1、达州市普通高中 2022届第二次诊断性测试文科数学参考答案说明：本解答给出了一种或几种解法供参考。一、选择题：1. D 2. C 3. B 4.C 5. B 6.C 7.C 8. A 9. B 10. A 11.D 12.B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分139 14 x 或者 x3 或者 2x 等（符合条件均可） 156 16 2三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：(1) 平均数为 x = 50.1+150.2 + 250.1+350.4 + 450.2 = 29 (2)由题意，重点关注路口共有6 个，其中违章车次在(30, 40有
2、 4 个，记为A ，1A ，2A ，3A ，违章车次在(40, 50有 2 个记为4B ，1B ，2则抽取路口情况为：(A , A )，(A , A ) ，(A , A )，(A ,B ) ，(A ,B ) ，(A , A ) ，1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 2 3(A , A ) ，(A ,B ) ，(A ,B )，(A , A ) ，(A , B ) ，(A , B ) ，(A , B )，(A , B ) ，2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2(B , B )，共15种情况， 其中一个在(30, 40，一个在(40, 50中的共8种，1 2设“抽出来的
3、路口中有且仅有一个违章车次在(40, 50抽出来的路口中有且仅有一个违章8车次在(40, 50”为事件C ，则 P C = ( )158所以所求概率为.1518(1)证明：取 B C 的中点为 E ，连接 A E ，CE .1 1 1 ABC A B C 为正三棱柱， E 为 A E 平面 B C 的中点，1 1 1 1 1 1 E 为 B C 的中点， D 为 BB 的中点，1 1 1CC E C B D ，ECC = DC B ，1 1 1 1 1 1CE DC ，CE I A E = E ，1 1 DC 平面 A CE ， DC AC .1 1 1 1B BCC ，1 1A E DC .
4、1ACC A 为正方形， AC AC ，1 1 1 1AC IC D = C ，AC 平面AC D .1 1 1 1 1(2) 解：多面体的体积为：3 1 1V =V V = + = = .4 2 (1 2) 2 3 2 3 3 3 ABC A B C A BCC D4 3 2 1 1 1 119解： (1) a +1 = a + 2，n na = ,1 1数列a 是首项是1，公差为 2 的等差数列. a =1+ (n 1)2 = 2n 1.n n(2)b = (1)n S = (1)n n2 . T = 12 + 22 32 + 42 +L+ (1)n n2 .n n n文科数学答案 第 1
5、 页(共 4 页)100(100+1) = + + +L + = + + + L+ = = .T 12 22 32 42 992 1002 1 2 3 4 100 50501002 =a 2， a 2， =20.解：(1) 设椭圆C 的焦距为 2c ，由题意得 = c 3, , = b 1a 2x2+ y2 =1.椭圆的标准方程为4(2)设过点 A(2，0) 的直线l 的方程为 x = my + 2 ，设2M (x , y ) ，1 1N(x , y )2 2 = +x my联立的 y = 8x22, 得 y2 8my 16 = 0,y1 + y2 = 8m , y1 y2 =16 , MN
6、= 1+ m2 (y + y )2 4y y = 8(1+ m2 ) ,1 2 1 2过点 A(2，0) 的直线l 的方程为 y = m(x 2) ，1 = ( 2)y m x联立的 2, 得(1+ 4m2 )x2 16m2 x +16m2 4 = 0, x + 2 =y 1 4 16m2 2(4m 1) 4 x + 2 = , 故 x = , AP = 1+ m2 | x x |= 1+ m2 1 4m 1 4m 4m 12,P + P + A P +2 2 21 16(1+ m2 ) 16t 2 1+ m2 = t ,则3 S = | MN | AP |= 1+ m , 令 S = f (
7、t) =MNP + 2 2 ，MNP2 4m 1 4t 316(4 9 ) 16 (4 9) 16 (2 3)(2 3)t4 t2 t2 t2 t2 t + t = = =f (t)(4t 3) (4t 3) (4t 3)2 2 2 2 2 23 5,t = ,也即 m = 时，MNP 2 2316( )33 2面积最小， 此时 .S = f ( ) = = 9MNP32 4( ) 322x = 2 + t cos,(2)另解：由(1)知，点 A 的坐标为(2, 0) ，设直线 MN 的方程为 = y t sin(0 )， = + + x = 2 t sin, x 2 t cos( 90 ),
8、则直线 PA 的方程为 =，即y t cos. y t = sin( + 90 ) 分别设点 M ，N ，P 对应的参数分别为 t ，t 将 x = 2 + t cos ，y = t sin 代入 y2 = 8xt ，1 2 3并化简得t2 sin2 8t cos 16 = 0 = (8 cos)2 + 416sin2 = 64 ， 8| MN |=| t t |= = 1 2 2 2sin sin x2将 x = 2 t sin ， y = t cos 代入 + = 并化简得t(1+ 3cos2 )t 4sin = 0 ，y2 14 4sin| PA|=| t |= 3 21+ 3cos 1
9、 16 16 S = | MN | PA|= =MNP 2 + 3 +2 3sin cos sin 3sin 4 sin文科数学答案 第 2 页(共 4 页)设 f (x) = 3x3 + 4x ，则 f (x) = 9(x + 2)(x 2) 当0 2 0， f (x) 单调递x3 3 32 2 16增；当 x 1 ( ) ( ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减， f x = f = max3 3 916所以 S = 9 的最小值为MNP16921. 解： (1)设曲线上满足条件的切点为(x , y ) .0 0 f (x) = ex 2, f (x ) = ex 2 = 1
10、, x = ，0 000所以所求切线方程为 y = x +1, 即 x + y 1= 0 y = ,0 11 m 3 1 m 32 2(2)设 g(x) = f (x) x + = e x +mx + ,2 x 22 2 2 2 2 2则 g(x) = ex x+m, 令 h(x) = ex x+m, h(x) = ex 1, x(0,+) , h(x)0 , g(x) = ex x+m在 x(0,+) 为单增函数, g(0) = e0 0+m = m+1, m +1 0 ， g(0) 0，则存在 x + 使得0 (0, )当 x(0, x )时， g(x) 0， g(x) 单调递增.x x
11、+ 时， g(x) 0， g(x) 单调递增.0g x = .( ) 00x 1 m 3 x 1 32g(x) = e x +mx + = e (x m) + 0 . 又2 20 0min 0 0 02 2 2 2 2g(x ) = ex x +m = 0 , 即 x m = 代入上式,x0 e0 00 0x 满足0g x = ，即( ) 000 1 0 2 3ex (ex ) + 0, (ex 3)(ex +1)0.(ex0 )2 2ex0 30 即0 02 2ex 3 也 即 x0 x ln3 又 m = x , 令 u(x) = x ex (x(0, ln 3) , 则 0 e0 00u
12、(x) =1 ex 0,则u(x) = x ex 在 x(0, ln 3上为减函数，u(x)u(ln 3) = ln33. ln33 m 1.综上所述， m 的范围为ln 33,1) .(2)另解：由 f (x) = ex + mx ，1 m 32f x x2 + 得(m x)2 2ex + 3，( )2 2 2 x 2ex + 3 m x + 2ex + 3 由于 y = x + 2ex + 3 是区间0,+) 上的增函数，所以 m 5 ymin = y |x=0 = 5 设 g(x) = x 2ex + 3 ，则 =g (x)2e + 3 ex x2e + 3xe (1 2e 3)x x
13、+令 h(x) = 2ex + 3 ex ，则 ( ) = ，当 x0 时 ，h(x) 0 ，h(x) 单调递减由h x2e + 3xh x = 得 x = ln3当0 x 0，g(x) 0，g(x) 单调递增；当 x ln3时，( ) 0h x ，g(x) 0，g(x) 单调递减所以当 x0 时，g x = g = 即m( ) 0 ( ) (ln 3) ln 3 3maxln33因 m 1，所以实数 m 的范围为ln 33,1) .22. 解：(1)曲线C 的普通方程为 x2 + y2 = 4 ，文科数学答案 第 3 页(共 4 页)l 的普通方程为 x y +1= 0 = +1 xx ,0
14、2(2)当t = 0时， M (1, 0) ，设 P(x, y) ，N(x , y )，则 +0 00 y =y 0. 2将 0 2 1 0 2 0 0 4x = x + ， y = y 代入 x 2 + y 2 = 得(2x +1)2 +(2y)2 = 41 4x2 + 4y2 + 4x +1= 4 ， x2 + y2 + x + =1.41 3 1 cos将 x2 + y2 = 2 ， x = cos 代入 x2 + y2 + x + = ，得 2 + = ，4 4 42 + 4 cos 3 = 0.所以点 P 的轨迹的极坐标方程为23. (1)解：Q | x 4 | + | x + 2 | x + 2 x + 4 |= 6 ， f (x) 的最小值为6 .(2)证明：Q正数 x ， y ， z 满足3x + 2y + z = 2 ，3(x +1) + 2(y + 2) + (z +3) =12，由柯西不等式可得3( 1) 2( 2) ( 3)( 3 2 1 ) (3 2 1)2 36x + + y + + z + + + + + = .x +1 y + 2 z + 3所以，3 2 1 36+ + = 3.x +1 y + 2 z +3 12文科数学答案 第 4 页(共 4 页)
