1、2022年广东省燕博园高考数学综合能力数学试卷（3月份）（CAT）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|2x0，Bx|x21，则AB等于（）Ax|1x1Bx|2x1Cx|1x0Dx|x12（5分）已知复数z=12-i，则z在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，DD12，则该长方体的外接球的体积为（）A9B12C36D1444（5分）函数f（x）sinx2的图象向左平移k（k0）个单位长度后得到的函数的图象关于y轴对称，则k
2、的值可以是（）A2BC32D25（5分）已知角与角的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角的终边与角的终边关于x轴对称，则一定成立的是（）AsinsinBsincosCcoscosDcossin6（5分）已知函数f（x）=x2+2x，xax-1，xa，若f（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（）Aa|0a1Ba|1a0Ca|1a1Da|a17（5分）已知A，B是圆O：x2+y24上的两个动点，且OAOB，则A，B两点到直线l：xy+40的距离之和的取值范围是（）A2，22B2，32C22，42D22，628（5分）已知A（0，1），B（1，0），O为坐标原点，点P为曲线yex上的
3、动点，且OP=OA+OB（e2.718为自然对数的底数，R），则+的最大值是（）Ae1B1eC1D1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知双曲线C：x23-y21，则（）AC的焦点坐标为（-2，0）和（2，0）BC的渐近线方程为y=13x和y=-13xCC的离心率为233DC与直线l：y=33x+1有且仅有一个公共点（多选）10（5分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的两边AB，AD上的动点，则一定成立的是（）AAPAC=AQACBAPAD=AQABCDPDA=B
4、QACDDPDC=BQBA（多选）11（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（kN*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛下列说法正确的是（）Ak1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14Bk2时，甲嬴得比赛与乙嬴得比赛的概率均为516C在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12（多选）12（5分）已知数列an的各项均为正数，a1a，an+1an-1n2an2下列说法正确的是（）A0a214Ban+1anC1an+1-1an1n2D数列an+1an为递减数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20
5、分把答案填在题中的横线上.13（5分）直线l过点（1，0），且与抛物线y24x交于A，B两点若|AB|8，则线段AB的中点M到y轴的距离是 14（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（，0上单调递增，则关于x的不等式f（|x|+2）f（x2）的解集是 15（5分）英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比”，并通过此假设于1798年给出了马尔萨斯人口方程N（t）N0er(t-t0)），其中N0为t0时刻的人口数，N（t）为t时刻的人口数，r为常数已知某地区2000年的人口数为230万，r0.02，用马尔萨斯人口方程预测该
6、地区2035年的人口数（单位：万）约为 .（参考数据：ln20.7，ln31.1）16（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为平面DBA1内的动点，且AP=22设直线BD与AP所成的角为，则当最小时，cos的值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列an和等比数列bn满足a11，a2b12（1）求an的通项公式；（2）从下列给出的三个条件、中选择一个作为已知条件，使得bn存在且唯一，并求数列ban的前n项和Sn条件：b38；ab2=4；a2+b22a318（12分）某科研团队研发针对病毒的疫苗，并进行
7、接种试验如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒的抗体，则称该疫苗有效该科研团队对其研发的疫苗A和疫苗B，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A和疫苗B的人群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒的抗体，获得样本数据如表：抽取人数其中产生抗体人数接种疫苗A12080接种疫苗B10080（1）从接种疫苗A的人群中任取3人，记产生抗体的人数为X，用样本数据中产生抗体的频率估计概率，求X的分布列及其数学期望；（2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A与疫苗B的有效性存在差异？说明理由附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P（ 2k）0.0
8、500.0100.001k3.8416.63510.82819（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足asinB=3b（1cosA）（1）求A的大小；（2）若c2b2+bc，求sinC的值20（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E为线段CD的中点，ABBC=12CD2，将DAE沿AE折起到DAE的位置，使得平面D1AE平面ABCE（1）求证：AED1B；（2）在线段D1B上是否存在点Q，使得平面QAC与平面ABCE的夹角为60？若存在，求出D1QD1B的值；若不存在，说明理由21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过A1（2，0）和B（0
9、，-3）两点，点A2为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线PA1与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）比较MNA1的面积与NA2B的面积的大小，并说明理由22（12分）已知函数f（x）exa+x2（aR）（1）求证：f（x）仅有一个零点；（2）若a1，求证：f（x）-12x2+3x-522022年广东省燕博园高考数学综合能力数学试卷（3月份）（CAT）参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|2x0，Bx|x21，则AB等于（）Ax|1x1Bx|2x
10、1Cx|1x0Dx|x1【解答】解：集合Ax|2x0，Bx|x21x|1x1，ABx|2x1故选：B2（5分）已知复数z=12-i，则z在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z=12-i=2+i(2-i)(2+i)=25+15i，z=25-15i，z在复平面内所对应的点（25，-15）位于第四象限故选：D3（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，DD12，则该长方体的外接球的体积为（）A9B12C36D144【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，DD12，设长方体的外接球的半径为R，故（2R）242+42+2
11、2，解得R3，所以V球=4333=36故选：C4（5分）函数f（x）sinx2的图象向左平移k（k0）个单位长度后得到的函数的图象关于y轴对称，则k的值可以是（）A2BC32D2【解答】解：函数f（x）sinx2的图象向左平移k（k0）个单位长度后，得到的函数ysin（x2+k2）的图象，由于函数ysin（x2+k2）的图象关于y轴对称，则k2=n+2，nZ，即k（2n+1），nZ令n0，可得k，故选：B5（5分）已知角与角的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角的终边与角的终边关于x轴对称，则一定成立的是（）AsinsinBsincosCcoscosDcossin【解答】解：角与
12、角的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角的终边与角的终边关于x轴对称，则+2k，kZ，故有coscos，sinsin，故选：C6（5分）已知函数f（x）=x2+2x，xax-1，xa，若f（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（）Aa|0a1Ba|1a0Ca|1a1Da|a1【解答】解：因为yx2+2x有2个零点x2和x0，yx1有1个零点x1，所以若要使f（x）有3个零点，则0a1，故选：A7（5分）已知A，B是圆O：x2+y24上的两个动点，且OAOB，则A，B两点到直线l：xy+40的距离之和的取值范围是（）A2，22B2，32C22，42D22，62【解答】解：AOB是等
13、腰直角三角形，取AB中点C，则 |OC|=2，即点C在以O为圆心，2为半径的圆上，过点A，B，C分别作直线l：xy+40 的垂线，垂足分别为D，E，F，则|AD|+|BE|2|CF|，圆心O到直线 l：xy+40 的距离d=42=22，|CF|2，32，|AD|+|BE|=2|CF|22，62故选：D8（5分）已知A（0，1），B（1，0），O为坐标原点，点P为曲线yex上的动点，且OP=OA+OB（e2.718为自然对数的底数，R），则+的最大值是（）Ae1B1eC1D1【解答】解：由题意知，OP=（x，ex），OA=（0，1），OB=（1，0），OP=OA+OB，（x，ex）（，），故ex
14、，x，故+ex+x，令f（x）ex+x，则f（x）ex+1，故当x（，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，故+的最大值是f（0）1+01，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知双曲线C：x23-y21，则（）AC的焦点坐标为（-2，0）和（2，0）BC的渐近线方程为y=13x和y=-13xCC的离心率为233DC与直线l：y=33x+1有且仅有一个公共点【解答】解：由双曲线C：x23-y2
15、1，则a23，b21，a=3，b1，c=3+1=2，C的焦点坐标为（2，0）和（2，0），故A错误；渐近线方程为y33x，故B错误；又曲线的离心率为e=23=233，故C正确，直线l：y=33x+1与双曲线的渐近线平行，故C与直线l：y=33x+1有且仅有一个公共点，故D正确故选：CD（多选）10（5分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的两边AB，AD上的动点，则一定成立的是（）AAPAC=AQACBAPAD=AQABCDPDA=BQACDDPDC=BQBA【解答】解：以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，建立如图所示的坐标系，设正方形四长为1，P（x，1），Q（0，y），（0x1，0y1），A
16、（0，1），B（1，1），C（1，0），D（0，0），AP=（x，0），AC=（1，1），AQ=（0，y1），AD=（0，1），AB=（1，0），DP=（x，1），DA=（0，1），BQ=（1，y1），CD=（1，0），DC=（1，0），BA=（1，0），AAPAC=x，AQAC=1y，A不一定成立，BAPAD=0，AQAB=0，B一定成立，CDPDA=1，BQCD=1，C一定成立，DDPDC=x，BQBA=1，D不一定成立，故选：BC（多选）11（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（kN*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛下列说法正
17、确的是（）Ak1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14Bk2时，甲嬴得比赛与乙嬴得比赛的概率均为516C在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12【解答】解：k1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为21212=12，所以A错误；k2时，甲赢得比赛的情况为：甲甲甲，甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲，其概率为(12)3+3(12)4=516，所以B正确；选项 C，在2k局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布B(2k，12)，其期望值为2k12=k；随着k的增大，比赛平局的概率C2kk(12)2k 趋近于0，所以甲乙赢得比赛的概率都会越来越接近12，D 正确故选：BCD
18、（多选）12（5分）已知数列an的各项均为正数，a1a，an+1an-1n2an2下列说法正确的是（）A0a214Ban+1anC1an+1-1an1n2D数列an+1an为递减数列【解答】解：对于选项A：a2=a1-a120，-a12+a1=-（a1-12）2+14，当a1=12时，a2取得最大值14，a2(0，14，故选项A正确，对于选项B：an+1an=-1n2an20，an+1an，故选项B正确，对于选项C：1an+1-1an=an-an+1anan+1=1n2an2anan+1=1n2anan+1，由B可知anan+10，anan+11，1n2anan+11n2，即1an+1-1an
19、1n2，故选项C正确，对于选项D：（an+1an）（anan1）=-1n2an2+1(n-1)2an-121n2(an-12-an2)0，数列an+1an为递增数列，故选项D错误，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上.13（5分）直线l过点（1，0），且与抛物线y24x交于A，B两点若|AB|8，则线段AB的中点M到y轴的距离是 3【解答】解：抛物线y24x的焦点为F（1，0），故直线l过抛物线的焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|x1+1，|BF|x2+1，由|AB|8，x1+1+x2+18，x1+x26，线段AB的中点M到y轴的
20、距离为x1+x22=3故答案为：314（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（，0上单调递增，则关于x的不等式f（|x|+2）f（x2）的解集是 （2，2）【解答】解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（，0上单调递增，f（x）在0，+）上单调递增，则f（x）在（，+）上单调递增，由f（|x|+2）f（x2）得|x|+2x2，即x2|x|20，得（|x|+1）（|x|2）0，得|x|2，得2x2，即不等式的解集为（2，2），故答案为：（2，2）15（5分）英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比”，并通过此假设于1
21、798年给出了马尔萨斯人口方程N（t）N0er(t-t0)），其中N0为t0时刻的人口数，N（t）为t时刻的人口数，r为常数已知某地区2000年的人口数为230万，r0.02，用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为 460.（参考数据：ln20.7，ln31.1）【解答】解：根据题意得N0230，r0.02，t02000，t2035，代入公式N（t）N0er(t-t0)），得N（t）230e0.02（20352000）230e0.7230eln22302460，所以用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为 460万，故答案为：46016（5分）如图
22、，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为平面DBA1内的动点，且AP=22设直线BD与AP所成的角为，则当最小时，cos的值为 33【解答】解：设O为正三角形DBA1的中心，则AO=33，又AP=22，可得OP=AP2-AO2=66所以点P的轨迹是以O为圆心，66为半径的圆当直线AP在平面DBA1内的射影与BD平行时，直线BD与AP所成的角为取得最小值，此时cos=OPAP=33（平面的斜线与平面内的直线所成的角中，线面角最小）故答案为：33四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列an和等比数列bn满足a11，a2b
23、12（1）求an的通项公式；（2）从下列给出的三个条件、中选择一个作为已知条件，使得bn存在且唯一，并求数列ban的前n项和Sn条件：b38；ab2=4；a2+b22a3【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d因为a11，a22，所以da2a11所以数列an的通项公式为ana1+（n1）dn（2）选择条件，b38，b12，q2，bn2n，选条件，设等比数列bn的公比为q由（1）可知ann，所以 ab2=b2因为 ab2=4，所以b24所以q2此时 bn=b1qn-1=2n所以ban=2an=2n所以Sn=ba1+ba2+ban=21+22+2n=2n+1-2选条件，由（1）可知a22，a33
24、，又a2+b22a3，所以b22a3a24所以q2此时 bn=b1qn-1=2n所以 ban=2an=2n所以 Sn=ba1+ba2+ban=21+22+2n=2n+1-218（12分）某科研团队研发针对病毒的疫苗，并进行接种试验如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒的抗体，则称该疫苗有效该科研团队对其研发的疫苗A和疫苗B，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A和疫苗B的人群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒的抗体，获得样本数据如表：抽取人数其中产生抗体人数接种疫苗A12080接种疫苗B10080（1）从接种疫苗A的人群中任取3人，记产生抗体的人数为X，用样本数
25、据中产生抗体的频率估计概率，求X的分布列及其数学期望；（2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A与疫苗B的有效性存在差异？说明理由附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P（ 2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）在接种疫苗A的样本中，产生抗体的频率为80120=23，由此估计，从接种疫苗A的人群中任取1人，产生抗体的概率为23所以从接种疫苗A的人群中任取3人，产生抗体的人数XB(3，23)，P(X=k)=C3k(23)k(1-23)3-k，其中 k0，1，2，3，所以X的分布列为： X 0 12 3 P 12
26、7 627 1227 827数学期望 E(X)=323=2（2）有95%的把握认为疫苗A与疫苗B的有效性存在差异理由如下：根据样本数据，在接种疫苗A的120人中，80人产生抗体，40人末产生抗体，在接种疫苗B的100人中，80人产生抗体，20人末产生抗体根据公式，2=220(8020-4080)212010016060=4494.8893.841所以有95%的把握认为疫苗A与疫苗B的有效性存在差异19（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足asinB=3b（1cosA）（1）求A的大小；（2）若c2b2+bc，求sinC的值【解答】解：（1）因为asinB=3b（1co
27、sA），所以由正弦定理可得sinAsinB=3sinB（1cosA），因为sinB0，所以sinA=3（1cosA），可得sin（A+3）=32，因为A（0，），A+3（3，43），所以A+3=23，可得A=3（2）因为A=3，所以由余弦定理可得a2b2+c2bc，又c2b2+bc，所以解得a22b2，a=2b，由正弦定理可得sinA=2sinB=32，所以sinB=64，又ba，B为锐角，可得cosB=1-sin2B=104，所以sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB=32104+1264=30+6820（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E为线段CD的中点，
28、ABBC=12CD2，将DAE沿AE折起到DAE的位置，使得平面D1AE平面ABCE（1）求证：AED1B；（2）在线段D1B上是否存在点Q，使得平面QAC与平面ABCE的夹角为60？若存在，求出D1QD1B的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：设F是AE的中点，连接D1F，FB，BE由已知得DAE，ABE，BCE 均为边长为2的等边三角形，所以D1FAE，BFAE，又D1FBFF，所以AE平面D1FB，又D1B平面 D1FB，所以AED1B，（2）因为平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，D1FAE，所以D1F平面ABCE，又BF平面ABCE，所以D1FFB又BF
29、AE，故可建如图所示的空间坐标系 Fxyz所以F(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(-2，3，0)，E(-1，0，0)，D1(0，0，3)，AC=(-3，3，0)，设 D1Q=D1B，0，1，则AQ=AD1+D1Q=AD1+D1B=(-1，0，3)+(0，3，-3)=(-1，3，3-3)设平面QAC的一个法向量m=(x，y，z)，则mAC=0mAQ=0，即-3x+3y=0-x+3y+3(1-)z=0显然1，令x1，则y=3，z=1-33(1-)，所以m=(1，3，1-33(1-)又平面ABCE的一个法向量n=(0，0，1)，平面QAC与平面ABCE的夹角为 60，所以 co
30、s60=|cosm，n|=|mn|m|n|=|1-33(1-)|4+(1-33(1-)2=12化简得52+230即 （+1）（53）0解得=35或1（舍）故线段D1B上存在点Q，当D1QD1B=35时，平面QAC与平面ABCE的夹角为6021（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过A1（2，0）和B（0，-3）两点，点A2为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线PA1与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）比较MNA1的面积与NA2B的面积的大小，并说明理由【解答】解：（1）由题意有椭圆经过（2，0），（0，-3），代入可得a=
31、2，b=3，所以椭圆方程为x24+y23=1，a=2，b=3，c1，故离心率e=12；（2）设P（m，n），m0，n0，且满足m24+n23=1，直线PA1：y-0n-0=x+2m+2，令x0，解得M(0，2nm+2)，直线PB：y+3n+3=x-0m-0，令y0，解得N(3n+23m，0)，所以四边形MNBA1的面积S=12BMA1N=12(2nm+2+3)(2+3n+33m)，将代入化简得S23，又因为三角形A1A2B的面积S1=1243=23，故SMNA1=S-SA1NB，SNA2B=S1-SA1NB，故SMNA1=SNA2B，故两个三角形面积相等22（12分）已知函数f（x）exa+x
32、2（aR）（1）求证：f（x）仅有一个零点；（2）若a1，求证：f（x）-12x2+3x-52【解答】解：（1）证明：f（x）exa+10，所以f（x）在R上单调递增，当x时，exa0，所以f（x）exa+x2，当x2时，f（2）e2a0，所以f（x）有且仅有一个零点（2）证明：f（x）exa+x2，因为a1，所以exa+x2ex1+x2，下面证明ex1+x2-12x2+3x-52需要证ex1+x2+12x23x+520，即证2ex14x+1+x20，令g（x）2ex14x+1+x2，则g（x）2ex14+2x，令h（x）2ex14+2x，则h（x）2ex1+20，所以h（x）单调递增，又h（1）0，所以在（，1）上，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递减，在（1，+）上，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）g（x）ming（1）0，所以exa+x2ex1+x2，所以f（x）ex1+x2第20页（共20页）
