1、1.1 小波小波( (Wavelet) ) 小波小波就是空间就是空间L2(R)中满足下述条中满足下述条件的函数或者信号件的函数或者信号 : : x Rdxx2 *2RdC 这时，这时， 也称为也称为小波母函数小波母函数，(2) 称为称为容容许性条件许性条件。 x （1）（2）连续小波连续小波 abxaxba 1,函数：函数：为由小波母函数为由小波母函数 生成的依赖生成的依赖于参数（于参数（a,b）的）的连续小波连续小波，简，简称为称为小波小波。 x （3）注释注释注释：如果小波母函数注释：如果小波母函数 的的Fourier 变换变换 在原点在原点 是连续是连续 的，那么公式的，那么公式(2)说
2、明说明 ， x 0 00 于是于是 x dxR 0这说明函数这说明函数 有波动的特点，公式有波动的特点，公式(1)又说明函数又说明函数 有衰减的特点，因此，有衰减的特点，因此，称函数称函数 为为“小波小波”。 x x x 1.2 小波变换小波变换( (Wavelet Transform) )对于任意的函数或者信号对于任意的函数或者信号 ，其，其小波变换为小波变换为 RLxf2 RRbafdxabxxfadxxxfbaW 1,（4）性质性质这样定义的小波变换具有下列性质：这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等式：恒等式： 22,RgfRadadbbaWbaWdxxgxfC 小波
3、变换的逆变换公式：小波变换的逆变换公式： 22,1RbafadadbxbaWCxf （5）（6）性质性质吸收公式：当吸收条件吸收公式：当吸收条件 0202 dd成立时，有吸收的成立时，有吸收的Plancherel恒等式恒等式 1220Cf x g x dxW abW abdbdaafg,（7）（8）性质性质吸收的逆变换公式吸收的逆变换公式 02,2adadbxbaWCxfbaf （9）1.3.二进小波和二进小波变换二进小波和二进小波变换(Dyadic Wavelet Transform) 如果小波函数如果小波函数 满足稳定性条件满足稳定性条件 x BAj 2 (10)则称则称 为二进小波，对于
4、任意的整数为二进小波，对于任意的整数k, ,记记 x kkxxk2212 (11)逆变换逆变换对于任意的对于任意的 ，其二进小波变换为：，其二进小波变换为： RLxf2 bfdxxxfbWkRkkkf2221 这时，逆变换公式是这时，逆变换公式是 kRkkkfdbbxbWxf22 （12）（13）重构小波重构小波其中其中 的的Fourier变换满足变换满足 x 122 kkk 称为二进小波称为二进小波 的重构小波，比如可取：的重构小波，比如可取： x kk22 （14）（15）设小波为设小波为 ，对于任意的整数，对于任意的整数k 和和j，记记1.4. 正交小波和小波级数正交小波和小波级数( (
5、Orthonormal Wavelet) ) 构成空间构成空间 的标准正交基，则称的标准正交基，则称 是正是正交小波。交小波。 x jxxkkjk 222, ZZjkjxxkkjk , ; 222, RL2 x 如果函数族如果函数族(16)(17)小波级数小波级数这时，逆变换公式就是小波级数这时，逆变换公式就是小波级数 kjjkjkxxf, (18) 其中小波系数其中小波系数 的算法是的算法是 jk, Rjkjkjkdxxxff, , (19)连续和离散统一连续和离散统一上的取值，因此，小波系数上的取值，因此，小波系数 实际上是实际上是信号信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是的离散小波变换
6、。其实，这也是小波变换迷人的风采之一：小波变换迷人的风采之一： baWf, jkk 2 , 2jk, 小波系数是信号小波系数是信号f(x)的小波变换的小波变换 在在二进离散点二进离散点(20)连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换都适合全体信号；连续变换和离散变换都适合全体信号； 2. (Time-Frequency Analysis )2.1 窗口窗口Fourier变换和变换和Gabor变换变换(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform) D.Gabor在在1946年开创时年开创时-频分析的先河提出频分析
7、的先河提出Gabor Transform一般的时一般的时-频分析是频分析是Windowed Fourier TransformShort-Time Fourier TransformWindowed Fourier Transform称为信号称为信号 的窗口的窗口Fourier变换，其变换，其中的函数中的函数 称为窗口函数，一般要求称为窗口函数，一般要求是：是： RfdxxixxgxfxS0000exp, RLxf2 RLxg2 1 Rdxxg具体地具体地(21)Gabor Transform 4exp212xxg RfdxxSF0000, D.Gabor取取(22)是是Gaussian函数，
8、对应的变换称为函数，对应的变换称为Gabor变换变换(1946)。对于。对于Gabor变换，存在如下变换，存在如下的频率再分割公式：的频率再分割公式：(23)物理解释物理解释Gabor变换变换 是信号是信号 在在x=x0点点“附近附近”的频率为的频率为 的频率成分；的频率成分；只要把信号只要把信号 在各个时间点在各个时间点“附近附近”的频率为的频率为 的频率成分全部累加起来，理的频率成分全部累加起来，理所当所当 然就应该是这个信号的频率为然就应该是这个信号的频率为 的频的频率成率成 分；分；Gabor变换变换 可以认为是信号可以认为是信号f(x)的的另一种等价描述另一种等价描述(因为因为Fou
9、rier变换是信号的变换是信号的等价描述等价描述) RLxf2 0 00, xSf RLxf2 0 0 00, xSf局限局限Gabor变换没有变换没有“好好”的（即可的（即可以构成标架或者正交基）离散形式以构成标架或者正交基）离散形式；Gabor变换没有快速算法：比如变换没有快速算法：比如没有类似于离散没有类似于离散Fourier变换之变换之FFT的快速数值算法；的快速数值算法； 遗憾的是，遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：变换存在如下局限： Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时变换的固定时- -频窗口频窗口t00t1t12.2. 时时- -频分析频分析(Time-
10、Frequency Analysis）时时- -频分析频分析本质上是信号描述、分析和处本质上是信号描述、分析和处理的一种方法，它给信号的理的一种方法，它给信号的“最优描述问题最优描述问题”提供一种解决方案。提供一种解决方案。R.Balian(1981)早早在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在通讯理论中，人们对于在给定的时在通讯理论中，人们对于在给定的时间内，把一个信号表示成间内，把一个信号表示成“每一个都每一个都同时具有足够确定的位置及频率的谐同时具有足够确定的位置及频率的谐波波”的叠加这种信号的描述方法极感的叠加这种信号的描述方法极感兴趣兴趣 最优描
11、述问题最优描述问题有用的信息总是同时被所发射信号的频率有用的信息总是同时被所发射信号的频率特性与信号的时间结构所传递，最好的例特性与信号的时间结构所传递，最好的例子是演奏音乐；子是演奏音乐；把信号表成时间的函数其频率特征无法突把信号表成时间的函数其频率特征无法突出，而出，而Fourier分析又无法标定各个分分析又无法标定各个分量发射的瞬时位置和持续时间；量发射的瞬时位置和持续时间；“最优描述最优描述”应该综合这两种描述的优点应该综合这两种描述的优点，并用一个离散的刻画来表示，以适应信，并用一个离散的刻画来表示，以适应信息理论和计算机处理的需要。息理论和计算机处理的需要。 Wigner分布函数分
12、布函数Wigner分布函数是信号时分布函数是信号时-频频分析的另一种具体的解决途径。信分析的另一种具体的解决途径。信号号f(x)的的Wigner分布函数是著名分布函数是著名理论物理学家理论物理学家E.P.Wigner在在1932年提出来的，定义是：年提出来的，定义是： RfdixfxfxW exp22,(24) 显然，这是一个实的二元函数显然，这是一个实的二元函数 。性质性质 22, RRRgfdxxgxfddxxWxW 22,xfdxWRf 2, FdxxWRf Wigner分布函数有如下性质分布函数有如下性质：(25)(26)(27)Wigner分布函数的物理意义分布函数的物理意义Wign
13、er分布函数的分布函数的Plancherel恒等式恒等式成立；成立；Wigner分布函数分布函数 标明信号的标明信号的瞬时频瞬时频率率的位置；的位置；Wigner分布函数分布函数 标明信号的标明信号的瞬时位瞬时位置置的频率。的频率。 , xWf在能量的意义下，在能量的意义下，Wigner分布函数的分布函数的物理意义是：物理意义是： , xWfWigner分布函数理论的局限分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限：分布函数的三个局限： Wigner分布函数分布函数 只记忆信号只记忆信号的部分信息；的部分信息；Wigner分布函数分布函数 没有有效没有有效的重建算法；的重建算法；Wigne
14、r分布函数分布函数 的的“瞬时瞬时”是渐近意义的。是渐近意义的。 , xWf , xWf , xWf2.3. 小波的时小波的时-频分析频分析(Wavelets Time- Frequency Analysis) 小波变换是一种时小波变换是一种时-频描述，它的信息记频描述，它的信息记忆是完全的，是一种等价的变换描述，具忆是完全的，是一种等价的变换描述，具有独特的时有独特的时频分析性质。引入记号：频分析性质。引入记号： RgdxgxgxE22(28)中心中心半径半径 21222 RggdxgxgEx(29)对于对于 ，如果满足条件，如果满足条件:窗口函数及说明窗口函数及说明则称之为窗口函数，则称之
15、为窗口函数， 和和 分别称为它的分别称为它的时间中心和时间半径，而时间中心和时间半径，而 和和 分别称为分别称为它的谱中心和谱半径。它的谱中心和谱半径。 RLxg2 Rdxxxg2gEg GEG 0221 gxgxg说明：中心和半径是下述分布的期望和均方差小波的时小波的时-频中心与半径频中心与半径 aEEaEbEbaba, aababa, 2.3.2.小波的时-频半径 2.3.1.小波的时小波的时-频中心频中心（29）（30）2.3.3. 小波的时小波的时- -频窗频窗 aaEaaEaaEbaaEbEEEEbabababababababa , + , , , , (32)Appendix B
16、Fig.2.小波在时小波在时- -频相平面上的窗频相平面上的窗t00t12t12.3.4. 小波的时小波的时- -频特性频特性小波时小波时-频窗的面积恒等于频窗的面积恒等于 ；小波的时小波的时-频窗是时频窗是时-频相平面中的可频相平面中的可变的矩形；变的矩形；小波时小波时-频窗的变化规律：频窗的变化规律： 4（1）尺度参数）尺度参数a增大时，小波的时窗变宽，增大时，小波的时窗变宽，同时，它的主频变低，频窗变窄；同时，它的主频变低，频窗变窄；（2）尺度参数）尺度参数a减小时，小波的时窗变窄，减小时，小波的时窗变窄，同时，它的主频变高，频窗变宽；同时，它的主频变高，频窗变宽； 小波的频率分辨率小波
17、的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率 22EaaE(33) 主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。 小波的频带特性小波的频带特性 (1)小波变换处理频域的方式完全不同于经小波变换处理频域的方式完全不同于经典的典的Fourier变换变换，任何小波本质上都，任何小波本质上都是以频带的形式出现在频域中，这样避是以频带的形式出现在频域中，这样避免了许多理论和计算上的麻烦；免了
18、许多理论和计算上的麻烦；(2)二进小波频域划分的特色：将参数二进小波频域划分的特色：将参数a按二按二进方式离散化为进方式离散化为kka 2 x E 3选择二进小波选择二进小波 满足满足二进小波二进小波 的主频是的主频是二进小波的分频特性二进小波的分频特性 xbk,2 kk23 212 , 2kk kkk212 , 2 , 0(34)所在的频带是所在的频带是当当k取遍全体整数时，这些频带正好分离覆取遍全体整数时，这些频带正好分离覆盖正频轴，即盖正频轴，即这就是著名的二进小波频带划分技术。这就是著名的二进小波频带划分技术。2.4. 正交小波的时正交小波的时-频分析频分析Orthonormal Wa
19、velets Time-Frequency Analysis对于正交小波对于正交小波 ， x kjjkjkxxf, (35) 2, , ; Zjkxjk 其中系数是其中系数是是一个标准正交基，所以，对于任何信号是一个标准正交基，所以，对于任何信号f(X)，可以展开成，可以展开成小波级数：小波级数： Rjkjkdxxxf, (36)正交小波的吸收谱正交小波的吸收谱jk, baWf, jkk 2 , 2由小波变换的定义可知，正交小波由小波变换的定义可知，正交小波级数的系数级数的系数 正好是信号正好是信号f(x)的小的小波变换波变换 在二进离散点：在二进离散点：(37)上的取值。这说明：对于正交小波
20、来说，任上的取值。这说明：对于正交小波来说，任何信号在二进离散点上的小波变换包含了它何信号在二进离散点上的小波变换包含了它的小波变换的全部信息，所以的小波变换的全部信息，所以正交小波具有优美的谱吸收特点正交小波具有优美的谱吸收特点。小波变换与小波变换与Fourier变换变换Fourier变换变换： 对于任何信号对于任何信号f(x)，只有当它是时间有，只有当它是时间有限时，它的谱限时，它的谱F( )(Fourier变换变换)才是才是频率吸收的；频率吸收的； 反过来，只有当它是频域有限时，反过来，只有当它是频域有限时，f(x)才是时间吸收的才是时间吸收的;小波变换小波变换: : 对于正交小波分析来
21、说，任何信号的正交对于正交小波分析来说，任何信号的正交小波谱都是谱吸收的，即二维小波谱所包小波谱都是谱吸收的，即二维小波谱所包含的信息完全被二进离散点上的谱吸收。含的信息完全被二进离散点上的谱吸收。一点评论一点评论正交小波变换谱的完全吸收性为小波变正交小波变换谱的完全吸收性为小波变换的理论分析、数值计算和各种应用提换的理论分析、数值计算和各种应用提供了极大的方便。同时，这些离散的小供了极大的方便。同时，这些离散的小波谱点，本质上意味着时波谱点，本质上意味着时-频分析中频谱频分析中频谱分析的频带（统计意义下的区间），因分析的频带（统计意义下的区间），因此，小波分析成功地实现了人们梦寐以此，小波分
22、析成功地实现了人们梦寐以求的求的“频带信息的点处理方式频带信息的点处理方式”；在在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空给出的二维小波谱空间，二进离散小波谱点的分布规律可以间，二进离散小波谱点的分布规律可以用用Appendix C Fig.3. 加以说明。加以说明。 Appendix C Fig.3.正交小波的点谱吸收特性正交小波的点谱吸收特性01234567891011121314150123456701230103. 正交小波和多分辨分析正交小波和多分辨分析(Orthonormal Wavelet and Multiresolution Analysis)多分辨分析多分辨分析： 上的一
23、列闭的线性子上的一列闭的线性子空间空间 和一个函数和一个函数 共同称为一共同称为一个多分辨分析，如果它们满足如下的五个个多分辨分析，如果它们满足如下的五个要求：要求： RL2 ZkVk ; x 3.1. 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis)多分辨分析多分辨分析 0 ZkkV RLVZkk2 12 kkVxfVxf2.唯一性公理：唯一性公理：3.稠密性公理：稠密性公理：4.伸缩性公理：伸缩性公理：(39)(40)(41)5.构造性公理：构造性公理： Zkkx ; (42)生成生成V0的标准正交基。其中的函数的标准正交基。其中的函数 称为称为尺度函数尺度函数(S
24、cale Function)。 x 1.单调性公理：单调性公理：1 kkVV(38)图像的多分辨分析图像的多分辨分析多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis)方法，方法，在计算机科学和信在计算机科学和信号处理中，特别是在图像分析中，通常号处理中，特别是在图像分析中，通常称为多尺度分析方法称为多尺度分析方法(Multiscale Analysis) ，在小波分析建立之前就，在小波分析建立之前就已经得到了一些理论研究和应用，这推已经得到了一些理论研究和应用，这推动了小波变换理论的产生和完善。实际动了小波变换理论的产生和完善。实际上，信号上，信号f(x)在子空间在子空间
25、Vk上的正交投上的正交投影影fk(x)是是 ZkjkjkkxCxf, 图像的多分辨分析（续）图像的多分辨分析（续）正交投影正交投影fk(x)正好是原象正好是原象f(x)在一定的分在一定的分辨率之下的模糊象，公式辨率之下的模糊象，公式(40)说明，当分辨率说明，当分辨率足够高时，模糊象和原象重合，即足够高时，模糊象和原象重合，即 xfxfkk 因此，对因此，对fk(x)的分析实际是对原象的多种的分析实际是对原象的多种分辨率的分析。多分辨分析的困难在于如何分辨率的分析。多分辨分析的困难在于如何从低分辨率的模糊象有效地添加恰当的细节，从低分辨率的模糊象有效地添加恰当的细节，得到正确的高分辨率下的模糊
26、象。这些问题得到正确的高分辨率下的模糊象。这些问题的研究都属于多分辨分析的范围。的研究都属于多分辨分析的范围。 3.2. 小波构造小波构造(Y.Meyer and S.Mallat, 1988)称之为尺度方程。系数列称之为尺度方程。系数列 叫低通滤波系数。叫低通滤波系数。 ZkVk ; x ZlZkhk2 ; Zkkkxhx22 ZlZkhk2 ; 如果如果 和函数和函数 是一个多分辨分是一个多分辨分析，那么，必然存在一列析，那么，必然存在一列 系数，使得系数，使得(43)构造定理构造定理(Y.Meyer and S.Mallat, 1988)令令 ， 并构造并构造 kkkhg 11Zk Zk
27、kkxgx22 (44) 是是L2(R)的标准正交的标准正交基基 2, ; Zjkxjk 则有如下结论则有如下结论:(45) 是是Vk在在Vk+1中的正交补中的正交补kkkWVV 1 ZjxSpanWjkk ; , 构造定理的延伸结果构造定理的延伸结果0 11 pVWWWVpkpkkkk， 01ppkkWV 02ppkkWVRL kkWRL2(46)(47)(49) (48)4. 多分辨分析和金字塔算法多分辨分析和金字塔算法(Multiresolution Analysis and Pyramid Algorithms)4.0. 记号记号 （Notation）： RmkmkRmkmkdxxxf
28、DdxxxfC, 分别表示信号的分别表示信号的趋势和波动趋势和波动或者或者模糊象和细节模糊象和细节(50)4.1. 小波分解算法小波分解算法(Decomposition Algorithms of Wavelet) ZmmkjmjkZmmkjmjkCgDChC,2,1,2,1(51)4.2. 小波重建算法小波重建算法(Reconstruction Algorithms of Wavelet) ZmmkmjmkmjjkDgChC, 12, 12,(52) 4.3. 金字塔算法金字塔算法(Pyramid Algorithms) ZmmkmkkZmmkmkkxDxgxCxf, (53) 引入记号引入
29、记号:它们的几何意义分别是原信号它们的几何意义分别是原信号 在在子空间子空间Vk和和WK上的正交投影，且它们是相互上的正交投影，且它们是相互正交的。由多分辨分析的意义可得正交的。由多分辨分析的意义可得 RLxf2 xgxfxfkkk 1(54)4.3.1. 分解金字塔算法分解金字塔算法(Decomposition Pyramid Algorithms)信号的分解信号的分解(Decomposition of Signal) 121 + + + + kkkk mk mf xfxfxfxfx 121 kkk mk mgxgxgxgx 空间的分解空间的分解空间的分解空间的分解(Decompositio
30、n of The Subspace) 1+21121mkmkkkmkmkkkkWWWWVVVVV 系数的分解系数的分解系数的分解系数的分解(Decomposition of The Coefficients) mkkkkmkHHkHkHkHkDDDDGGGGGCCCCC 3213214.3.2. 重建金字塔算法重建金字塔算法(Reconstruction Pyramid Algorithms)信号的重建信号的重建(Reconstruction of Signal) xxxgxxfxfxfxfxfmkmkkkmkmkkkk g g g + + + + 1+21121空间的重建空间的重建空间的重建
31、空间的重建(Reconstruction of Subspace) m121121 kmkkkmkmkkkkWWWWVVVVV系数的重建系数的重建mkkkmkHkHkHkDDDGGGCCCC 2121 系数的重建系数的重建(Reconstruction of The Coeffients)信号的小波分解和合成算法信号的小波分解和合成算法有限数字信号的高低通滤波器有限数字信号的高低通滤波器矩阵分解算法矩阵分解算法矩阵合成算法矩阵合成算法有限数字信号的小波变换编码有限数字信号的小波变换编码数字信号小波编码数据量关系数字信号小波编码数据量关系小波应用基本模式小波应用基本模式数字图像二维小波编码数字图
32、像二维小波编码数字图像二维小波重建数字图像二维小波重建数字图像的矩阵小波变换数字图像的矩阵小波变换5. .Malvar小波小波(H.S.Malvar 1987）（R.Coifman and Y.Meyer 1991)5.1 Malvar小波小波(H.S.Malvar 1987) 选择窗口函数选择窗口函数 满足如下要求：满足如下要求： x 3or xx 0 x xxx 2 , 10 x 122 xx 时时时时Malvar小波基构造小波基构造Malvar小波基是函数族小波基是函数族 ZlkorZlkxulk2 ,0 ,.,3 ,2 , 1 ; , 1,2,= , 12 2sin22 0=, 2 2
33、 , 2 , 1 , 2 2cos22,kZlxklxkZllxkZlxklxxulk (55)说明说明容易验证，上述函数族构成容易验证，上述函数族构成L2(R)的的标准正交基。一般称这个函数族的小波为标准正交基。一般称这个函数族的小波为Malvar小波。小波。Malvar小波和离散余弦变小波和离散余弦变换换(DCT)、离散正弦变换、离散正弦变换(DST)有许多相有许多相似之处，根本的差别在于，似之处，根本的差别在于，Malvar小波小波是真正局部化了的离散余弦变换和离散正是真正局部化了的离散余弦变换和离散正弦变换分析，同时，它还具有变换结果的弦变换分析，同时，它还具有变换结果的递推数值算法。
34、递推数值算法。 让人们惊奇的是，物理学家让人们惊奇的是，物理学家K.Wilson和和数学家数学家I.Daubechies也得到了极其相似的也得到了极其相似的结果。但是，他们两人和结果。但是，他们两人和Malvar的工作之间的工作之间并没有必然的逻辑的关系。并没有必然的逻辑的关系。K.Wilson的想法的想法是，对于实数轴的长度是是，对于实数轴的长度是2 的等长划分，按的等长划分，按照各个区间的奇偶变化，分别轮番使用离散照各个区间的奇偶变化，分别轮番使用离散余弦变换和离散正弦变换进行信号分析；余弦变换和离散正弦变换进行信号分析；I.Daubechies的想法是，不仅如此，而且的想法是，不仅如此，
35、而且必须加以局部化，局部化因子是同一个函数必须加以局部化，局部化因子是同一个函数 的的2 倍整数平移，只不过要求函数倍整数平移，只不过要求函数和它的和它的Fourier变换都是指数衰减的并使得前述函变换都是指数衰减的并使得前述函数族构成数族构成 的标准正交基的标准正交基 。 RL25.2 Malvar小波小波(R.Coifman and Y.Meyer 1991) 选择选择 和和 并构造窗口函数列并构造窗口函数列 满足满足: ,.3, 2, 1, 0 ; kAk ,.3, 2, 1, 0 ; 0 kk ,.3, 2, 1, 0 ; kxk 11101kkkkkkkkkAAlAAAAA 窗函数的
36、构造窗函数的构造 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAAxAAxxAxorAxxAxAx122111110 110实际上，函数实际上，函数 本质上是区间本质上是区间 的的特征函数的光滑化特征函数的光滑化 xk 1 , kkAAAppendix D Fig.4.窗函数的形状示意图窗函数的形状示意图Ak-1AkAk+1Ak+ kAk- kAk+1- k+1k(t)k-1(t)第一类第一类Malvar小波基小波基第一类第一类Malvar小波为：小波为： 0,1,2,= , ,21cos2,lZkAxllxlxukkkklk (56) 第二类第二类Malvar小波基小波基第二类第二类Malva
37、r小波基为小波基为 1,2,3,= , 12 sin2 0= , 2 11,2,3,= , 2 cos2,lZkAxllxlxulZkxlxulZkAxllxlxukkkklkkklkkkkklk (57) 6. 小波包小波包(Wavelet Packets)(R.Coifman and Y.Meyer and M.V.Wickerhauser 1992) 设设 和和 是一个多分辨分析且是一个多分辨分析且(43)和和(44)成立。记成立。记 ZkVk ; x xxxx 106.1 正交小波包正交小波包(Orthonormal Wavelet Packets)正交小波包的定义正交小波包的定义递推
38、定义的函数族递推定义的函数族 ,.3 , 2 , 1 , 0 ; mxm ZnmnmZnmnmnxgxnxhx2222122 ZnnxxSpankmknkmmk ; 222,; (58)(59)k是整数，是整数，m是自然数。是自然数。称之为小波包。引入记号称之为小波包。引入记号正交正交小波包定理小波包定理正交小波包定理正交小波包定理(Coifman and Meyer and Wickerhauser 92)空间构造空间构造 是是 的标准正交基的标准正交基空间关系空间关系 (60)特殊空间关系特殊空间关系 Znxnkm ; ,; mk 1221 mkmkmk122 mkmkkkV 0kkW 1
39、正交小波包的空间分割正交小波包的空间分割 小波包实现小波空间的再分割小波包实现小波空间的再分割120220120201222122726252423121111. kkkklllllklklklkkkkkkkkkW6.2小波包和时小波包和时- -频分析频分析(Wavelet Packets andits Time-Frequency Analysis)利用正交小波的构造定理可知，子空间利用正交小波的构造定理可知，子空间Wk是是Vk在在Vk+1中的正交补：中的正交补： kkkWVV 1同时，根据小波的时同时，根据小波的时-频分析特性，可得下列频分析特性，可得下列关系关系: WGkkkk2212
40、,VHkkk0 , 22正交小波实现有限频带的二进分割正交小波实现有限频带的二进分割 1111212 ,22 , 02 , 0 kpklllpkkpkkpkkWWVV 11212 ,22 , 0 klllklklkWV正交小波实现全频域的二进分割正交小波实现全频域的二进分割 111022,22,0,0 klllkppkkWVRL kkkkkWRL122 ,2 , 0正交小波包对二进频带的等分割正交小波包对二进频带的等分割 120122212211112,122 ,22,1llllllnkklklklklkklkklkkknlknlGGWnnnlG（62）Appendix E Fig.5.小波包
41、的完全频带分割特性小波包的完全频带分割特性0123456789101112131415012345670123010小波包的小波包的Mallat算法算法数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解数字图像的小波包分解数字图像的小波包分解Appendix F Fig.6.图片的小波包分解示意图图片的小波包分解示意图7. 总结和展望总结和展望将前述小波工具归纳如下：将前述小波工具归纳如下： 连续小波变换分析法连续小波变换分析法二进小波变换分析法二进小波变换分析法;正交小波变换分析法正交小波变换分析法;Malvar类小波分析法类小波分析法;小波包频域再分割法小波包
42、频域再分割法 。最后的几点说明（一）最后的几点说明（一）1.上述工具中，前三种即连续、二进和正上述工具中，前三种即连续、二进和正交小波分析，从分析和处理问题的过程交小波分析，从分析和处理问题的过程 来看，与来看，与Fourier分析颇为相似，不过分析颇为相似，不过 在某些方面更加优越，比如，正交小波在某些方面更加优越，比如，正交小波 本身具备的多分辨率分析的含义以及连本身具备的多分辨率分析的含义以及连 续频带续频带“点点”吸收的二进离散化技巧等吸收的二进离散化技巧等等但因为它与等但因为它与Fourier分析比较相似，分析比较相似，所以在应用中使用得就比后面的两种方所以在应用中使用得就比后面的两
43、种方法要多得多；法要多得多； 2.Malvar类小波分析完全有别于经典的类小波分析完全有别于经典的 Fourier分析，真正实现严格意义下的局部分析，真正实现严格意义下的局部化，而且，频率也是严格意义下的化，而且，频率也是严格意义下的Fourier频率或经典的线性频率，同时，它还具有快频率或经典的线性频率，同时，它还具有快速的递推算法。从理论上突破了统计局部化速的递推算法。从理论上突破了统计局部化以及时以及时- -频分析的非线性频率含义，数值计频分析的非线性频率含义，数值计算的快速算法又奠定了数字信号处理的计算算的快速算法又奠定了数字信号处理的计算基础。因此，基础。因此，Malvar类小波分析
44、为数字信类小波分析为数字信号的分析和处理提供了崭新的分析工具号的分析和处理提供了崭新的分析工具, , 特特别是在信号的最优描述的搜索算法方面，别是在信号的最优描述的搜索算法方面，Malvar小波分析提供了最优算法；小波分析提供了最优算法；最后的几点说明（二）最后的几点说明（二）3. 小波包工具可以认为是小波分析独创地小波包工具可以认为是小波分析独创地为科学研究和工程技术应用研究提供的为科学研究和工程技术应用研究提供的让人颇感意外的新鲜工具，它那种统计让人颇感意外的新鲜工具，它那种统计意义下和严格意义下的频域再分割的巧意义下和严格意义下的频域再分割的巧妙思想和优美的递推计算方法，让人们妙思想和优美的递推计算方法，让人们几乎不敢相信几乎不敢相信 同时，理解和使用起来同时，理解和使用起来也更加困难。这正是小波包分析现在使也更加困难。这正是小波包分析现在使用得比较少的主要原因。用得比较少的主要原因。 完完最后的几点说明（三）最后的几点说明（三）
