1、2022年安徽省名校联考高考数学质检试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1（5分）设集合A（x，y）|x+y6，B（x，y）|yx2，则AB（）A（2，4）B（3，9）C（2，4），（3，9）D2（5分）复数z=2i+1（i为虚数单位）的虚部是（）A1B1CiDi3（5分）为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是（）A甲品种的平均高度高于
2、乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐B乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐C甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐D甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐4（5分）与椭圆C：y216+x212=1共焦点且过点（1，3）的双曲线的标准方程为（）Ax2-y23=1By22x21Cy22-x22=1Dy23-x215（5分）已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBabcCbcaDcab6（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙
3、看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩7（5分）函数f（x）e|x+1|x22x2的图象可能是（）ABCD8（5分）（12x）5的展开式中，x3的系数为（）A40B40C80D809（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球O上，且AB4，AA16，ACB30，则此直三棱柱的外接球O的表面积是（）A25B50C100D500310（5分）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学特别是与“月牙形”有关的问题如图所示阴
4、影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若ACB=23，ACBC1，则该月牙形的面积为（）A34+24B34-24C14+24D334-811（5分）在等差数列an中，a19，a51记Tna1a2an（n1，2，），则数列Tn（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项12（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）e|xk|cosx（其中e为自然对数的底数），记af（0.32），bf（20.3），cf（k+log32），则a，b，c的大小关系是（）AacbBcabCbcaDbac二、单空题（本大题共4小题，共20
5、.0分）13（5分）给出下列命题：若a，b同向，则有|b+a|=|b|+|a|；a+b与|a|+|b|表示的意义相同；若a，b不共线，则有|a+b|a|+|b|；|a|a|+|b|恒成立；对任意两个向量a，b，总有|a+b|a|+|b|；若三向量a，b，c满足a+b+c=0，则此三向量围成一个三角形其中正确的命题是 （填序号）14（5分）若tan（-4）=16，则tan 15（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y242x的焦点，P为C上一点，若|PF|42，则POF的面积为 16（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱
6、BB1，DD1交于M，N，设BMx，x0，1，给出以下四个结论：平面MENF平面BDD1B1；当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF的周长Lf（x），x0，1是单调函数；四棱锥C1MENF的体积Vh（x）在0，1上先减后增其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2+n，nN，数列bn满足an4log2bn+3，nN（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn18如图，在正四棱锥PABCD中，AB2，APC=3，M为PB上的四等分点，即BM=14BP（1）证明：平面AMC平面PBC；（2）求平面P
7、DC与平面AMC所成锐二面角的余弦值19已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F，离心率e2，直线l：x=a2c与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|=3（1）求E的方程；（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分APB20已知火龙果的甜度一般在1120度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按11，12），12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），17，18），18，19），19，20分组，旧施
8、肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如图所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表甜度11，12）12，13）13，14）14，15）15，16）16，17）17，18）18，19）19，20频数581210161418125（1）设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记M表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件M的概率（2）根据上述样本数据，列出22列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？
9、（3）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为X，求随机变量X的分布列及数学期望附：P（K2k0）0.0250.0100.005k05.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d21设函数f（x）x3ax2+1（1）若f（x）在x3处取得极值，求a的值；（2）若f（x）在2，1上单调递减，求a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=12+cosy=32+sin（为参数），以原点
10、O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，M，N是曲线C上的两点，若MON=3，求|OM|+|ON|的最大值23已知函数f（x）2|x+4|mx（1）若m1，求不等式f（x）0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）|x1|x2在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围2022年安徽省名校联考高考数学质检试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1（5分）设集合A（x，y）|x+y6，B（x，y）|yx2，则AB（）A（2，4）B（3，9）C（2，4），（3，9）D【解答】解：集合A（x，y）|x+y6，
11、B（x，y）|yx2，AB（x，y）|x+y=6y=x2（2，4），（3，9）故选：C2（5分）复数z=2i+1（i为虚数单位）的虚部是（）A1B1CiDi【解答】解：z=2i+1=2(1-i)(1+i)(1-i)=1i，z的虚部为1故选：A3（5分）为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是（）A甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐B乙品种的
12、平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐C甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐D甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐【解答】解：由题知，甲、乙两个品种高度的平均值均为66.5，即甲、乙品种平均高度差不多，从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐故选：D4（5分）与椭圆C：y216+x212=1共焦点且过点（1，3）的双曲线的标准方程为（）Ax2-y23=1By22x21Cy22-x22=1Dy23-x21【解答】解：设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0，b0)，根据题意得a2+b2=16-12=4(3)2a2-12b2=1，解之得a
13、2b22该双曲线的标准方程为y22-x22=1故选：C5（5分）已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBabcCbcaDcab【解答】解：由题意，可知：alog27log242，blog38log392，c0.30.21，cba故选：A6（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【解答】
14、解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自己的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自己的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自己的成绩了故选：D7（5分）函数f（x）e|x+1|x
15、22x2的图象可能是（）ABCD【解答】解：f（x）e|x+1|x22x2e|x+1|（x+1）21，则函数f（x）关于x1对称，排除A，C，f（0）e20，排除D，故选：B8（5分）（12x）5的展开式中，x3的系数为（）A40B40C80D80【解答】解：二项式（12x）5展开式的通项公式为Tr+1=C5r（2x）r，令r3，可得展开式中x3的系数为（2）3C53=-80，故选：D9（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球O上，且AB4，AA16，ACB30，则此直三棱柱的外接球O的表面积是（）A25B50C100D5003【解答】解：根据直三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球O
16、上，且AB4，AA16，ACB30，在ABC中，利用BC=ABsin30=8，设外接球的半径为R，所以R=(BC2)2+(AA12)2=5，所以S球=452=100，故选：C10（5分）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学特别是与“月牙形”有关的问题如图所示阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若ACB=23，ACBC1，则该月牙形的面积为（）A34+24B34-24C14+24D334-8【解答】解：由已知可得AB=3，ABC的外接圆半径为1，由题意，内侧圆弧为ABC的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为2
17、3，则弓形ABC的面积为1212（23-sin23）=3-34，外侧的圆弧以AB为直径，所以半圆AB的面积为12（32）2=38，则月牙形的面积为38-（3-34）=34+24故选：A11（5分）在等差数列an中，a19，a51记Tna1a2an（n1，2，），则数列Tn（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a19，a51，得d=a5-a15-1=-1-(-9)4=2，an9+2（n1）2n11由an2n110，得n=112，而nN*，可知数列an是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值可知T190
18、，T2630，T33150，T49450为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小数列Tn有最大项，无最小项故选：B12（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）e|xk|cosx（其中e为自然对数的底数），记af（0.32），bf（20.3），cf（k+log32），则a，b，c的大小关系是（）AacbBcabCbcaDbac【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）e|xk|cosx（其中e为自然对数的底数），故：k0，所以：函数f（x）e|x|cosx在（0，2）上单调递增，在（-2，0）上单调递减则：cf（k+log32）f（log32），由于：00.32log3220.3，所以：acb，故选：A
19、二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13（5分）给出下列命题：若a，b同向，则有|b+a|=|b|+|a|；a+b与|a|+|b|表示的意义相同；若a，b不共线，则有|a+b|a|+|b|；|a|a|+|b|恒成立；对任意两个向量a，b，总有|a+b|a|+|b|；若三向量a，b，c满足a+b+c=0，则此三向量围成一个三角形其中正确的命题是 （填序号）【解答】解：由向量加法的三角不等式对于任意向量都有|a+b|a|+|b|（其中当a，b中有一个为0或a，b同向时不等式取等），可以判断正确，错误，中a+b是向量，|a|+|b|表示模，是数量，意义不同，故错误，中当a=b=c=0时，三向量
20、围不成一个三角形，故错误，故答案为：14（5分）若tan（-4）=16，则tan75【解答】解：tan（-4）=tan-tan41+tantan4=tan-1tan+1=166tan6tan+1，解得tan=75，故答案为：7515（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y242x的焦点，P为C上一点，若|PF|42，则POF的面积为23【解答】解：抛物线C的方程为y242x2p42，可得p2=2，得焦点F（2，0）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|m+p2=42，即m+2=42，解得m32点P在抛物线C上，得n24232=24n26|OF|=2POF的面积为S=12|OF|n|23故答案
21、为：2316（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，设BMx，x0，1，给出以下四个结论：平面MENF平面BDD1B1；当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF的周长Lf（x），x0，1是单调函数；四棱锥C1MENF的体积Vh（x）在0，1上先减后增其中正确命题的序号是 【解答】解：对于：连接EF，BD，B1D1，则正方体的性质可知，EF平面BDD1B1，所以平面MENF平面BDD1B1，所以正确；对于：连接MN，因为EF平面BDD1B1，所以EFMN，所以四边形MENF的
22、对角线EF是固定的，|MN|=(1-2x)2+2，所以当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小，故正确；对于：因为EFMN，所以四边形MENF是菱形，当x0，12时，EN的长度由大变小，当x12，1时，EM的长度由小变大，所以函数Lf（x），x0，1不单调，故错误；对于：四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以C1EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥MC1EF，NC1EF，因为三角形C1EF的面积是个常数，M，N到平面C1EF的距离是个常数，所以四棱锥C1MENF的体积Vh（x）为常值函数，故错误故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2
23、+n，nN，数列bn满足an4log2bn+3，nN（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn【解答】解：（1）由Sn=2n2+n可得，当n1时，a1S13，当n2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1，而n1，a1413适合上式，故an4n1，又an4log2bn+34n1，bn=2n-1 （6分）（2）由（1）知anbn=(4n-1)2n-1，Tn=320+72+(4n-1)2n-1，2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n，Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-1)2n-3+42(1-2n-1)1
24、-2 （4n1）2n3+4（2n2）（4n5）2n+5（12分）18如图，在正四棱锥PABCD中，AB2，APC=3，M为PB上的四等分点，即BM=14BP（1）证明：平面AMC平面PBC；（2）求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）由AB2，可知AC=22+22=22，由APC=3，可知PA=PC=AC=22，PABCD是正四棱锥，PB=PD=PA=PC=22，BM=22，PM=322，在PAB中，设APB，由余弦定理有，cos=PA2+PB2-AB22PAPB=34，在PAM中，由余弦定理有，AM2=PA2+PM2-2PAPMcos=72，AM2+MB24AB2，A
25、MPB，同理CMPB，而PB在平面PBC上，AMCMM，且AM，CM都在平面ACM内，故PB平面ACM，又PB平面PBC，平面AMC平面PBC；（2）以底面中心O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，C(-1，1，0)，A(1，-1，0)，P(0，0，6)，B(1，1，0)，D（1，1，0）设平面PDC的法向量为m=(x，y，z)，DP=(1，1，6)，DC=(0，2，0)，故mDP=x+y+6z=0mDC=2y=0，可取m=(26，0，-2)，设平面AMC的法向量为n=(a，b，c)，则可取n=PB=(-1，-1，6)，设平面PDC与平面AMC所成锐二面角为，则cos=mn
26、|m|n|=21719已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F，离心率e2，直线l：x=a2c与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|=3（1）求E的方程；（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分APB【解答】解：（1）由x=a2cy=bax得yQ=abc，又PFc-a2c=b2c，且|FQ|2（abc）2+（b2c）2b23，b=3，又离心率e2，a2+b2a2=4，a1E的方程为：x2-y23=1（2）设过点F得直线方程为：xmy+2，A（x1，y1），B（x2，y2）联立x=my+23x2-y2=3，可得（3m21）y2+12my+90，则：y
27、1+y2=-12m3m2-1，y1y2=93m2-1，过F的直线交E的右支于A，B两点，y1y20，可得-33m33，又P（12，0），kPA+kPB=y1x1-12+y2x2-12=y1(my2+32)+y2(my1+32)(x1-12)(x2-12)，y1(my2+32)+y2(my1+32)=2my1y2+32(y1+y2)=2m93m2-1+32-12m3m2-1=0kPA+kPB0，PF平分APB20已知火龙果的甜度一般在1120度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）
28、进行分组，若按11，12），12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），17，18），18，19），19，20分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如图所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表甜度11，12）12，13）13，14）14，15）15，16）16，17）17，18）18，19）19，20频数581210161418125（1）设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记M表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低
29、于15度”，以样本估计总体，求事件M的概率（2）根据上述样本数据，列出22列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？（3）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为X，求随机变量X的分布列及数学期望附：P（K2k0）0.0250.0100.005k05.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d【解答】解：（1）记A表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，B表
30、示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，则有P（M）P（AB）P（A）P（B），由频率分布直方图可知，旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为（0.1+0.152+0.2）10.6，由频数分布表可知，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为16+14+18+12+5100=0.65，故事件M的概率为0.650.60.39；（2）依题意可得到列联表如下：非超甜果超甜果合计旧施肥方法6040100新施肥方法3565100合计95105200所以K2=200(6065-3540)295105100100=500039912.5317.879，故有99.5%的把握认为是否为“超甜
31、果”与施肥方法有关；（3）旧施肥方法下的100个火龙果中，“非超甜果”为60个，“超甜果”为40个，按分层抽样的方法随机抽取5个，则抽取的“非超甜果”为3个，“超甜果”为2个，所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X0）=C32C20C52=310，P（X1）=C31C21C52=35，P（X2）=C22C52=110，故随机变量X的分布列为：X012P310 35 110 所以数学期望E（X）0310+135+2110=4521设函数f（x）x3ax2+1（1）若f（x）在x3处取得极值，求a的值；（2）若f（x）在2，1上单调递减，求a的取值范围【解答】解：（1）f（x）x3ax2
32、+1，则f（x）3x22ax，因为f（x）在x3处取得极值，所以f（3）276a0，解得a=92，经检验，当a=92时，f（x）在x3处取得极值；（2）因为f（x）在2，1上单调递减，所以f（x）3x22ax0对x2，1恒成立，则a32x对x2，1恒成立，当x2，1时，32x-3，-32，a3，即a的取值范围为（，322在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=12+cosy=32+sin（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，M，N是曲线C上的两点，若MON=3，求|OM|+|ON|的最大值【解答】解：（
33、1）曲线C的参数方程为x=12+cosy=32+sin（为参数），转换为直角坐标方程为(x-12)2+(y-32)2=1，根据x=cosy=sinx2+y2=2，整理得=cos+3sin，转换为极坐标方程为=2sin(+6)（2）设M（1，），N（2，+3），所以|OM|+|ON|1+2=2sin(+6)+2sin(+3+6)=2sin(+6)+2cos，=3sin+3cos=23sin(+3)，当sin（+3）1时，(|OM|+|ON|)max=2323已知函数f（x）2|x+4|mx（1）若m1，求不等式f（x）0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）|x1|x2在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）m1时，不等式f（x）0为2|x+4|+x0，若x4，则不等式化为2x8+x0，解得x8；若x4，不等式化为2x+8+x0，解得x-83；综上所述，不等式f（x）0的解集为(-，-8)(-83，+)；（2）不等式f（x）|x1|x2化为2|x+4|mx|x1|x2，因为x（1，+），所以不等式可化为2x+8mxx1x2，即mx+9x+1，因为x+9x+12x9x+1=7，当且仅当x3时等号成立，所以m7，即实数m的取值范围是（，7）第22页（共22页）
