1、 第 1 页 共 4 页 合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学(理科) 合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学(理科) 参考答案及评分标准 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1 14.31 15.0 2 2， 16.3010 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 解：13nnSa， 当1n 时，123aa，24a ；当2n 时，13nnS
2、a. 得，12nnaa. 又2142aa，数列 na是从第2项起的等比数列，即当2n时，2222nnnaa. 1 122.nnnan， 5分 若选择：2211111122 211212212121222121nnnnnnnnnnnnacaa， 223111111112 12 12212121212121nnnnT. 若选择：122nnnc，则23134212222nnnnnT，31422213412222nnnnnT， 得，321214112131311124222422422nnnnnnnT， 14222nnnT. 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：(1)证
3、明: 3PMB，PMBM，PMB为等边三角形， PBPMPCBMBC. 取线段CM的中点O，连结BOPO， BOCM，POCM. 又2CBMCPM ，1222BOPOCMPB， 222BOPOPB，2POB， 又CMBOO，PO平面ABCD. PO 平面PMC，平面PMC 平面AMCD.5分 (2)由(1)知，OPCMOB，相互垂直， 以O为坐标原点，OCOBOP，所在的直线分别为xyz， ，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设22 2ABAD，则2CM ，1POBO，连结DM，则DMCM，且2DM ， 0 0 1P，1 0 0C ，1 2 0D ，01 0B， ， 题号 1 2 3 4 5
4、6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C B B D C D C B C 第 2 页 共 4 页 1 01PC ，1 21PD ，1 1 0ADBC ，. 设nxyz， ，为平面PAD的一个法向量，则00n PDn AD ，即200.xyzxy ， 令1x ，则13yz ，113n ， ， 42 22cos 11211PC nPC nPCn ， 直线PC与平面PAD所成角的正弦值为2 2211. 12分 19.(本小题满分12分) 19.(本小题满分12分) 解：(1) 2P Ap pp； 4分 (2) 若信道1和信道2都传输成功，则121UUX，由“异或”运算性质得，121UU
5、X. 因为信号2U已知，由121UUX可以解出1U，此时信息1U被成功解码的概率为2p； 若信道1 传输成功、信道2 传输失败，则信号2U缺失.由121UUX解不出1U，此时信息1U解码失败； 若信道1 传输失败、信道2 传输成功，则信号1X缺失.由121UUX解不出1U，此时信号1U解码失败； 若信道1、信道2都传输失败，则信号1X及2U都缺失.由121UUX解不出1U，此时信息1U解码失败； 综上可得，信号1U被成功解码的概率为2p. 8分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭圆的短轴端点时，FAM的面积取得
6、最大值，此时12FAMSac b， 1=2ac b3 32，3 3ac b. 由离心率12ca得2ac，3bc，解得1c ，2a ，3b ， 椭圆C的标准方程为22143xy. 5分 (2)设M(11xy，)，N(22xy，).由221143ykxxy得2234880kxkx. 点(0，1)在这个椭圆内部，所以0 ，122843kxxk ，122843x xk ， 212122286224343kyyk xxkk ，点P的坐标为2243 4343kkk，. 当0k 时，直线OP的斜率为34k，直线OP的方程为34yxk ，即43kxy . 将直线OP的方程代入椭圆方程得22943Dyk，222
7、1643Dkxk. 设点43kQyy，. 由2OP OQOD 得22222443169343434343kkkyykkkk ， 第 3 页 共 4 页 化简得2222169169433 43kkykk，3y，点Q在直线3y上. 当直线l的斜率0k 时，此时P(0，1)，D(0 3，). 由2OP OQOD 得Q(0，3)，也满足条件. 综上所述，点Q在直线3y上 . 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：(1)函数 f x的定义域为R，且 esinexfxx. 当0 x 时， esine1 sine0 xfxxx ； 当0 x 时， 令 esinexh xfxx，
8、 则 ecos0 xhxx， h x在0，上单调递增. 又 01 e0h ， ee0h，00 x，使得00h x，即00esine0 xx. 当00 xx时， 0fx；当0 xx时， 0fx. 函数 f x在0 x，上单调递减，在0 x ，上单调递增， f x只有一个极小值点0 x，无极大值点. 5分 (2)由(1)知，函数 fx在0，上单调递增，00fx，且 31222sin1111.6 11022feeeee ee ， 02x，函数 f x在00 x，上单调递减，在0 x，上单调递增. 不妨设12xx，则1020 xxx， 要证12002xxffx，即证1202xxx，只要证2012xxx
9、. 100 xx，001022xxxx. 又 f x在0 x，上单调递增， 要证2012f xfxx，即证1012f xfxx. 令 02F xf xfxx(00 xx)， 02002esineesin 2exxxFxfxfxxxxx . 令 g xFx，则 020ecosecos 2xxxgxxxx. 令 xgx，则 020esinesin 20 xxxxxxx(002xx)， x在00 x，上单调递增， 00 xx， g x在00 x，上单调递减， 000022sin220 xg xg xexeh x， F x在00 x，上单调递增， 00F xF x，即1202xxf.12分 22.(本
10、小题满分10分) 22.(本小题满分10分) 解：(1)由1212xtyt ，(t为参数)得2xy， 直线l的极坐标方程为cossin2. 由2cos2a得2cos2a，2222222cossincossinaa， 22xya， 曲线C的直角坐标方程为22xya.5分 第 4 页 共 4 页 (2)直线l的极坐标方程为cos + sin2 ，将=4代入直线l的极坐标方程得2， 点M的极坐标为2 4，. 将6代入曲线C的极坐标方程2cos2a得1222aa ， 122 2ABa. AMBM，且O为线段AB的中点， 122OMABa，即22a ， 1a .10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 解：(1)依题意得， 34 22122134 1.xxf xxxxxxx ， 当且仅当1x 时， f x取得最小值1，即 f x的最小值1m .5分 (2)由(1)知，22abcm， 2224abcabc(当且仅当ab时等号成立)， 22422abcababc 223333223 43 4 26ababcabc， 当且仅当22abc，即12abc，时等号成立， 22abc的最小值为6. 10分
