1、2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若全集Ux|x22x80，集合Ax|13x27，则UA（）A（0，3）B（2，0）（3，4）C（2，03，4）D（2，12，4）2（5分）已知复数z3+4i，则的虚部是（）ABC4D43（5分）中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里），以下结论不正确的是（）A每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程
2、增加最显著B从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年份正相关C2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列4（5分）cos40sin70sin40sin160（）ABCD5（5分）“b1”是“函数是在（2，+）上的单调函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）若（a+2x2）（1+x）n（nN*）的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为（）A30B45C60D817（5分）已知甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛规则是：3局2胜，即以先赢2局
3、者胜甲每局获胜的概率为（）ABCD8（5分）已知曲线，曲线C2：ysin2x+cos2x，则下列结论正确的是（）A曲线C1关于原点对称B是曲线C2的一条对称轴C曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线C2D曲线C2向左平移个单位长度，得到曲线C19（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，ABBC2，1与A1B1所成的角为（）A30B45C60D9010（5分）已知函数，设af（log30.2），bf（30.2），cf（31.1），则（）AabcBbacCcbaDcab11（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线与坐标轴交于点M，且PFM为钝角，若，|PF|4（）ABC
4、D12（5分）已知函数f（x+1）为定义域在R上的偶函数，且当x1时（x）满足，则4ef（x）（）A（，2）（，+）B（2，）C（，2e）（e，+）D（2e，e）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量，若，则实数 14（5分）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（3，6），则它的离心率为 15（5分）如图，在ABC中，BC2，且ACEBCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转，使得，连接DE 16（5分）已知在三棱锥ABCD中，ABADBD2，BCCD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题
5、为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知等差数列an中，a2+a42，a55，数列bn的前n项和Sn满足2Sn3bn3（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若，求数列cn的前n项和Tn18（12分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BADBCD90，ADC60且ADCD1平面ABCD，BB12AB2（1）证明：ACB1D（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值19（12分）某大型工厂有6台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台
6、机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，否则将亏损2万元该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行若该厂只有1名维修工人；（2）已知该厂现有2名维修工人（i）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1名维修工人？20（12分）已知椭圆的离心率，且圆x2+y22过椭圆C的上、下顶点（1）求椭圆C的
7、方程；（2）若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点A（2，1）是椭圆C上一点AE，kAQ，证明：kAE+kAQ021（12分）设函数f（x）ax2（a2）xlnx（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数）以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为2+2cos80（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P是直线l的一点，
8、过点P作曲线C的切线，切点为Q（本小题满分0分）选修45：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）13的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且1（m0）2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若全集Ux|x22x80，集合Ax|13x27，则UA（）A（0，3）B（2，0）（3，4）C（2，03，4）D（2，12，4）【解答】解：全集Ux|x22x80，集合Ax|14x27，解得：Ux|2x4，Ax|5x3，所以UA（2，33故选：
9、C2（5分）已知复数z3+4i，则的虚部是（）ABC4D4【解答】解：由z3+4i，得，的虚部为故选：A3（5分）中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里），以下结论不正确的是（）A每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年份正相关C2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【解答】解：由2014年到2018年铁路和
10、高铁运营里程（单位：万公里）的折线图可知：选项A，B显然正确；对于选项C，因为，即选项C正确；4.6，2.6，2.9不是等差数列，即选项D错误，故选：D4（5分）cos40sin70sin40sin160（）ABCD【解答】解：cos40sin70sin40sin160cos40sin70sin40cos70sin（4070）sin（30），故选：B5（5分）“b1”是“函数是在（2，+）上的单调函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：依题意，函数f（x）是在（2，由于ylog2（x+6）+b在（2，0上递增，+）上递增，所以b4且1+b2，即2
11、b1所以“b1”是“函数是在（5，故选：B6（5分）若（a+2x2）（1+x）n（nN*）的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为（）A30B45C60D81【解答】解：令x0，得常数项a24）（1+x）n（2+6x2）（1+x）n，令x5，得42n256，所以n3，故该展开式中x4的系数为，故选：C7（5分）已知甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛规则是：3局2胜，即以先赢2局者胜甲每局获胜的概率为（）ABCD【解答】解：甲、乙两人进行羽毛球比赛，即以先赢2局者胜，本次比赛甲获胜的概率为P（）5+故选：B8（5分）已知曲线，曲线C2：ysin2x+cos2x，则下列结
12、论正确的是（）A曲线C1关于原点对称B是曲线C2的一条对称轴C曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线C2D曲线C2向左平移个单位长度，得到曲线C1【解答】解：因为cos2x2：ysin6x+cos2x，因为ycos2x为偶函数，A错误；令2xk，B错误；曲线C1向右平移个单位长度cos2（xcos（2x2，C正确，D错误故选：C9（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，ABBC2，1与A1B1所成的角为（）A30B45C60D90【解答】解：连接AC1，BC1，可知BAC6为异面直线AC1与A1B3所成的角ABC1为直角三角形，且ABBC1，AB6，得BAC160即异面直线AC6与
13、A1B1所成的角为60故选：C10（5分）已知函数，设af（log30.2），bf（30.2），cf（31.1），则（）AabcBbacCcbaDcab【解答】解：|ln|，yf（x）是偶函数，且x0时af（log25），bf（32.2），cf（36.1），37.1log3830.8，cab，故选：D11（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线与坐标轴交于点M，且PFM为钝角，若，|PF|4（）ABCD【解答】解：由已知得F（，0），M（，设P（x0，y5），则|PF|x0+2，|PM|，y722px8，解得y0，p7或p7，p1PFM1故选：A12（5分）已知函数f（x+1）
14、为定义域在R上的偶函数，且当x1时（x）满足，则4ef（x）（）A（，2）（，+）B（2，）C（，2e）（e，+）D（2e，e）【解答】解：令g（x）x2f（x），则g（x）x2f（x）+5xf（x），则f（x），f（x），令h（x）lnx2g（x），则h（x），令h（x）0，解得x，故h（x）在（2，）递增，+）递减，又h（）ln）0，h（x）0，f（x）5，+）单调递减，由ln2g（，得f（，由4ef（x）1，得f（x），函数f（x+1）为定义域在R上的偶函数，f（x）关于直线x4对称，4ef（x）1的解集是（，4，+），故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已
15、知向量，若，则实数20【解答】解：，又，解得20故答案为：2014（5分）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（3，6），则它的离心率为 【解答】解：设中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的双曲线的方程为，则其渐近线方程为yx，由一条渐近线经过点（6，6），则2，e，故答案为：15（5分）如图，在ABC中，BC2，且ACEBCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转，使得，连接DE【解答】解：由AB2AC2+BC22ACBCcosACB，得AC2+4AC20，解得因为，所以，所以又因为，所以因为，所以16（5分）已知在三棱锥ABCD中，ABADBD2，BCCD，则三棱锥ABCD外接球的表面
16、积为 18【解答】解：，AC2AB2+BC2，AC4AD2+CD2，即ABC和ADC均为以AC为斜边的直角三角形，所以AC为球的直径，所以球的半径，所以其表面积为，故答案为：18三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知等差数列an中，a2+a42，a55，数列bn的前n项和Sn满足2Sn3bn3（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d由a2+a47，a55，得解得a13，d7故当n7时
17、，2S16b13，得b63当n2时，由7Sn3bn3，得8Sn13bn73，两式相减得bn3bn5，所以数列bn是以3为首项，公比为3的等比数列（2）依题意，所以，两式相减，得，解得18（12分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BADBCD90，ADC60且ADCD1平面ABCD，BB12AB2（1）证明：ACB1D（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，ADCD，DACDCA，又BADBCD，BACBCA，ABDCBD，ADBCDB，AODCOD，AODCOD90，ACBD，又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BDBB4B，
18、AC平面BDB1，又B1D平面BDB5，ACB1D（2）解：由（1）可知ADBADC30，OBAB，OD以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B（，0，2），3，0），C1（6，8），B1（，0，2），（，（4，0，（，设平面B1C4D的法向量为（x，y，则，令y1可得，1，），cosBC1与平面B8C1D所成角的正弦值为|cos|19（12分）某大型工厂有6台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），
19、每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，否则将亏损2万元该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行若该厂只有1名维修工人；（2）已知该厂现有2名维修工人（i）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【解答】解：（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行工厂每月能正常运行的概率+（2）（i）X的可能取值为34，46P（X34），P（X46），即X的分布列为：X34
20、4658P则E（X）34+46（ii）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610757万元57，该厂应再招聘1名维修工人20（12分）已知椭圆的离心率，且圆x2+y22过椭圆C的上、下顶点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点A（2，1）是椭圆C上一点AE，kAQ，证明：kAE+kAQ0【解答】（1）解：因为圆x2+y25过椭圆C的上、下顶点，又离心率，所以，于是有，解得，所以椭圆C的方程为（2）证明：由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为2+2y28，可得x4+2tx+2t440由于直线l交椭圆C于P，Q两点64（2t64）0，整理解得3t
21、2设点P（x1，y8），Q（x2，y2），由于点P与点E关于原点对称8，y1），于是有x1+x52t，若直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，由于点A（2，1），则，又因为，于是有（2x1）（y41）（2+x6）（y1+1）2（y2y1）（x6y2+x2y6）+x1x27，故直线AE与AQ的斜率之和为4，即kAE+kAQ0，所以kAEkAQ21（12分）设函数f（x）ax2（a2）xlnx（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）ax2（a2）xlnx，其定义域为（4，所以当a0时，令f（x）5，得，得，此时f（x
22、）在上单调递减，在当2a5时，令f（x）0，得或，得，此时f（x）在，上单调递减，在当a2时，f（x）0，+）上单调递减当a8时，令f（x）0，得或，得，此时f（x）在，上单调递减，在（2）由（1）可知：当a0时，易证lnxx1，所以f（x）ax2（a8）xlnxax2（a1）x+5因为，f（1）20所以f（x）恰有两个不同的零点，只需当8a0时，不符合题意当a7时，f（x）在（0，不符合题意当a2时，由于f（x）在，在上单调递增，且，又，由于，所以，函数f（x）最多只有1个零点综上可知，a4+2ln2，+）（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题
23、计分（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数）以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为2+2cos80（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P是直线l的一点，过点P作曲线C的切线，切点为Q【解答】解：（1）将l的参数方程（t为参数）消去参数t把代入2+2cos80，可得曲线C的直角坐标方程为（x+8）2+y25；（2）由（1）知曲线C是以（1，0）为圆心，设圆心为A，则圆心A到直线l的距离，l与圆A相离，且|PA|4连接AQ，AP，|PQ|2|PA|8|AQ|244325，即|PQ|的最小值为（本小题满分0分）选修45：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）13的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且1（m0）【解答】解：（1）由f（x）13，得|x1|+|x+2|13，则或或，解得：3x6，故不等式的解集是（7，6）；（2）证明：f（x）|x1|+|x+2|x2（x+2）|3，故k8，+1（mn2），故m0，n0，m+n（m+n）（+）10+16，当且仅当，即m4，故m+n16第19页（共19页）
