1、梅州市高三总复习质检试题（2022.4）数学参考答案与评分意见一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8D D B A A D C B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9 10 11 12BD BCD ABC ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. -2 2 14.183515.143316. 12四、解答题：本题共 6 小题，共
2、70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）解:（1）依题意，由余弦定理得:BC2 = DB2 + DC2 -2DBDC cosBDC .2 分1= 4+9-12 = 7, .3 分2解得： BC = 7. .4 分（2）依题意，由正弦定理得:BC DB=sin BDC sin DCB ，.5 分32DBsin BDC 2 21所以sinDCB = = = . .6 分BC 7 7因为 DB 0 ，即 ex 2 ，解得 x ln 2 ， .2 分令 f (x) 0 ，即 ex 2 解得 x ln 2 ， .3 分综上所述， f (x) 的单调递减区间为 (-
3、,ln 2) ，单调递增区间为 (ln 2,+). .5 分p（2）令 g(x) e 2x cos x, x ( ,0)= x - - - ， g(x) = ex + sin x - 2 ， .7 分2p - 时， g(x) = (e -1) + (sin x -1) g(0) = 0 ， .10 分p所以函数 g(x) 在 ( , 0)- 上无零点 .11 分2p即方程 f (x) = cos x 在 (- ,0) 上无实根 .12 分2第 3 页 共 7 页20. (本小题满分 12 分)（1）证明: 因为四边形 ABCD 是直角梯形, E, F 分别是的 AD, BC 中点,所以 AB
4、/ /EF / /CD, EF AE, EF DE, .2 分又 AE I DE = E, EF 平面 AED, .3 分AD 平面 AED,所以 EF AD. .4 分（2）由(1)可知CD 平面 AEDCD AD , RtDADC 中,AD = AC2 -CD2 = 24 -16 = 2 2, .5 分又 AE = ED = 2,所以 AE2 + ED2 = AD2 , 即 AE DE. .6 分所以 EF ED, EF EA, EA ED.以 E 为原点，分别以 ED, EF, EA所在直线作 x, y, z 轴，建立如图的空间直角坐标系：则3F(0, 3, 0), A(0, 0, 2)
5、,C(2, 4, 0),Q(0, , 0). .7 分2设 P(x, y, z), AP = l AC,l 0,1,所以 (x, y, z - 2) = l(2, 4,-2), .8 分得: x = 2l, y = 4l, z = 2 - 2l. .9 分2 2 3 2 2| PQ | = (2l) + (4l - ) + (2 - 2l) .10 分22 25= 24l - 20l +45 25= 24(l - ) + . .11 分212 12第 4 页 共 7 页l = 时,有| PQ |最小值 5 35则当126. .12 分所以线段 PQ 长的最小值为 5 36.21.（本小题满分
6、12 分）解：（1）设动点 P(x, y) ，由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F( 0,1) 为焦点，直线l : y = -1为准线的抛物线， . 2 分所以动点 P 的轨迹方程为 x2 = 4y . .3 分x x2 2（2）解法一：依题可设Q(x - ). .4 分, 1) , A(x , 1 ),B(x , 2 0 1 24 41由 x2 = 4y,即： 2y = x ，4x求导得： y = , .5 分2x x所以切线QA,QB的斜率分别是 .k = 1 = .6 分,k 2 1 22 2x x2所以QA的方程是 ( ),y - 1 = 1 x - x14 2x x2点Q(x ,
7、1) 的坐标代入,得： ( - ), 1 - x x - =0 - -1- 1 = x x 即 x 2 4 0. .7 分1 20 1 0 14 2同理可得 x2 - 2x x - 4 = 0. .8 分20 2于是x1,x 是方程 x2 - 2x x - 4 = 0的两根.2 0所以x1 + x2 = 2x0 , x1x2 = -4. .9 分由x + x = x ，1 2 2 0x + x得 1 22= 即： MQ l. .10 分x0 ,由x xx x = - ， k k = 1 g 2 = - ，1 2 4 1 2 12 2第 5 页 共 7 页所以QA QB，即：点Q在圆 M 上.
8、.11 分所以直线 l 和圆 M 相切. .12 分Q(x ,-1), A(x , y ),B(x , y ). 则 12 4 1, 22 4 2.x = y x = y .4 分 （2）解法二：依题可设0 1 1 2 21 x由 x2 = 4y,即： y = x2 ，求导得： y = , .5 分4 2x x所以切线QA,QB的斜率分别是 .k = 1 , = .6 分k 2 1 22 2所以直线QA的方程是1y - y = x (x - x ), 即1 1 12x x - y - y =1 2 2 1 0,同理可得直线QB 的方程是x x - y - y = .7分2 2 2 2 0.点Q
9、(x0 ,-1) 的坐标代入,得：x x -2y + 2 = 0,0 1 1x x -2y + 2 = 0.0 2 2于是直线 AB 的方程是x x - y + = .8 分0 2 2 0.令 x = 0得 y =1.所以直线 AB 过焦点 F(0,1).又由x x -2y + 2 = 0,0x = 4y2得y -(x + 2)y +1= 0， .9 分2 20所以y + y = x +1 2 0 2,2| AB |= y + y + 2 = x + 4. .10 分2有定义得1 2 0而点 M 到直线l 的距离为：y + y x + 2 1 12d 1 2 0 x AB= +1= +1= (
10、 + 4) = | |. .11 分202 2 2 2所以直线 l 和以 AB 为直径的圆 M 相切. .12 分22. (本小题满分 12 分)解：（1）设感染率为 p ，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量 X 表示这10个人一共所需的检验次数. .1 分第 6 页 共 7 页若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1， X =1：若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时X =11， .2 分且P(X =1) = (1- p) , P(X =11) =1-(1- p) . .4 分10 10于是平均检测次数是E(X) =1(1- p) +111-(1- p) =11-10(1- p) . .6 分10 10 10这10个人一共所需平均检测次数是11-10(1- p) . .8 分10（2）病毒感染率为万分之一，即p =10- ，于是采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需4要进行检测的平均次数大约为：10000011-10(1-10 ) 110000-1000000.999 =10100. .10 分-4 1010即进行“10合1混采检测”方案，10万人估计需要的检测次数为10100，比“一人一检”方案少使用约100000-10100 = 89900份检测试剂. .12 分第 7 页 共 7 页
