1、达州市普通高中 2022 届第二次诊断性测试理科数学参考答案说明：本解答给出了一种或几种解法供参考。一、选择题：1. D 2. C 3.A 4.C 5.D 6.C 7. C 8. B 9.A 10.D 11.B 12. B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 -21 14 x 或者 x3 或者 2x 等（符合条件均可） 15-15 16三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解： (1) 平均数为 x = 50.1+150.2+ 250.1+350.4+ 450.2 = 29 (2) 由题知随机变量 X 可能取值为0，1， 2 .C 13P(
2、X = 0) = = ,4C 536X 的分布列为：C C 31 2P(X =1) = 2 4 = ,C 536C C 12 1P(X = 2) = 2 4 = C 536X 0 1 2P153515 1 3 1 E(X ) = 0 +1 + 2 =1 5 5 518解：(1)a +1 = a +2， a1 =1， 数列a 是首项是1，公差为 2 的等差数列，n n n a =1+ (n -1)2 = 2n -1n(2)b = (-1)n S = (-1)n n ，T = -12 + 22 -32 + 42 +L+ (-1)n n2 2n n nn(n +1)当n为奇数时，T = -12 +
3、22 -32 + 42 +L- n2 = -1- 2 -3- 4 -L- n = - n2n(n +1) 1 n+1T -mn2 0恒成立， 2- mn ，m - (n =1,3,5, 7L) 恒成立. n2 2 n 1 n +1 - -1,m -1，故m的取值范围为(-,-1). 2 n19(1)证明：取 MA的中点O，分别连接 DO ， BOADM 为等边三角形 OD MA， BD MA， BDIDO = D AM 平面 BDO BO 平面 BDO，OB MA，O为 MA的中点， BM = BA(2)解： BM BA且 BM = BA，O为 MA的中点. AO = OB =1，OD = 3
4、， BD = 2，OD2 +OB2 = BD2 ，OD OB.由(1)知，OD OA，OB OA.如图，以O为原点，OA，OD ，OB 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系则 B(0, 0,1)，A(1,0,0)，D(0, 3,0)，M(-1,0,0). BC = AD = (-1, 3,0)，BM = (-1,0,-1)，设平面 BMC 的一个法向量为 n ，1 = (x1, y1,z1)理科数学答案 第 1页(共 4 页) = - + =BC n 0， x 3y 0, uuuur1即 1 1 BM n = 0. -x - z = 0. 11 1CzB不妨取 y
5、1 =1，得 n1 = ( 3,1,- 3) DC = AB = (-1, 0,1) ， DM = (-1,- 3,0).设平面 DMC的一个法向量为 2 = (x2, y2, z2)n .yDAx =DC n 0, -x + z = 0, 2 2 uuuur2即 = 0. DM n -x - 3y = 0. 2 2 22 2MO不妨取n n -3+1+ 3 1y = ,得2 1 n . cos = 1 2 = =2 = (- 3,1,- 3)1 2| n | n | 7 7 71 2,4 3二面角 B-MC - D的正弦值为 .7x y20解：(1)由题意，直线l 的方程为 + =1，即bx
6、+ay -ab = 0a bab +a b2 2根据条件得 =b 1.a 2=2 55, a = 2，b =1 所以椭圆的标准方程为x24+ y2 =1(2)设过点 A( 2，0) 的直线l 的方程为 x = my + 2，设M(x , y )，1 1N(x , y ).2 2x = my +由方程组y = 8x.22,得 y2 -8my -16 = 0 .y1 + y2 = 8m ,y y = - .1 2 16| MN |= 1+ m2 (y + y )2 -4y y = 8(1+ m2 ).1 2 1 2过点 A( 2，0) 且与直线l垂直的直线设为 y = -m(x - 2) ，设点
7、P 的横坐标为x .Py = -m(x - 2),联立的 2 x+ y =1.2 4得(1+ 4m2)x2 -16m2x +16m2 - 4 = 0 .16m 2(4m -1) 42 2 x + 2 = ， 故 x = | AP |= 1+ m | 2 - x |= 1+ m 2 21+ 4m 1+ 4m 4m +12 2 2P p P21 16(1+ m )S MN AP m = | | |= 1+2PMN22 4m +116t3S = f (t) =令 1+ m = t （t1），则 ， 2 MNP24t -316(4t -9t ) 16t (4t -9) 16t (2t +3)(2t -
8、3)4 2 2 2 2 f (t) = = =(4t -3) (4t -3) (4t -3)2 2 2 2 2 2316( )33 5 3 2当t = 即 m = 时，MNP 面积最小， 此时 S = f ( ) = = 9 .MNP32 2 2 4( ) 32-2(2)另解：由(1)知，点 A 的坐标为(2, 0) ，设直线 MN 的方程为x = 2+t cosa,(0 a ) ，y = t sina理科数学答案 第 2页(共 4 页)x = 2 + t cos(a + 90 ),o则直线 PA 的方程为oy = t sin(a + 90 )x = 2-t sina,，即y = t cosa
9、.分别设点 M ，N ，P 对应的参数分别为并化简得t2 sin2 a -8t cosa -16 = 0 D = (-8 cosa)2 + 416 sin2 a = 64 ，t ，t ，t 将 x = 2+t cosa ，y = t sina 代入 y2 = 8x1 2 3D 8| MN |=| t -t |= = 1 2 2 2sin a sin ax2将 x = 2-tsina ， y = t cosa 代入 + y2 =1并化简得t(1+3cos2 a)t - 4sina = 0 ，4 4 sina| PA|=| t |= 3 21+ 3cos a1 16 16 S = | MN | P
10、A|= = MNP2 32 3sina cos a + sina -3sin a + 4 sina 2 2 2设 f (x) = -3x3 + 4x ，则 f (x) = -9(x + )(x - ) 当 0 x 0 ， f (x) 单调递 3 3 32 2 16增；当 x1时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减， f (x) = f ( ) = max3 3 9 16所以 S 的最小值为 = 9 MNP16921. 解：(1)设曲线 y = f (x) 上的斜率为2的切线方程的切点为(x , y ) ,0 0 f (x) = ex +1,f (x ) = e +1= 2 , x0 =
11、 0 ，x00y0 =1,所以切线方程为 y -1= 2(x -0) ,即2x - y +1= 0 .1 m 3 1 m 32 2(2)设 g(x) = f (x) - x - + = e - x +mx - + ,2 x 22 2 2 2 2 2则 g(x) = ex - x+m , 令h(x) = ex - x+m , h(x) = ex -1, x(0,+), h(x)0 , g(x) = ex - x+m 在 x(0,+)为单增函数.5-m2又 g(0) = e0 -0+m = m +1 ， g(0) = ，2当 m+10，即 m-1时， g(0)0 ， g(x)0对 x(0,+)恒成
12、立.5- m2 g(0) = 0 , - 5 m 5 , 即m 的范围为 -1m 5 .2当 m+1 0 ，即 m -1时， g(0) 0 ，则存在x0 (0,+)使得g (x ) = 0.0当x(0, x )时， g(x) 0， g(x) 单调递增.0x 1 m 3 x 1 32g(x) = e - x +mx - + = e - (x -m) + 0.2 2 0 0min 0 0 02 2 2 2 2又 x 满足 g(x ) = 0 ，即 g(x ) = e - x +m = 0 , 即 0 ex xx -m = 代入上式,0 0 0 0 0 00 1 0 2 3ex - (ex ) +
13、0,(ex0 )2 -2ex0 -3 0 即(ex -3)(ex +1)0.0 02 2ex 3 也即0 x ln300理科数学答案 第 3页(共 4 页)又m = x0 -ex ,令u(x) = x -ex (x(0,ln 3),则u (x) =1-ex 0 ,0则u(x) = x -ex 在 x(0, ln 3上为减函数，u(x)u(ln 3) = ln3-3,此时ln3-3m -1.综上所述，实数m 的范围为ln 3-3, 5.(2)另解：由 f (x) = ex + mx ，1 m 32f (x) x2 + - 得(m - x)2 2ex +3，2 2 2 x - 2ex +3m x
14、+ 2ex +3 由于 y = x + 2ex + 3 是区间0,+) 上的增函数，所以 m 5 ymin y |x 0 5= = =设 g(x) = x - 2ex +3 ，则g(x) =2e + 3 - ex x2e + 3x令 h(x) = 2ex +3 -ex ，则h(x) =e (1- 2e + 3)x x2e + 3x，当 x0时 ，h(x) 0 ，h(x) 单调递减由h(x) = 0得 x = ln3当0 x 0， g(x) 0， g(x) 单调递增；当 x ln 3时， h(x) 0 ， g(x) 0 ， g(x) 单调递减所以当 x0 时，m ln3-3g(x) = g(ln
15、 3) = ln3-3 即max综上所述，实数m 的范围为ln 3-3, 5.22. 解：(1)曲线C 为 x2 + y2 = 4 ，l的方程为 x - y +1= 0 (2)当t = 0时， M (-1, 0) ，设 P(x, y) ，N x y ，则( , )0 0x = =y-1+x0.20 +y02,将 x0 = 2x +1，y = y 代入 02 02 4x + y = 得(2x +1) +(2y) = 42 20 21 4x2 + 4y2 + 4x +1= 4 ， x2 + y2 + x + =1.4 1 3将 x2 + y2 = r2 ， x = r cosq 代入 x2 + y
16、2 + x + =1，得 r2 + r cosq = ， 4 4所以点 P 的轨迹的极坐标方程为 4r + 4r cosq -3 = 0.223. (1)解：Q | x - 4 | + | x + 2 | x + 2 - x + 4 |= 6 ， f (x) 的最小值为6 .(2)证明：Q正数 x， y ， z 满足3x+2y + z = 2，3(x+1)+2(y +2)+(z +3) =12，3 2 1由柯西不等式可得3(x +1) + 2(y + 2) +(z +3)( + + ) (3+ 2 +1) 2 = 36 . x +1 y + 2 z + 3当且仅当(x +1) :(y + 2) :(z + 3) =1:1:1时等号成立,所以，3 2 1 36+ + = 3.x+1 y +2 z +3 12理科数学答案 第 4页(共 4 页)
