变量 与自变量的改变量 之比，当自变量的改变量 趋于0时的极限。这就是导数。0000()(limlimxxfxxfxyxx ）。yxx1、定义 设函数y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量 时，相应的函数y取得增量 x0（ 点 x +x仍 在 该 邻 域 内 ）0000000( ),()(limlim( ),xxxxxxyxxxyf xf xxf xyxxdydf xdxdx 0000 x=xx=x0如果与之比当时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x 处可导，并称这个极限为函数在点x 处的导数，记作y即）y。也可记做f (x ),。00
5、()();yf xxf x 在x0点处的导数，称为x0点的导数值。注：导数的定义也可取如下两种形式：000000()()()lim()()()limhxxfxhfxfxhfxfxfx。0 x - x2、区间可导和导函数(1) 如果函数y = f (x) 在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y = f (x)在区间（a,b）内可导。 (2) 若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y =f (x)的导函数，记做 导函数往往简称为导数。用极限表示为：( ),( ),dydfxyfxd
6、xdx。00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 。3、左右导数(1)称左极限 为函数f (x)在x0点的左导数，记做 。 0000()()limlimxxf xxf xyxx 。0()fx(2) 称右极限 为函数f (x)在x0点的右导数，记做 。 0000()()limlimxxf xxf xyxx 0()fx4、可导的充要条件函数y = f (x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。返回三、求导举例 根据导数定义求导，可分为如下三个步骤： 02022200200lim13()()(3)3662.63. limlim 66(3)6xxxyyxyxyxxyf
7、xxf xxxxyxxxxxyxyx 第一步：求因变量的改变量；第二步：求比值；第三步：求比值的极限例 、根据导数定义求在的导数值。 解： 1. （），即。02( )1.()( )002.03.lim0 xf xcyf xxf xccyxxyx 例 、求（c为常数）的导数。解： ，故（c） =0。本题说明，常函数的导数等于0。12212112113( )()( )()(1).2(1)2.2(1)3.limlim.2nnnnnnnnnnnnnxxf xxyf xxf xxxxn nnxxxxxyn nnxxxxxyn nnxxxxnxx 例 、求函数（n为正整数）的导数。解：1. 故有（1223
8、()1yxxxyxxxxnn-1x）=nx 。一般的，幂函数为常实数的导数公式为（ ）=。练习：求， ， 的导数。0004( ) sin1.()( ) sin() sin2cos()sin222cos()sin222.2cos()sinsin2223.limlimlimcos()22cos 1 cos ,xxxf xxxxyf xxf xxxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxx 例、 求 函 数的 导 数 。解 ： 故 （ sinx ）=cosx。类 似 地 ， 可 求 得 （ cosx）=-sinx。100005(0,1)1.()( )12.1log (1),00113.limlimli
9、mlimlog (1)log (1)xxxxxxxxxxaxxxxxxttataa aayf xxf xaayaaaaxxxataxtxtyataaaxxtt 例、求函数的导数。解： 在这里，设，移项并取以 为底的对数，有且当时，。1lnlog(0,1)ln ;xxaxxxxxaaaea aaaaaae也就是说，指数函数的导数为(特别地，当时，有（e）=e。00006( )log(0,1)1.()( )log () loglog (1)log (1)2.log (1)13.limlimlimlog (1)11lim log (1)logxaaaaaaaxxxxxaxf xx aaxyf xxf
10、 xxxxxyxxxxyxxxxxxxxxxxx 例、求函数的导数。解： 1ln1log(0,1)logln1logln ,(ln )aaaeexax aaxaexaxxxx即对数函数的导数为（）=；特别地，当时，有。返回四、导数的几何意义 函数y = f (x)在 处的导数 在几何上表示曲线 y = f (x)在 处的切线的斜率，即 ,为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得 处的切线方程为：相应点处的法线方程为：0 x( )fx00( ,)M x y点( )tanfx00(,)M xy点000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 4421cos42(cos )sin2|
11、( sin )|22( )422()22422()24xxyxxxkyxkyyxyx 例、求曲线在点（ ， ）处的切线方程和法线方程。解：由及导数的几何意义可知，所求切线的斜率为，相应的法线斜率为切线方程为：；法线方程为：21230,024()()2 ,12tan14211 1( , )42 41111 (),424()3yxMxxxxxxxyMyxyxyxM x y例 、抛物线上一点处的切线与 轴正向的夹角为 ，求该点坐标并求曲线方程。解：由幂函数的导数公式可知，又由导数的几何意义，令，得，相应，得点 的坐标为切线方程为：即；练习：曲线在点处切线斜率为 ，则该点坐标是多少？返回可导性与连续的
12、关系：若函数f (x)在点x可导，则它在点x处必连续。而若函数在该点连续却不一定可导。五、函数的可导性与连续性的关系 0000001|0|(,)00(0)(0)(0)limlimlim1,(0)(0)(0)limlimlim1xxxxxxyxxyxxxxfxfxfxxxxfxfxfxxxx 例 、判断在点的连续性和可导性。解：函数在上连续，在点，当然也是连续的。另一方面，考虑在点的左、右导数：；即在0|0|0yxxyxx点的左、右导数都存在但不相等。由可导的充要条件，在点不可导。综上，在点连续但不可导。11111101( )1121lim ( )lim1lim ( )lim(21) 11lim (1) 1lim ( )(1)( )xxxxxxxxf xxxxf xxf xxxff xff x例2、讨论函数 在处的连续性和可导性。解：先讨论连续性，而即在点的左、右极限都存在且相等，由极限存在的充要条件，有故，再由连续定义函数在x=1点是连续的。再讨论可导性，看函000000( )1(1)(1)1111( )limlimlim211(1)(1)112(1) 1 1( )limlimlim21( )1xxxxxxf xxfxfxf xxxxfxfxxf xxxxxf xx 数在点的左、右导数：即左、右导数都存在但不相等，由可导的充要条件，在处不可导。综上所述，函数在处连续但不可导。返回
