1、2022年河南省开封市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设x，yR，集合A1，2x，Bx，y，若AB=12，则AB（）A1，12B-1，12C-1，1，12D1，2，122（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则|iz|（）A2B3C2D53（5分）命题：xR，x+|x|0的否定为（）AxR，x+|x|0BxR，x+|x|0CxR，x+|x|0DxR，x+|x|04（5分）已知sin=35，(2，)，则tan(4-)=（）A7B-17C17D75（5分）甲乙两台机床同时生产一种零件
2、，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是（）A甲的中位数大于乙的中位数B甲的众数大于乙的众数C甲的方差大于乙的方差D甲的性能优于乙的性能6（5分）设A，F分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为A，F，若|AA|FF|=12，则C的渐近线方程为（）Ay=3xBy=33xCy=32xDy=22x7（5分）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pHlgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5102摩尔/升，则胃酸的pH是（参考数据：lg20.
3、3010）（）A1.398B1.204C1.602D2.6028（5分）若x表示不超过x的最大整数，例如0.30，1.51则如图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A102B684C696D7089（5分）如图，将一块直径为23的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为（）A23-22B43-22C23-2724D43-272410（5分）已知函数f(x)=sin(x+)(0，02)的图象过点P(0，12)，现将yf（x）的图象向左平移2个单位长度得到的函数图象与yf（x）的图象关于x轴对称，则f（x）的解析式可能是（）Af(x)=sin(2x+6)Bf(x)=sin(
4、2x+3)Cf(x)=sin(x+6)Df(x)=sin(x+3)11（5分）已知（2，1）是圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（）A有最小值4B有最小值8C有最大值8D有最大值1612（5分）骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，ACCP达到最大值时点P到地面的距离为（）A32B332C32+3D62+3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
5、0分13（5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60，则|a+2b| 14（5分）已知公差为1的等差数列an中，a52a3a6，若an0，则n 15（5分）已知函数f（x）ax3x，若f（x）有极大值29，则a 16（5分）如图，某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，cosBAD=-45则小岛B与小岛D之间的距离为 海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为 平方海里三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某小区物
6、业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元如果下午6点之前没有售完，物业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量（单位：份）进行统计，得到如下条形图：（1）假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为n（单位：份，nN）（）求日利润y（单位：元）关于n的函数解析式；（）以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率（2）依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数只需说明原因，不需计算18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a12，且nan
7、+1+Sn+11（nN*）（1）证明：数列nSn为等差数列；（2）选取数列Sn的第2n（nN*）项构造一个新的数列bn，求bn的前n项和Tn19（12分）如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为63，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且OPB是边长为3的等边三角形，点G是DP的中点（1）求证：AG平面PBD；（2）求点A到平面OPG的距离20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，S（t，4）为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）（1）若l过点F且倾斜角为60，|FM|4（M在第一象限），求C的方程；（2）若p2，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且
8、OAOB=8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由21（12分）已知函数f（x）lnxax（a0）（1）当a2时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）若对任意的x0，有f（x）b+a（bR），证明：b2a（二）选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=sin，（为参数），直线l1的参数方程为x=1+tcosy=tsin，（t为参数，02），直线l2的参数方程为x=1-tsiny=tcos（t为参数，02）（1）将C的参数方程化为
9、普通方程，并求出l1与l2的夹角；（2）已知点P（1，0），M，N分别为l1，l2与曲线C相交所得弦的中点，且PMN的面积为233，求的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知a，b，cR+，且abc1（1）求证：a2+b2+c21a+1b+1c；（2）若ab+c，求a的最小值2022年河南省开封市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设x，yR，集合A1，2x，Bx，y，若AB=12，则AB（）A1，12B-1，12C-1，1，12D1，2，12【解答】解：A1，2x，Bx，y，
10、且AB=12，2x=12，即x1，则y=12，可得A1，12，B1，12，AB1，1，12故选：C2（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则|iz|（）A2B3C2D5【解答】解：复数z对应的点的坐标是（1，2），z1+2i，|iz|i|z|112+22=5，故选：D3（5分）命题：xR，x+|x|0的否定为（）AxR，x+|x|0BxR，x+|x|0CxR，x+|x|0DxR，x+|x|0【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题：xR，x+|x|0的否定为：xR，x+|x|0故选：C4（5分）已知sin=35，(2，)，则tan(4-)=（）A
11、7B-17C17D7【解答】解：sin=35，(2，)，可得cos=-1-925=-45，tan=sincos=-34，则tan(4-)=1-tan1+tan=1+341-34=7，故选：D5（5分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是（）A甲的中位数大于乙的中位数B甲的众数大于乙的众数C甲的方差大于乙的方差D甲的性能优于乙的性能【解答】解：由茎叶图可知，甲的中位数为12.5，乙的中位数为11.5，故选项A正确；甲的众数为15，乙的众数为12，故选项B正确；甲的数据相对更离散，故甲的方差大于乙的方差，故选项C正确；甲的平均数为7+8
12、+9+10+12+13+15+15+20+2110=13，乙的平均数为8+9+10+10+11+12+12+12+16+2010=12，且甲的方差大于乙的方差，故甲的性能劣于乙的性能，故选项D错误；故选：D6（5分）设A，F分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为A，F，若|AA|FF|=12，则C的渐近线方程为（）Ay=3xBy=33xCy=32xDy=22x【解答】解：设A（a，0），F（c，0），双曲线的一条渐近线为bxay0，由|AA|FF|=12，即|FF|2|AA|，可得|bc|a2+b2=2|ab|a2+
13、b2，即为c2a，则b=c2-a2=3a，所以双曲线的渐近线方程为ybax，即y3x，故选：A7（5分）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pHlgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5102摩尔/升，则胃酸的pH是（参考数据：lg20.3010）（）A1.398B1.204C1.602D2.602【解答】解：由 可得，PHlg（2.5102）（lg2.5+lg102）（12lg22）1+2lg21.6020故选：C8（5分）若x表示不超过x的最大整数，例如0.30，1.51则如图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A102B684C69
14、6D708【解答】解：由程序图可知，最终输出的S010+110+210+12210，从010到910共10项，均为0，从1010到1920共10项，均为1，从11010到11910共10项，均为11，从12010到12210共3项，均为12，故S101+102+1011+12310（1+2+10+11）+36=10(1+11)112+36=696故选：C9（5分）如图，将一块直径为23的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为（）A23-22B43-22C23-2724D43-2724【解答】解：作出正方体相对侧棱截面，如图，设正方体棱长为a，则ABa，OA=22a，由
15、勾股定理得（22a）2+a2（3）2，解得a=2，半球体积为1243(3)3=23，正方体体积为（2）322，切割掉的废弃石材的体积为23-22故选：A10（5分）已知函数f(x)=sin(x+)(0，02)的图象过点P(0，12)，现将yf（x）的图象向左平移2个单位长度得到的函数图象与yf（x）的图象关于x轴对称，则f（x）的解析式可能是（）Af(x)=sin(2x+6)Bf(x)=sin(2x+3)Cf(x)=sin(x+6)Df(x)=sin(x+3)【解答】解：f（x）图象过点P(0，12)，f（0）sin=12，02，=6，此时f（x）sin（x+6），将yf（x）的图象向左平移2
16、个单位长度得到的函数为g（x）sin（x+2）+6sin（x+2+6），此时图象与yf（x）的图象关于x轴对称，即此时ysin（x+2+6）sin（x+6），即2+6=6+2k，kZ，得2+4k，kZ，则当k0时，2，此时f（x）sin（2x+6），故选：A11（5分）已知（2，1）是圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（）A有最小值4B有最小值8C有最大值8D有最大值16【解答】解：因为（2，1）是椭圆C：x2a2+y2b2=1上的点，所以4a2+1b2=1，所以4a2+1b222a1b（当且仅当2a=1b，即a2b时，取等号），所以14ab
17、，即ab4，所以连接连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S=122a2b2ab8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选：B12（5分）骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，ACCP达到最大值时点P到地面的距离为（）A32B332C32+3D62+3【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则A（8，0），C（2，23），圆D的方程为x2+y23，设P（3cos，3sin），
18、则AC=（6，23），CP=（3cos+2，3sin+23），ACCP=（6，23）（3cos+2，3sin+23）63cos+126sin1212cos（+6）12，当仅当+6=2k时取“”，此时=-6+2k（kZ），则P（32，-32），所以点P到地面的距离为32+3=332，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60，则|a+2b|7【解答】解：两个单位向量a，b的夹角为60，ab=11cos60=12，(a+2b)2=a2+4ab+4b21+412+417，|a+2b|=7故答案为：714（5分）已知公差为1的等差数列an中，a
19、52a3a6，若an0，则n7【解答】解：在公差为1的等差数列an中，由a52a3a6，得a52（a52）（a5+1），解得a52，ana5+（n5）d2+n5n7，由an0，得n7故答案为：715（5分）已知函数f（x）ax3x，若f（x）有极大值29，则a3【解答】解：因为f（x）ax3x，则f（x）3ax21，若a0，则f（x）0，则f（x）在定义域上单调递减，无极大值，故 a0，令f（x）0，则x=13，当f（x）0时，-13ax13a，当f（x）0时，x-13a 或 x13a，所以f（x）在(-，-13a) 和 (13a，+)上单调递增，在(-13a，13a)上单调递减，所以f(x)
20、极大值=f(-13a)=a(-13a)3+13a=29，解得a30故答案为：316（5分）如图，某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，cosBAD=-45则小岛B与小岛D之间的距离为 35海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为 15平方海里【解答】解：圆的内接四边形对角互补，cosCcos（A）cosA=450，C为锐角，sinC=1-cos2C=35，在三角形BCD中，由正弦定理得BDsinC=BD35=55，可得BD35，在三角形BCD中，由余弦定理得（35）2CD2+522CD545，整理得CD28CD200，可得 （CD+2）（CD10）
21、0，解得CD10 （负根舍去），所以SBCD=1210535=15平方海里故答案为：35，15三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某小区物业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元如果下午6点之前没有售完，物业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量（单位：份）进行统计，得到如下条形图：（1）假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为n（单位：份，nN
22、）（）求日利润y（单位：元）关于n的函数解析式；（）以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率（2）依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数只需说明原因，不需计算【解答】解：（1）（i）当n20时，y（2015）n（20n）（1510）10n100，当n20时，y（2015）20100，综上所述，y=10n-100，n20100，n20（nN）；（ii）日利润不少于100元可转化为需求量不少于20，由条形图可知，需求量不少于20的天数有4+5+413，故日利润不少于100元的概率为1320；（2）假设物业每天购进n份果蔬，根据条形图计
23、算出日利润的数学期望，并求数学期望的最大值，按照数学期望的最大值确定每天购进的果蔬份数18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a12，且nan+1+Sn+11（nN*）（1）证明：数列nSn为等差数列；（2）选取数列Sn的第2n（nN*）项构造一个新的数列bn，求bn的前n项和Tn【解答】（1）证明：数列an的前n项和为Sn，a12，且nan+1+Sn+11（nN*），n（Sn+1Sn）+Sn+11，即（n+1）Sn+1nSn1，数列nSn为等差数列；（2）解：由（1）知，nSn2+1（n1）n+1，Sn=1+1n，即bn=S2n=1+12n，Tn=1+12+1+122+1+123+.+1
24、+12n n+12+122+123+.+12n=n+12(1-12n)1-12=n-12n+119（12分）如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为63，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且OPB是边长为3的等边三角形，点G是DP的中点（1）求证：AG平面PBD；（2）求点A到平面OPG的距离【解答】解：（1）证明：点P在圆柱OQ的底面圆周上，则APBP，而四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，则有AD平面APB，PB平面APB，ADPB，又APADA，AP，AD平面ADP，于是得PB平面ADP，而AG平面ADP，AGPB，OPB是边长为3的等边三角形，RtAPB，APPBtanABP
25、=3tan603，圆柱OQ的侧面积为63，即2OBAD23AD=63，AD3AP，又点G是DP的中点则有AGPD，而PDPBP，PB，PD平面PBD，AG平面PBD；（2）由已知得SAOP=12OAOPsinAOP=1233sin120=334，线段OP的中点G到平面AOP的距离为12AD=32，于是VGAOP=1333432=338，由AG平面PBD知AGBG，即AGB是直角三角形，OG=12AB=3=OP，而GP=12PD=322，则等腰三角形OPG底边GP上的高为OP2-(12GP)2=3-1816=304，SOGP=12322304=3158，设点A到平面OPG的距离为h，由VAOPG
26、VGAOP，13SOGPh=133158=338，h=355，点A到平面OPG的距离为35520（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，S（t，4）为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）（1）若l过点F且倾斜角为60，|FM|4（M在第一象限），求C的方程；（2）若p2，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且OAOB=8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由【解答】（1）解：抛物线C：y22px（p0）的焦点为F(p2，0)，因为过点F且倾斜角为60，所以I：y=3(x-p2)，联立y22px（p0），可得12x220px+3p20，解得x=
27、32p或x=p6，又M在第一象限，所以xM=32p，因为|FM|4，所以32p+p2=4，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x；（2）解：由已知可得抛物线C的方程为y24x，点S（4，4），设直线l的方程为xmy+n，点M(y124，y1)，N(y224，y2)，将直线l的方程与抛物线C：y24x联立得y24my4n0，所以16m2+16n0，y1+y24m，y1y24n（*），直线SM的方程为y-4=y1-4y124-4(x-4)，令x0求得点A的纵坐标为4y1y1+4，同理求得点B的纵坐标为4y2y2+4，由OAOB=16y1y2y1y2+4(y1+y2)+16=8，化简得y1y24（y
28、1+y2）+16，将上面（*）式代入得4n16m+16，即n4m4，所以直线l的方程为xmy4m4，即x+4m（y4），所以直线l过定点（4，4）21（12分）已知函数f（x）lnxax（a0）（1）当a2时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）若对任意的x0，有f（x）b+a（bR），证明：b2a【解答】解：（1）当a2时，f（x）lnx2x，f（x）=1x-2，则f（1）1，又f（1）2，f（x）在x1处的切线方程为y+2（x1），即x+y+10；证明：（2）任意的x0，f（x）b+a，等价于blnxaxa，令g（x）lnxaxa，x0，得g（x）=1x-a，而a0，则当0x1a时，g（x
29、）0，当x1a时，g（x）0，g（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+）上单调递减，g(x)max=g(1a)=-lna-a-1，于是得blnaa1，则b+2alna+a1，令h（a）lna+a1，a0，h（a）=-1a+1，则当0a1时，h（a）0，当a1时，h（a）0，因此，h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，h（a）minh（1）0，于是b+2ah（a）0，即b2ab2a（二）选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=
30、sin，（为参数），直线l1的参数方程为x=1+tcosy=tsin，（t为参数，02），直线l2的参数方程为x=1-tsiny=tcos（t为参数，02）（1）将C的参数方程化为普通方程，并求出l1与l2的夹角；（2）已知点P（1，0），M，N分别为l1，l2与曲线C相交所得弦的中点，且PMN的面积为233，求的值【解答】解：（1）曲线C的参数方程为x=2cosy=sin，x22+y2=1，故C的普通方程为x22+y2=1，由直线l1与l2的参数方程可知，两直线斜率分别为k1=sincos，k2=-cossin，则k1k21，即l1l2，故l1与l2的夹角为2（2）l1和l2均经过椭圆C内部
31、的点P（1，0），l1，l2与椭圆C分别交于两点，将x=1+tcosy=tsin代入x22+y2=1 可得，（1+sin2）t2+2tcos10，设t1，t2是方程（1+sin2）t2+2tcos10 的两根，则t1+t2=-2cos1+sin2，M是l1与椭圆C相交弦中点，|PM|=|t1+t22|=|cos1+sin2|=cos1+sin2，将为x=1-tsiny=tcos（t为参数，02）代入x22+y2=1，同理可得，|PN|=sin1+cos2，SPMN=12|PM|PN|=sincos2(1+sin2+cos2+sin2cos2)=sin24(2+14sin22)=sin28+si
32、n2=233，解得sin2=12或sin216（舍去），02，02，a=12或512选修4-5：不等式选讲（10分）23已知a，b，cR+，且abc1（1）求证：a2+b2+c21a+1b+1c；（2）若ab+c，求a的最小值【解答】（1）证明：1a+1b+1c=bcabc+acabc+ababc=bc+ac+ab，bc+ac+ab=12（2bc+2ac+2ab）12（b2+c2+a2+c2+b2+a2）b2+c2+a2，当且仅当abc时等号成立a2+b2+c21a+1b+1c；（2）已知a，b，cR+，且abc1所以ab+c2bc=21a，当且仅当bc时，等号成立，所以a322，即a223，故a的最小值为223，此时a2b2c=223第19页（共19页）
